八年级下册16.1 二次根式当堂达标检测题

这是一份八年级下册16.1 二次根式当堂达标检测题，共28页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25922" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25922 \h 1
\l "_Tc30680" 【考点一 二次根式的定义】 PAGEREF _Tc30680 \h 1
\l "_Tc14405" 【考点二 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc14405 \h 2
\l "_Tc6688" 【考点三 求二次根式的值】 PAGEREF _Tc6688 \h 3
\l "_Tc10263" 【考点四 求二次根式中的参数】 PAGEREF _Tc10263 \h 4
\l "_Tc19658" 【考点五 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc19658 \h 6
\l "_Tc30559" 【考点六 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc30559 \h 7
\l "_Tc24648" 【过关检测】 PAGEREF _Tc24648 \h 10
【典型例题】
【考点一 二次根式的定义】
例题：（2022·全国·八年级专题练习）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022春·四川遂宁·九年级射洪中学校联考期中）下列式子是二次根式的有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
2．（2022春·福建漳州·八年级校联考期中）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（ ）
A．B．C．D．
【考点二 二次根式有意义的条件】
例题：（2022春·四川资阳·九年级统考期末）若代数式有意义，则x的取值范围为______________．
【变式训练】
1．（2022春·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是___________．
2．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如果二次根式有意义，那么应该满足的条件是__________．
【考点三 求二次根式的值】
例题：（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）当x＝2时，二次根式的值是 _____．
【变式训练】
1．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）当时，二次根式的值是_________．
2．（2021秋·湖北荆门·八年级校考阶段练习）已知，则________．
【考点四 求二次根式中的参数】
例题：（2022春·福建泉州·九年级校考期中）如果是一个整数，那么最小正整数___________．
【变式训练】
1．（2022春·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足，则的值是______.
2．（2022春·八年级课时练习）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
【考点五 利用二次根式的性质化简】
例题：（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）计算：______．
【变式训练】
1．（2022春·北京·八年级校考期中）化简：______，______．
2．（2022秋·八年级课时练习）化简：
(1)． (2)． (3)．
【考点六 复合二次根式的化简】
例题：（2022秋·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
【变式训练】
1．（2022春·广东佛山·八年级校考期中）先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________
(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒
【过关检测】
一、选择题
1．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·河南驻马店·九年级统考期中）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）要使式子有意义，x的取值范围是（ ）
A． B．且C．且D．且
4．（2022春·河北邯郸·九年级统考期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2B．-2C．2a-6D．-2a+6
二、填空题
6．（2022春·上海宝山·八年级校考期中）当时，化简__________．
7．（2022春·北京海淀·八年级校考期末）若有意义，则能取的最小整数是______．
8．（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若两不等实数a，b满足，，则的值为 _____．
9．（2022·八年级单元测试）已知a，b都是实数，，则的值为___________．
10．（2022秋·八年级课时练习）填空：
（1）___________，___________，
___________，___________．
（2）数a在数轴上的位置如图，则___________．
三、解答题
11．（2022春·全国·八年级专题练习）化简：
(1) (2) (3)
12．（2021春·福建泉州·八年级福建省安溪第一中学校考期中）已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
13．（2022秋·安徽合肥·八年级校考期中）观察下列等式：
①
②
③
(1)根据等式规律写出第④个等式，并验证其正确性：______．
(2)猜想第个等式，并证明．
14．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）观察下列等式：
①；②；③；④；……
(1)请按规律写出第5个式子；
(2)请按规律写出第n个式子，并予以证明；
15．（2022秋·甘肃天水·七年级期末）观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．
(2)写出用（为任意自然数，且）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．
16．（2022秋·八年级课时练习）填空：
___________，___________；
___________，___________；
___________，___________．
比较左右两边的式子，议一议：与有什么关系？
当时，______；当时，___________．
17．（2022秋·山东济宁·八年级校考期中）先阅读材料，然后回答问题：
(1)嘉淇同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，嘉淇解决这个问题的过程如下：
…①
…②
…③
．…④
上述化简过程中，第______步出现了错误，正确的化简结果为______；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简．
专题01 二次根式的定义及性质
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25922" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25922 \h 1
\l "_Tc30680" 【考点一 二次根式的定义】 PAGEREF _Tc30680 \h 1
\l "_Tc14405" 【考点二 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc14405 \h 2
\l "_Tc6688" 【考点三 求二次根式的值】 PAGEREF _Tc6688 \h 3
\l "_Tc10263" 【考点四 求二次根式中的参数】 PAGEREF _Tc10263 \h 4
\l "_Tc19658" 【考点五 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc19658 \h 6
\l "_Tc30559" 【考点六 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc30559 \h 7
\l "_Tc24648" 【过关检测】 PAGEREF _Tc24648 \h 10
【典型例题】
【考点一 二次根式的定义】
例题：（2022·全国·八年级专题练习）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的被开方数小于0，不是二次根式；
B．当时，不是二次根式；
C．的根指数是3，不是二次根式；
D．是二次根式．
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·四川遂宁·九年级射洪中学校联考期中）下列式子是二次根式的有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，逐一判断．
【详解】当时，是二次根式；
是二次根式，
不是二次根式，
中，不是二次根式，
，是二次根式，
，是二次根式，
∴，，是二次根式，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的定义（一般形如的代数式叫做二次根式）会判断被开方数的正负是解答关键．
2．（2022春·福建漳州·八年级校联考期中）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【详解】解：①∵，∴是二次根式；
②6不是二次根式；
②∵，∴不是二次根式；
④∵，∴，∴是二次根式；
⑤∵，∴是二次根式；
⑥是三次根式，不是二次根式．
所以二次根式有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
【考点二 二次根式有意义的条件】
例题：（2022春·四川资阳·九年级统考期末）若代数式有意义，则x的取值范围为______________．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）若代数式有意义，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如果二次根式有意义，那么应该满足的条件是__________．
【答案】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
【考点三 求二次根式的值】
例题：（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）当x＝2时，二次根式的值是 _____．
【答案】2
【分析】将x=2代入即可求解．
【详解】解：将x=2代入可得：．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了求二次根式的值，掌握二次根式的值的求法是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）当时，二次根式的值是_________．
【答案】4
【分析】把x=2代入二次根式计算可得答案．
【详解】解：∵x=2，
∴=
=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了二次根式的计算求值，解题的关键是正确代入数值计算．
2．（2021秋·湖北荆门·八年级校考阶段练习）已知，则________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论
【详解】求解．
解：∵，
∴与同号，
①当，时，
原式
；
②当，时，
原式
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件．
【考点四 求二次根式中的参数】
例题：（2022春·福建泉州·九年级校考期中）如果是一个整数，那么最小正整数___________．
【答案】2
【分析】根据二次根式的定义，可得答案．
【详解】解：由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022春·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足，则的值是______.
【答案】
【分析】将已知等式整理得，由a，b为有理数，得到，求出a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为有理数，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的关键．
2．（2022春·八年级课时练习）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
【答案】或或
【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
【考点五 利用二次根式的性质化简】
例题：（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）计算：______．
【答案】##
【分析】根据二次根式的性质直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质：，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·北京·八年级校考期中）化简：______，______．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简求解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：；．
【点睛】本题考查二次根式的性质，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键．
2．（2022秋·八年级课时练习）化简：
(1)． (2)． (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先将被开方数的分子分母分别写成平方的形式，再利用二次根式的性质化简即可；
（2）先将被开方数化成假分数，再将分母有理化即可；
（3）直接将分母有理化即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练分母有理化的方法是解题的关键．
【考点六 复合二次根式的化简】
例题：（2022秋·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【详解】（1）解：∵，
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·广东佛山·八年级校考期中）先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________
(2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒
【答案】(1)④，
(2)
【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可；
（2）仿照题意进行化简即可．
【详解】（1）解： ①
②
③
④
，
∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为，
故答案为：④，；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可解答．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
2．（2022春·河南驻马店·九年级统考期中）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义：形如的式子逐项判断即可．
【详解】解：A、缺少条件，不一定是二次根式，本选项不符合题意；
B、为三次根式，不符合二次根式的定义，本选项不符合题意；
C、，是二次根式，本选项符合题意；
D、，缺少条件，不一定是二次根式，本选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟知二次根式的概念是关键．
3．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级校考期末）要使式子有意义，x的取值范围是（ ）
A． B．且C．且D．且
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，，
解得且，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据题意列出不等式．
4．（2022春·河北邯郸·九年级统考期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2．
【详解】∵是整数，且，
∴是完全平方数，
设（m是正整数），
则，
∵与同奇同偶，
∴，或，
∴，或，
∴，
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组．
5．（2022春·四川资阳·九年级统考期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A．2B．-2C．2a-6D．-2a+6
【答案】A
【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出，，再化简即可．
【详解】解：根据数轴可以得到： ，
∴，，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，是解题的关键．
二、填空题
6．（2022春·上海宝山·八年级校考期中）当时，化简__________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质以及题目给出的x与y的关系进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
7．（2022春·北京海淀·八年级校考期末）若有意义，则能取的最小整数是______．
【答案】2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，根据题意解答即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
则m能取的最小整数值是2，故答案为：2．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8．（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若两不等实数a，b满足，，则的值为 _____．
【答案】4
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式可求出和，然后代入原式即可求出答案．
【详解】∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴原式＝．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是，本题属于基础题型．
9．（2022·八年级单元测试）已知a，b都是实数，，则的值为___________．
【答案】4
【分析】直接利用二次根式有意义条件求出a，b的值代入求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，，
解得，
∴ ，
∴ ，
故答案为4．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确得出a的值，再代入求出b的值是解题的关键．
10．（2022秋·八年级课时练习）填空：
（1）___________，___________，
___________，___________．
（2）数a在数轴上的位置如图，则___________．
【答案】 1 3 ## 4
【分析】（1）根据二次根式性质进行化简即可；
（2）根据点a在数轴上的位置关系得出，然后根据二次根式性质进行化简即可．
【详解】解：（1）；
；
；
；
故答案为：1；3；；4．
（2）根据数a在数轴上的位置可知，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，用数轴上的数表示有理数，解题的关键是熟练二次根式的性质．
三、解答题
11．（2022春·全国·八年级专题练习）化简：
(1) (2) (3)
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）先分母有理化，然后再计算乘法；
（2）直接进行计算即可；
（3）直接进行计算即可．
（1）
解：＝6×＝．
（2）；
（3）．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．（2021春·福建泉州·八年级福建省安溪第一中学校考期中）已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【分析】由数轴上的信息可知，由此可得，再结合绝对值和二次根式的性质将绝对值符号和根号去掉，然后合并同类项即可
【详解】解：由数轴可知，
∴，
∴原式
．
【点睛】本题考查了数轴、二次根式的性质、绝对值的化简以及整式的加减运算等知识，关键是确定绝对值符号里式子的符号．
13．（2022秋·安徽合肥·八年级校考期中）观察下列等式：
①
②
③
(1)根据等式规律写出第④个等式，并验证其正确性：______．
(2)猜想第个等式，并证明．
【答案】(1)
(2)第个等式为：，证明见解析
【分析】（1）根据前三个等式的规律直接求解即可；
（2）根据前面等式规律，掌握变化与不变的量，猜想，对左边式子通分，结合二次根式性质化简即可证明．
（1）
解：由前三个等式的规律可知第个等式为：，
故答案为：；
（2）
解：第个等式为：．
证明：左边

右边，
．
【点睛】本题考查等式规律，涉及到二次根式性质，根据已知，把握变化与不变的量是解决问题的关键．
14．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）观察下列等式：
①；②；③；④；……
(1)请按规律写出第5个式子；
(2)请按规律写出第n个式子，并予以证明；
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】通过观察类比总结出通用规律，两个根式相等，第一个根式里面是整数加分数，第二个根式里面是分数，根式外面为整数，发现等式两边的整数和分数之间的关系，即可求解．
（1）
解：根据前四个已有数据分析即可得：
第5个式子为；
（2）
解：由前几个式子变化规律，第n个式子为.
证明如下：
.
【点睛】本题考查了数字类规律探究，关键在于充分理解题干给出的信息，找到各式的公共特点，得到通用公式．
15．（2022秋·甘肃天水·七年级期末）观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．
(2)写出用（为任意自然数，且）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．
【答案】(1)猜想：，验证见解析．
(2)（为任意自然数，且），证明见解析．
【分析】根据题中所给的式子进行验证即可．
根据题中式子的验证过程找出规律即可．
（1）
猜想：，
验证：
（2）
（为任意自然数，且），证明如下：
（为任意自然数，且）．
【点睛】本题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质与化简，观察时，既要注意等式的左右两边的关系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
16．（2022秋·八年级课时练习）填空：
___________，___________；
___________，___________；
___________，___________．
比较左右两边的式子，议一议：与有什么关系？
当时，______；当时，___________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】，；，；
，．
当时，；当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．（2022秋·山东济宁·八年级校考期中）先阅读材料，然后回答问题：
(1)嘉淇同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，嘉淇解决这个问题的过程如下：
…①
…②
…③
．…④
上述化简过程中，第______步出现了错误，正确的化简结果为______；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简．
【答案】(1)第④步出现了错误，正确解答见解析；
(2)
【分析】（1）第④步出现了错误，==．
（2）类比例题，将8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
（1）
解：第④步出现了错误，正确解答如下：
===．
（2）
解：====．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解答本题的关键．