（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义08 用空间向量研究距离、夹角问题（原卷版+教师版）

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1.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题
2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.
重点：理解运用向量方法求空间距离的原理
难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法
一、自主导学
（一）、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
1.点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为μ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=.
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.
（二）、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为PQ=.
点睛：1.实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.
2.如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
3.两个平行平面之间的距离
如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
二、小试牛刀
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是C1C，D1A1的中点，则点A到直线EF的距离为 .
2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为 .
一、情境导学
如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点，修一条公路到达A点，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？
问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些?
答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离; 传统方法和向量法.
二、典例解析
例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求点B到直线A1C1的距离.
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;
(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点;
(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确.
延伸探究1 例1中的条件不变，若M，N分别是A1B1，AC的中点，试求点C1到直线MN的距离.
延伸探究2 将条件中直三棱柱改为所有棱长均为2的直三棱柱，求点B到A1C1的距离.
例2 在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示.求点B到平面CMN的距离.
求点到平面的距离的主要方法
(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
(3)向量法：d=(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)
跟踪训练1 在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中点.
(1)求证：B1C∥平面A1BD;
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.
金题典例 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在棱BB1上，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
(1)求证：B1D⊥平面ABD;
(2)求证：平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
总结：求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意：这个点要选取适当，以方便求解为主.
1.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A.B.C.D.3
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是( )
A.B.C.D.
3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是
( )
A.B.C.D.
4.Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P到斜边AB的距离是 .
5.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为 .
运用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的额距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (2)
1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两 异面直线所成角.
2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角.
3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小.
重点：理解运用向量方法求空间角的原理
难点：掌握运用空间向量求空间角的方法
一、自主导学
1.利用向量方法求两异面直线所成角
若两异面直线l1，l2所成角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则有cs θ=|cs|= .
特别提醒：不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角的范围是，而两个向量夹角的范围是[0，π]，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
2.利用向量方法求直线与平面所成角
若直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，
则有sin θ=|cs|=
特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
3.利用向量方法求二面角
(1)若二面角α-l-β的平面角的大小为θ，其两个面α，β的法向量分别为n1，n2， 则|cs θ|=|cs|=
(2)二面角的大小还可以转化为两直线方向向量的夹角.在二面角α-l-β的两个半平面α，β内，各取一条与棱l垂直的直线，则当直线的方向向量的起点在棱上时，两个方向向量的夹角即为二面角的大小.
特别提醒：由于二面角的取值范围是[0，π]，而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定，因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小，需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角，从而求得其大小.
二、小试牛刀
1.若异面直线l1，l2的方向向量分别是a=(0，-2，-1)，b=(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A.-B.C.-D.
2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A.120° B.60° C.150° D.30°
3.二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1=，平面β的一个法向量是n2=，那么二面角α-l-β的大小等于( )
A.120° B.150° C.30°或150° D.60°或120°
一、情境导学
地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来.
问题：空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些?
答案：线线角、线面角、二面角; 传统方法和向量法.
二、典例解析
例1. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角.
1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤.
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
(2)范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值.
跟踪训练1 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .
例2.如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
跟踪训练2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
A. B. C.D.π
例3. 如图，在正方体ABEF-DCE'F'中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.
利用平面的法向量求二面角
利用向量方法求二面角的大小时，多采用法向量法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐角还是钝角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.
跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大小.
金题典例 如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1， 四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明：O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值.
延伸探究1 本例条件不变，求二面角B-A1C-D的余弦值.
延伸探究2 本例四棱柱中，∠CBA=60°改为∠CBA=90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值.
向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤
(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标;
(2)求出两个半平面的法向量n1，n2;
(3)设二面角的平面角为θ，则|cs θ|=|cs|;
(4)根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ(或其三角函数值).
1.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l'的方向向量分别为a=(1，0，1)，b=(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cs=- ，则l与α所成的角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )
A.30° B.45° C.90° D.60°
4.在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为 .
5.如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.求二面角A-BE-D的余弦值.