（复习课）2024年高中数学高二暑假讲义03 立体几何（2份打包，原卷版+教师版）

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【例题讲解】
【例1】 如图所示的三棱锥O­ABC为长方体的一角．其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2, 1 cm2, 3 cm2，求三棱锥O­ABC的体积．
[解] 设OA，OB，OC的长依次为x cm，y cm，z cm，
则由已知可得eq \f(1,2)xy＝1.5，eq \f(1,2)xz＝1，eq \f(1,2)yz＝3.
解得x＝1，y＝3，z＝2.
将三棱锥O­ABC看成以C为顶点，以OAB为底面．
易知OC为三棱锥C­OAB的高．
于是VO­ABC＝VC­OAB＝eq \f(1,3)S△OAB·OC＝eq \f(1,3)×1.5×2＝1(cm3)．
空间几何体的表面积与体积的求法：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．
【例2】 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为( )
A.eq \f(44,3)π B.eq \f(484,9)π C.eq \f(81,4)π D．16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是eq \f(32,3)π，那么这个三棱柱的体积是( )
A．96eq \r(3) B．16eq \r(3) C．24eq \r(3) D．48eq \r(3)
(1)B (2)D [(1)如图，设PE为正四棱锥P­ABCD的高，则正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2eq \r(2)， PE＝6, 所以侧棱长PA＝eq \r(PE2＋AE2)＝eq \r(62＋2\r(2 )2)＝eq \r(44)＝2eq \r(11). 设球的半径为R, 则PF＝2R. 由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝eq \f(11,3)，所以S＝4πR2＝4π×(eq \f(11,3))2＝eq \f(484π,9)，故选B.
(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有eq \f(1,3)·eq \f(\r(3),2)a＝R＝2，解得a＝4eq \r(3).故此三棱柱的体积V＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×(4eq \r(3))2×4＝48eq \r(3).]
与球相关问题的解题策略：
(1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．
(2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相关的元素放到这些关系中来解决．
【例3】 如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq \r(2)，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
[证明] (1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，
∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝eq \f(1,2)AC＝1，∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.
∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.
(2)连接FO，如图所示．∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.
又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.
空间平行、垂直关系的转化：
(1)平行、垂直关系的相互转化
(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点
①由已知想性质，由求证想判定．
②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．
③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
【例4】 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
[解] (1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.
又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝eq \f(\r(2),2)，AC＝eq \r(2)，sin∠OAC＝eq \f(OC,AC)＝eq \f(1,2)，
∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝eq \f(1,2)，AE＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq \f(OE,AE)＝eq \f(\r(5),5).
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.
又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
空间角的求法：
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
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1．如图所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC­A′B′C′的体积．
[解] 连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．
设所求体积为V，显然三棱锥A′­ABC的体积是eq \f(1,3)V.
而四棱锥A′­BCC′B′的体积为eq \f(1,3)Sa，故有eq \f(1,3)V＋eq \f(1,3)Sa＝V，即V＝eq \f(1,2)Sa.
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )
A.eq \f(3＋\r(3),4)a2 B.eq \f(3,4)a2
C.eq \f(3＋\r(3),2)a2 D.eq \f(6＋\r(3),4)a2
A [∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq \f(\r(2),2)a，∴S表＝eq \f(\r(3),4)a2＋3×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))eq \s\up20(2)＝eq \f(3＋\r(3),4)a2.]
3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1. 球心O到平面α的距离为eq \r(2)，则此球的体积为( )
A.eq \r(6)π B．4eq \r(3)π C．4eq \r(6)π D．6eq \r(3)π
B.解析：如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝eq \r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq \r(\r(2) 2＋1)＝eq \r(3)，即球的半径为eq \r(3)，∴V＝eq \f(4,3)π(eq \r(3))3＝4eq \r(3)π.
4.已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为 ．
1或7
解析：若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为eq \r(52－32)－eq \r(52－42)＝1；
若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为eq \r(52－32)＋eq \r(52－42)＝7.]
① ②
5．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 ．
4πRr [法一：如图，作DE⊥BC于点E.设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req \\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq \r(Rr)，故球的表面积为S球＝4πreq \\al(2,1)＝4πRr.
法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即req \\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq \r(Rr)，故球的表面积为S球＝4πRr.]
6.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.
求证：AN⊥平面PBM.
[证明] 设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM⊂α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，
∴BM⊥AN.
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
7.如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
[证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
8．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
[证明] (1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
立体几何 检测卷
1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶eq \r(3)
C．1∶eq \r(5) D.eq \r(3)∶2
C [设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq \r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq \r(5)πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶eq \r(5).]
2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )
A.eq \f(2\r(3),3)π B．2eq \r(3) C.eq \f(7\r(3),6)π D.eq \f(7\r(3),3)π
D [S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，
∴l＝2，∴h＝eq \r(3).∴V＝eq \f(1,3)π(1＋4＋2)×eq \r(3)＝eq \f(7,3)eq \r(3)π.故选D.]
3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6 C．5 D．3
A [设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.]
4.已知长方体的一个顶点处的三条棱长分别是eq \r(3)，eq \r(3)，eq \r(6)，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A．12π B. 18π C．36π D. 6π
A [由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2eq \r(3)，从而球的半径为eq \r(3)，球表面积为12π.]
5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为( )
A．60° B．30° C．45° D．15°
C [由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C.]
6．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B­AD­C后，BC＝eq \f(1,2)AB，这时二面角B­AD­C的大小为( )
A．60° B．90° C．45° D．120°
A [∠BDC为二面角B­AD­C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝eq \f(1,2)m，BD＝DC＝eq \f(1,2)m，所以∠BDC＝60°.]
7．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为 ．
18a2 [原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq \f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq \f(1,9)a2×6＝eq \f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq \f(2,3)a2×27＝18a2.]
8.一个正方体的八个顶点都在体积为eq \f(4,3)π的球面上，则正方体的表面积为 ．
8 [设球的半径为R，正方体的棱长为a，则eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π，故R＝1，由eq \r(3)a＝2R＝2，所以a＝eq \f(2,\r(3))，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×(eq \f(2,\r(3)))2＝8.]
9.如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是 ．
60° [连结BC1，A1B(图略)．∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．
又∵∠A1BC1为60°，∴直线EF与D1C所成的角为60°.]
10.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是 ．
60° [连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.]
11.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1­EF­C等于45°，则BF＝ .
1 [由题意知EF⊥BC. ∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F. 故∠C1FC为二面角C1­EF­C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.]
12.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．
求证：(1)E、F、B、D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[思路探究] (1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．
(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．
[解] (1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.
而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.
连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM⊄平面BDFE，DF⊄平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.
又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
13.空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3.
求证：AC⊥BD.
[证明] ∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC.
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq \r(5)，EF＝3，
满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
14.如图，在三棱锥S­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
15.如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，又正方形中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
即二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ．