（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义05 空间向量基本定理（2份打包，原卷版+教师版）

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学习目标 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 .
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
思考 零向量能否作为基向量？
答案 不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面．
知识点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．( × )
2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．( √ )
3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( √ )
4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.( × )
一、空间的基底
例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．
解 假设eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))共面．
则存在实数λ，μ使得eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1))此方程组无解，∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共面，
∴{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一个基底．
反思感悟 基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
跟踪训练1 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
答案 B
解析 因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如图，
令a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AA1,\s\up6(→))，c＝eq \(AD,\s\up6(→))，则x＝eq \(AB1,\s\up6(→))，y＝eq \(AD1,\s\up6(→))，z＝eq \(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq \(AC1,\s\up6(→)).
可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.
(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.
答案 0
解析 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))所以x＋y＝0.
二、空间向量基本定理
例2 如图，在三棱柱ABC －A′B′C′中，已知eq \(AA′,\s\up6(——→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→)).
解 连接A′N(图略)．
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC′,\s\up6(——→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(——→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CC′,\s\up6(——→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(——→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)．
eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(——→))＋eq \(A′N,\s\up6(———→))＝eq \(AA′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)(eq \(A′B′,\s\up6(———→))＋eq \(A′C′,\s\up6(———→)))
＝eq \(AA′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
延伸探究
若把本例中“eq \(AA′,\s\up6(——→))＝a”改为“eq \(AC′,\s\up6(——→))＝a”，其他条件不变，则结果是什么？
解 因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC′,\s\up6(——→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.
eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB′,\s\up6(——→))＋eq \(AC′,\s\up6(——→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(——→))＋eq \(AC′,\s\up6(——→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CC′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)eq \(AC′,\s\up6(——→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AC′,\s\up6(——→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AC′,\s\up6(——→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC′,\s\up6(——→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋a－eq \f(1,2)c.
反思感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
跟踪训练2 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OC,\s\up6(→))＝b，eq \(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→)).
解 连接BO，
则eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(c－b－a)＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)eq \(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)(eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq \f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a.
1．下列结论错误的是( )
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
D．若eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面
答案 C
解析 由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误．
2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
答案 C
解析 对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面．故选C.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))，eq \(AB1,\s\up6(—→))
C.eq \(D1A1,\s\up6(—→))，eq \(D1C1,\s\up6(—→))，eq \(D1D,\s\up6(—→)) D.eq \(AC1,\s\up6(—→))，eq \(A1C,\s\up6(—→))，eq \(CC1,\s\up6(—→))
答案 C
解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三个向量eq \(D1A1,\s\up6(—→))，eq \(D1C1,\s\up6(—→))，eq \(D1D,\s\up6(—→))不共面，可以作为空间的一个基底．
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq \(AO1,\s\up6(—→))，eq \(AO2,\s\up6(—→))，eq \(AO3,\s\up6(—→))}为基底，eq \(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \(AO3,\s\up6(—→))，则( )
A．x＝y＝z＝eq \f(1,2) B．x＝y＝z＝1
C．x＝y＝z＝eq \f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2
答案 B
解析 eq \(AC′,\s\up6(——→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC′,\s\up6(——→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(——→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(——→))＋eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(——→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AA′,\s\up6(——→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB′,\s\up6(——→))＋eq \f(1,2)eq \(AD′,\s\up6(——→))＝eq \(AO1,\s\up6(—→))＋eq \(AO2,\s\up6(—→))＋eq \(AO3,\s\up6(—→))，
对比eq \(AC′,\s\up6(——→))＝xeq \(AO1,\s\up6(—→))＋yeq \(AO2,\s\up6(—→))＋zeq \(AO3,\s\up6(—→))，得x＝y＝z＝1.
5．在四面体O－ABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq \(OE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)
答案 eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
解析 eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)×(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
1．知识清单：
(1)空间的基底．
(2)空间向量基本定理．
2．方法归纳：
转化化归．
3．常见误区：
(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件．
(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心．
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，
当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．
因此p⇏q，q⇒p.
2．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))成为空间的一个基底的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)) B.eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))
C.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(MA,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))
答案 C
解析 对于选项A，由eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面；对于选项B，D，易知eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面，故选C.
3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(OD,\s\up6(→))可用a，b，c表示为( )
A．a－b＋2c B．a－b－2c C．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c D.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 D
解析 eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c.
4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则( )
A．a，p，q是空间的一组基底
B．b，p，q是空间的一组基底
C．c，p，q是空间的一组基底
D．p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底
答案 C
解析 假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，
这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.
5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则下列向量与eq \(BM,\s\up6(→))相等的是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 A
解析 eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(—→))＋eq \(B1M,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(B1A1,\s\up6(—→))＋eq \(B1C1,\s\up6(—→)))
＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)＋c＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
6．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq \(GE,\s\up6(→))＝________.
答案 －eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
解析 设AC的中点为F，则eq \(GE,\s\up6(→))＝eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)eq \(BD,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(3,4)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(AD1,\s\up6(—→))作为基向量，则eq \(AC1,\s\up6(—→))＝____________.
答案 eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(—→))＋eq \(AB1,\s\up6(—→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
解析 ∵2eq \(AC1,\s\up6(—→))＝2eq \(AA1,\s\up6(—→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD1,\s\up6(—→))＋eq \(AB1,\s\up6(—→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，∴eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(—→))＋eq \(AB1,\s\up6(—→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
8.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝1，四边形ABCD为正方形，以{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))}为基底，则eq \(MN,\s\up6(→))＝________.
答案 eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(→))
解析 eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(→)).
9．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OC,\s\up6(→))＝b，eq \(OO′,\s\up6(——→))＝c.
(1)用a，b，c表示向量eq \(AC′,\s\up6(——→))；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq \(GH,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(AC′,\s\up6(——→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(——→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OO′,\s\up6(——→))＝b＋c－a.
(2)eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \(GO,\s\up6(→))＋eq \(OH,\s\up6(→))＝－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OH,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC′,\s\up6(——→)))＋eq \f(1,2)(eq \(OB′,\s\up6(——→))＋eq \(OO′,\s\up6(——→)))
＝－eq \f(1,2)(a＋b＋c＋b)＋eq \f(1,2)(a＋b＋c＋c)＝eq \f(1,2)(c－b)．
10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)用基底{a，b，c}表示向量eq \(DB1,\s\up6(—→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))；
(2)化简eq \(DD1,\s\up6(—→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果．
解 (1)eq \(DB1,\s\up6(—→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CB1,\s\up6(—→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1E,\s\up6(—→))＝－a＋eq \f(1,2)b＋c.
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)(b＋c)＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
(2)eq \(DD1,\s\up6(—→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DD1,\s\up6(—→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))＝eq \(DD1,\s\up6(—→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DD1,\s\up6(—→))＋eq \(D1A1,\s\up6(—→))＝eq \(DA1,\s\up6(—→)).
如图，连接DA1，则eq \(DA1,\s\up6(—→))即为所求．
11．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PC,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(ND,\s\up6(→))，则满足eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值分别为( )
A．－eq \f(2,3)，eq \f(1,6)，eq \f(1,6) B.eq \f(2,3)，－eq \f(1,6)，eq \f(1,6)
C．－eq \f(2,3)，eq \f(1,6)，－eq \f(1,6) D．－eq \f(2,3)，－eq \f(1,6)，eq \f(1,6)
答案 D
解析 取PC的中点E，连接NE，
则eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(EN,\s\up6(→))－eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－(eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(PC,\s\up6(→))－\f(1,2)\(PC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(PC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)(－eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AP,\s\up6(→))，
比较知x＝－eq \f(2,3)，y＝ －eq \f(1,6)，z＝eq \f(1,6)，故选D.
12.如图，点M为OA的中点，{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))}为空间的一个基底，eq \(DM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))＋zeq \(OD,\s\up6(→))，则有序实数组(x，y，z)＝________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0， －1))
解析 eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))，所以有序实数组(x，y，z)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0， －1)).
13．已知四面体ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq \(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则eq \(EF,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)
答案 3a＋3b－5c
解析 如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，
则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(GF,\s\up6(→))－eq \(GE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(5a＋6b－8c)＋eq \f(1,2)(a－2c)＝3a＋3b－5c.
14．如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(OG,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)
答案 eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c
解析 eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))－\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))－\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OC,\s\up6(→))－\(OB,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c.
15．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 A
解析 如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，eq \(AG1,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
∵eq \(OG,\s\up6(→))＝3eq \(GG1,\s\up6(—→))＝3(eq \(OG1,\s\up6(—→))－eq \(OG,\s\up6(→)))，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OG1,\s\up6(—→))＝eq \f(3,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG1,\s\up6(—→)))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))，故选A.
16.如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，用向量a，b，c表示向量eq \(GH,\s\up6(→)).
解 因为eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，
又eq \(OH,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(b＋c)，
所以eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \(OH,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(b＋c)－eq \f(1,3)(a＋b＋c)＝－eq \f(1,3)a.
第2课时 空间向量基本定理的初步应用
学习目标 1.会用基底法表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．
知识点一 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
思考 怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？
答案 平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．
知识点二 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？
答案 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围．
知识点三 求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？
答案 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得．
1．四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).( × )
2．若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线．( × )
3．已知两个向量 eq \(NM,\s\up6(→))，eq \(MP,\s\up6(→)) 的夹角为 60°，则 ∠NMP＝60°.( × )
4．如果eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))，则四点O，P，M，N一定共面．( √ )
一、证明平行、共面问题
例1 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点．
求证：BF∥ED′.
证明 eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CC′,\s\up6(——→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DD′,\s\up6(——→))，
eq \(ED′,\s\up6(——→))＝eq \(EA′,\s\up6(——→))＋eq \(A′D′,\s\up6(———→))＝eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(——→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DD′,\s\up6(——→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，∴eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(ED′,\s\up6(——→))，∴eq \(BF,\s\up6(→))∥eq \(ED′,\s\up6(——→))，
∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
反思感悟 证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．
跟踪训练1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq \f(1,3)BB1，DF＝eq \f(2,3)DD1.
求证：A，E，C1，F四点共面．
证明 因为eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(2,3)eq \(AA1,\s\up6(—→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AA1,\s\up6(—→))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AA1,\s\up6(—→))))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))，
所以eq \(AC1,\s\up6(—→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))共面，所以A，E，C1，F四点共面．
二、求夹角、证明垂直问题
例2 如图所示，在三棱锥 A－BCD 中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC＝DA＝2，E为BC的中点．
(1)证明：AE⊥BC ；
(2)求直线AE与DC的夹角的余弦值．
(1)证明 因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))－eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(DB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(DC,\s\up6(→))－\(DA,\s\up6(→))))·(eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))) ＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))2－eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))，
又DA，DB，DC两两垂直， 且DB＝DC＝DA＝2，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，故 AE⊥BC.
(2)解 eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(DB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(DC,\s\up6(→))－\(DA,\s\up6(→))))·eq \(DC,\s\up6(→)) ＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))2－eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))2＝2，
由eq \(AE,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(DB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(DC,\s\up6(→))－\(DA,\s\up6(→))))2＝eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(DC,\s\up6(→))2＋eq \(DA,\s\up6(→))2＝6，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AE,\s\up6(→))))＝eq \r(6).
所以cs〈eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AE,\s\up6(→))·\(DC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AE,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(→)))))＝eq \f(2,\r(6)×2)＝eq \f(\r(6),6) .故直线AE与DC的夹角的余弦值为eq \f(\r(6),6).
反思感悟 求夹角、证明线线垂直的方法
利用数量积定义可得cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况．
跟踪训练2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点．求异面直线MN与BC1所成角的余弦值．
解 eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(DN,\s\up6(→))－eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→)))，eq \(BC1,\s\up6(—→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))＝－eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→)) ，
所以eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(DC,\s\up6(→))－\f(1,2)\(DA,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\(DA,\s\up6(→))＋\(DD1,\s\up6(—→))))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(MN,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝eq \f(\r(5),2)， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC1,\s\up6(—→))))＝eq \r(2)，所以 cs〈eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(MN,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(—→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(MN,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC1,\s\up6(—→)))))＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\r(2))＝eq \f(\r(10),10)，
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).
三、求距离(长度)问题
例3 已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，在l上有两点A，B，线段AC⊂α ，线段BD⊂β ，并且AC⊥l ，BD⊥l，AB＝6，BD＝24，AC＝8，则 CD＝ ________.
答案 26
解析 ∵平面α⊥平面β，且α∩β＝l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，
AC⊥ l ，BD⊥ l ，AB＝6，BD＝24，AC＝8，∴eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)) ，
∴eq \(CD,\s\up6(→))2 ＝(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)) )2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2 ＝64＋36＋576＝676，∴CD＝26.
反思感悟 求距离(长度)问题的思路
选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题．
跟踪训练3 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC1,\s\up6(—→))，点N为B1B的中点，则
|eq \(MN,\s\up6(→))|等于( )
A.eq \f(\r(21),6)a B.eq \f(\r(6),6)a C.eq \f(\r(15),6)a D.eq \f(\r(15),3)a
答案 A
解析 ∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))－eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
∴|eq \(MN,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(4,9)|\(AB,\s\up6(→))|2＋\f(1,36)|\(AA1,\s\up6(—→))|2＋\f(1,9)|\(AD,\s\up6(→))|2) ＝eq \f(\r(21),6)a.
1．(多选)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)) B.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OC,\s\up6(→))
答案 BD
解析 根据“eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→)) ，若 x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C 共面”，
因为2＋(－1)＋(－1)＝0≠1,1＋1＋(－1)＝1,1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(11,6)≠1，eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝1，
由上可知，BD满足要求．
2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案 B
解析 在△BCD中，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＞0，∴B为锐角，
同理，C，D均为锐角．
3．如图，三棱锥S－ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2eq \r(2)，则SC与AB所成角的大小为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
答案 B
解析 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以eq \(AS,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以 ∠BAC＝45° ，AC＝2eq \r(2) .
因此eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))cs 45°＝2×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝4，所以eq \(SC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AS,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4，
又SA＝2eq \r(2)，所以 SC＝eq \r(SA2＋AC2)＝4 ，因此cs〈eq \(SC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(SC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(SC,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))＝eq \f(4,4×2)＝eq \f(1,2) ，
所以SC与AB所成角的大小为60° .
4．如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC的长为________．
答案 7
解析 ∵eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，
∴|eq \(PC,\s\up6(→))|2＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))2＝|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(DC,\s\up6(→))|2＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))
＝62＋42＋32＋2|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(DC,\s\up6(→))|cs 120°＝61－12＝49.∴PC＝7.
5．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq \r(7)，则cs〈a，b〉＝________.
答案 eq \f(1,8)
解析 将|a－b|＝eq \r(7)化为(a－b)2＝7，求得a·b＝eq \f(1,2)，
再由a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求得cs〈a，b〉＝eq \f(1,8).
1．知识清单：
(1)空间向量基本定理．
(2)空间向量共线、共面的充要条件．
(3)向量的数量积及应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：
(1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆．
(2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义．
1．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝0，则eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A．2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)) B．－eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→)) D．－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))
答案 A
解析 由已知得2(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，∴eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)).
2．如图，已知空间四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接各边中点P，Q，R，S，所得图形是( )
A．长方形 B．正方形 C．梯形 D．菱形
答案 D
解析 因为eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(BQ,\s\up6(→))－eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)).同理eq \(SR,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(SR,\s\up6(→))，
所以四边形PQRS为平行四边形．
又eq \(PS,\s\up6(→))＝eq \(AS,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，所以|eq \(PS,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|，即PS＝eq \f(1,2)BD.
又|eq \(PQ,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AC,\s\up6(→))|，故PQ＝eq \f(1,2)AC，而AC＝BD，所以PS＝PQ，故四边形ABCD为菱形．
3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是( )
A．0 B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(15),5)
答案 A
解析 根据题意可得，eq \(A1E,\s\up6(—→))·eq \(GF,\s\up6(→))＝(eq \(A1A,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→)))·(eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))
＝(－eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→)))·(－eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))) ＝eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))2 －eq \(AD,\s\up6(→))2 －eq \f(1,4)eq \(DC,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)×4－1－eq \f(1,4)×4＝0，
从而得到eq \(A1E,\s\up6(→))和eq \(GF,\s\up6(→))垂直，故其所成角的余弦值为0.
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1 中，若AB＝eq \r(2)BB1，则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是( )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
答案 C
解析 设|eq \(BB1,\s\up6(→))|＝m，eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(—→))＝c，则eq \(CA1,\s\up6(—→))＝a＋c，eq \(C1B,\s\up6(—→))＝b－c，
eq \(CA1,\s\up6(—→))·eq \(C1B,\s\up6(—→))＝(a＋c)·(b－c)＝a·b＋b·c－a·c－c2＝eq \r(2)m·eq \r(2)mcs eq \f(π,3)＋0－0－m2＝0，
∴eq \(CA1,\s\up6(—→))⊥eq \(C1B,\s\up6(—→))，∴ CA1 与 C1B 所成的角的大小是 90°.
5．如图，二面角α－l－β等于eq \f(2π,3)，A，B是棱l上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC⊥l ，BD⊥l ，且 2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(13)
C．4 D．5
答案 B
解析 ∵二面角α－l－β等于eq \f(2π,3)，AC⊥l,BD⊥l，所以〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝π－eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3)，
∵eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，∴eq \(CD,\s\up6(→))2＝eq \(CA,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝22＋12＋22＋0＋0＋2×2×2×cs eq \f(π,3)＝13.即CD＝eq \r(13).
6．已知向量a，b满足条件|a|＝3eq \r(2)，|b|＝4，若m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则实数λ＝________.
答案 －eq \f(3,2)
解析 因为m·n＝0，所以(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
所以18＋(1＋λ)×3eq \r(2)×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＋16λ＝0，解得λ＝－eq \f(3,2).
7．如图，在空间四边形ABCD 中，∠ABD＝∠CBD＝eq \f(π,2) ，∠ABC＝eq \f(π,4)，BC＝BD＝1，AB＝eq \r(2)，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是________．
答案 eq \f(π,3)
解析 依题意可知CD＝eq \r(BC2＋BD2)＝eq \r(2)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→))))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))·cs 45°＝1.
设直线AB与CD所成角为α，则cs α＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CD,\s\up6(→)))))))＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，故α＝eq \f(π,3).
8．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________．
答案 eq \r(2)
解析 ∵ eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))，
∴ eq \(AC1,\s\up6(—→))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA1,\s\up6(—→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))
＝1＋1＋1＋2×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1×1×eq \f(1,2)＝2，∴AC1＝eq \r(2).
9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示eq \(D1B,\s\up6(—→))，eq \(EF,\s\up6(→))；
(2)若eq \(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解 (1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
eq \(D1B,\s\up6(—→))＝eq \(D1D,\s\up6(—→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝－eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(D1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(a－c)．
(2)eq \(D1F,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(D1D,\s\up6(—→))＋eq \(D1B,\s\up6(—→)))＝eq \f(1,2)(－eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(D1B,\s\up6(—→)))＝eq \f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，z＝－1.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.
(1)求〈eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))〉的余弦值；
(2)求证：eq \(BD1,\s\up6(—→))⊥eq \(EF,\s\up6(→)).
(1)解 eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(—→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(CC1,\s\up6(—→))＋eq \(C1E,\s\up6(—→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))＝0，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))＝0，所以eq \(CE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AA1,\s\up6(—→))－\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AA1,\s\up6(—→))))＝eq \f(1,2).
又|eq \(AF,\s\up6(→))|＝|eq \(CE,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(5),2)，所以cs〈eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))〉＝eq \f(2,5).
(2)证明 eq \(BD1,\s\up6(—→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(—→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(ED1,\s\up6(—→))＋eq \(D1F,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)))，
所以eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0，所以eq \(BD1,\s\up6(—→))⊥eq \(EF,\s\up6(→)).
11．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则lg3|xyz|等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案 A
解析 连接AG(图略)，
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，∴x＝y＝z＝eq \f(1,3)，则lg3|xyz|＝lg3eq \f(1,27)＝－3.
12．在三棱柱ABC－ A1B1C1中， AA1⊥底面ABC, AB＝BC＝AA1, ∠ABC＝90°， 点E，F分别是棱AB，BB1的中点， 则直线EF和BC1所成的角是( )
A．30° B．45°
C．90° D．60°
答案 D
解析 因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点，
所以 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BB1,\s\up6(—→))－eq \(BA,\s\up6(→)))，eq \(BC1,\s\up6(—→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(BB1,\s\up6(—→))－eq \(BA,\s\up6(→)))(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→)))＝eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(—→))2 ，设所求异面直线的夹角为 θ，则
cs θ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(EF,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(—→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(BC1,\s\up6(—→))|)))＝eq \f(1,2)，所以θ＝60° .
13．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
答案 90°
解析 不妨设棱长为2，则eq \(AB1,\s\up6(—→))＝eq \(BB1,\s\up6(—→))－eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(—→))，
cs〈eq \(AB1,\s\up6(—→))，eq \(BM,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BB1,\s\up6(—→))－\(BA,\s\up6(→))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BB1,\s\up6(—→)))),2\r(2)×\r(5))＝eq \f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0，则〈eq \(AB1,\s\up6(—→))，eq \(BM,\s\up6(→))〉＝90°.
14．如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)
① (eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AC,\s\up6(→)))2 ；
②eq \(AC1,\s\up6(—→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝0 ；
③向量eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(AA1,\s\up6(—→))的夹角是60°；
④BD1与AC所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3).
答案 ①②
解析 以顶点A为端点的三条棱长都相等， 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1，则eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝1×1×cs 60°＝eq \f(1,2)，
(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝eq \(AA1,\s\up6(—→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))
＝1＋1＋1＋3×2×eq \f(1,2)＝6，
而 2(eq \(AC,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋2×\f(1,2)))＝2×3＝6，所以①正确．
eq \(AC1,\s\up6(—→))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))2＝0，所以②正确．
向量eq \(B1C,\s\up6(—→))＝eq \(A1D,\s\up6(—→)) ，显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60° .
所以向量eq \(A1D,\s\up6(—→))与eq \(AA1,\s\up6(—→))的夹角是 120°，向量eq \(B1C,\s\up6(—→))与eq \(AA1,\s\up6(—→))的夹角是 120° ，则③不正确．
又eq \(BD1,\s\up6(—→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
则|eq \(BD1,\s\up6(—→))|＝eq \r(\(AD,\s\up6(→))＋\(AA1,\s\up6(—→))－\(AB,\s\up6(→))2)＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))2)＝eq \r(3)，
eq \(BD1,\s\up6(—→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\(AA1,\s\up6(—→))－\(AB,\s\up6(→))))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝1，
所以cs〈eq \(BD1,\s\up6(—→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(—→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(—→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(3))＝eq \f(\r(6),6) ，所以④不正确，故①②正确．
15．(多选)在四面体P－ABC 中，以上说法正确的有( )
A．若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，则可知 eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))
B．若Q为△ABC 的重心，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))
C．若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则 eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D．若四面体P－ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1
答案 ABC
解析 对于A, ∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，∴3eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))，∴2eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
∴2eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴3eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，即3eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，故A正确；
对于B，若Q为△ABC 的重心，则eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＋eq \(QC,\s\up6(→))＝0，∴3eq \(PQ,\s\up6(→))＋eq \(QA,\s\up6(→))＋eq \(QB,\s\up6(→))＋eq \(QC,\s\up6(→))＝3eq \(PQ,\s\up6(→))，
∴3eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))，即eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))，故B正确；
对于C，∵eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，
∴(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CB,\s\up6(→))＋\(PC,\s\up6(→))))＝0，∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，故C正确；
对于D，∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(PN,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)) －eq \(PA,\s\up6(→))), ∴|eq \(MN,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|，
∵|eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).∴|eq \(MN,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，故D错误，故选ABC .
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.
证明 如图，连接BD，则BD过点O，令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(OB1,\s\up6(—→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(BB1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c .
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(OB1,\s\up6(—→))＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c)) ＝eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)|b|2＋a·c＋b·c＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0.
∴eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(OB1,\s\up6(—→))，即AC⊥OB1.又eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DD1,\s\up6(—→))＝b＋eq \f(1,2)c，
∴eq \(OB1,\s\up6(—→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－\f(1,2)b＋c))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)c))＝eq \f(1,2)a·b－eq \f(1,2)|b|2＋c·b＋eq \f(1,4)a·c－eq \f(1,4)b·c＋eq \f(1,2)|c|2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝0，
∴eq \(OB1,\s\up6(—→))⊥eq \(AP,\s\up6(→))，即OB1⊥AP.又AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，
∴OB1⊥平面PAC.