（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义09 直线的倾斜角与斜率（2份打包，原卷版+教师版）

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学习目标 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
知识点一 直线的倾斜角
1．倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
知识点二 直线的斜率
1．直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.
2．斜率与倾斜角的对应关系
3．过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
思考 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
答案 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．
1．任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( × )
2．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( × )
3．若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.( × )
4．经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．( × )
一、直线的倾斜角
例1 (1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°<α<180°
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为( )
A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45°
反思感悟 直线倾斜角的概念和范围
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
(2)注意倾斜角的范围．
跟踪训练1
(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
二、直线的斜率
例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α；
(2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率．
反思感悟 求直线的斜率
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关．
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为________．
(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
三、倾斜角和斜率的应用
例3 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
反思感悟 倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．
(2)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
跟踪训练3 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
3．若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
4.若A(2,3)，B(3,2)，C(eq \f(1,2)，m)三点共线，则实数m的值为________．
5．经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
1．知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围．
(2)直线斜率的定义和斜率公式．
2．方法归纳：数形结合思想．
3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清．
1．若直线过坐标平面内两点(4,2)，(1,2＋eq \r(3))，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．150° C．60° D．120°
2．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D.eq \f(4,3)
3．(多选)下列说法中，错误的是( )
A．任何一条直线都有唯一的斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角
D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
4．若某直线的斜率k∈(－∞，eq \r(3)]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
5．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α≤90° B．90°≤α<180°
C．90°≤α<180°或α＝0° D．90°≤α≤135°
6．已知三点A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．
7.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
8．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
9．过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直线的倾斜角为135°，求m的值．
10．若A(2,2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2).
11．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是( )
A．2 B．1
C.eq \f(1,2) D．0
12．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
13．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是________．
14．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________．
15．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
16．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求eq \f(y＋1,x＋1)的取值范围．
2．1.2 两条直线平行和垂直的判定
学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
知识点二 两条直线垂直的判定
思考 两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
答案 不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
1．若l1∥l2，则k1＝k2.( × )
2．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( × )
3．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( √ )
一、两条直线平行的判定
例1 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明．
反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法
跟踪训练1 (1)已知l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)，判断直线l1与l2是否平行．
(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．
二、两条直线垂直的判定
例2 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
反思感悟 判断两条直线是否垂直
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
跟踪训练2 判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
垂直与平行的综合应用
典例 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
[素养提升] 用代数运算解决几何图形问题
(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．
(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．
1．若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．2 D．－2
2．已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为( )
A.eq \f(1,a) B．－eq \f(1,a) C．a D．－eq \f(1,a)或不存在
3．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
4．(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是( )
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B．若k1＝k2，则l1∥l2
C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
D．若α1＝α2，则l1∥l2
5．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
1．知识清单：
两直线平行或垂直的条件．
2．方法归纳：分类讨论，数形结合．
3．常见误区：
研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
2．已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是( )
A．－8 B．0 C．2 D．10
3．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( )
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(0，－3) D．(0,3)
4．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－eq \f(2,3)的直线垂直，则实数a的值为( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
5．(多选)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是( )
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
6．若经过点(m，3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________.
8．已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________．
9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
10．已知▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定▱ABCD是否为菱形？
11．(多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3,1) B．(4,1)
C．(－2,1) D．(2，－1)
13．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为( )
A．135° B．45° C．30° D．60°
14．下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有________．(填序号)
①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，eq \r(3))，N(－2，－2eq \r(3))；
④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6)．
15．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.
16．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2
l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2