浙江省诸暨市2024届高三下学期三模数学试题（Word版附答案）

这是一份浙江省诸暨市2024届高三下学期三模数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线：，则其焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．1D．4
2．若关于的不等式的解集为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）
A．第75百分位数B．平均数C．极差D．众数
4．在的展开式中，含项的系数是10，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
5．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则曲线的离心率
B．若，则曲线的离心率
C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则
D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得
7．已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（ ）
A．为奇函数B．为奇函数
C．为偶函数D．为偶函数
8．设，已知，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
11．已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ）
A．的值可以取B．的值可以取
C．的值关于单调递减D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若复数满足：，则复数的虚部为_________．
13．记为正项数列的前项积，已知，则_________；_________．
14．若正四面体的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体，，，则外接圆的半径是_________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数的所有正零点构成递增数列．
（1）求函数的周期和最大值；
（2）求数列的通项公式及前项和．
16．（15分）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是的中点，．
（1）求证：为三棱锥外接球的球心；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值．
17．（15分）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
（2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
18．（17分）如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行。
（1）求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率；
（2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望；
（3）设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）。
19．（17分）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
（1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
（2）已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．
证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
诸暨市2024年5月高三适应性考试
数学参考答案
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
二、多项选择题（每小题6分，共18分；部分选对的得部分分，有选错的得0分）
三、填空题（每小题5分，13题2分+3分；共15分）
12．113．2；202514．
四、解答题（共77分；13分+15分+15分+17分+17分）
15．（13分）解：
（1）由题可得，
因此函数的周期，最大值．
（2）由得，
因此函数的所有正零点为，
，，因此是首项为，公差为1的等差数列；
，
16．（15分）解：
（1）为的中线，且，则为正的中心，
又中，，
，即为三棱锥外接球的球心
（2）是正三角形，点是的中点，．
又平面平面，平面平面，平面，
平面
为直线与平面所成的角
又，，
即直线与平面所成角的正弦值为
（3）坐标法：
在平面中，过点作，垂足为，，
设，则，，．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，．
设平面的法向量为，
由，得，令，故，
设平面的法向量为，
则，即，令，则．
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
，
当时，，此时最大，
即当时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．
（3）几何法：
锐二面角要最小，由最大角定理可知，与面所成线面角为平面与平面所成锐二面角时，锐二面角最小（3分）；而为线面角（为的中点），当要为面面角时（2分），由垂面法求面面角知，面面，即（2分）．（实质上：本小题条件是多余的；用传统法求解给相应步骤分）
17．（15分）解：
（1）由题意知直线斜率为1，直线的倾斜角，
设直线、的倾斜角分别为、（、），
直线、关于直线对称，，
．
（2）联立可得，双曲线在点处的切线方程为．
不妨设直线为，，，
联立得，
整理得，将等式看作关于的方程：
两根之和，两根之积，
而其中，
由（1）得，
直线为，过定点，
又双曲线在点处的切线方程为，过点，，
．
18．（17分）解：
（1）记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，
则
（2）记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米”
的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为
，
，
，
用表格表示的分布列为：
．
（3）（，）①
②
②－①得：
，
19．（17分）解：
（1）由题意，，，
恒成立，在上单调递增，的值域为，
因此只需，
，即，
则的取值集合为．
（2）（i）记函数，
则，
由得或；由得；
所以函数在和单调递增，在单调递减．
其中，因此当时，，不存在零点；
，而，在单调递减，
由零点存在定理可知存在唯一的使得；
当时，，不存在零点．
综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2．
（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”，
则对，，
当时，由（i）得在单调递增，
，即，不满足要求；
当时，由（i）得在单调递增，
，
即，也不满足要求；
当时，闭区间，而显然在单调递增，
，
由（i）可得，，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
A
C
B
C
D
C
题号
9
10
11
答案
AD
ABC
ACD
2
3
4