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人教版八年级下册16.1 二次根式习题
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这是一份人教版八年级下册16.1 二次根式习题，共36页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30512" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30512 \h 1
\l "_Tc28331" 【考点一 利用二次根式的非负性求值】 PAGEREF _Tc28331 \h 1
\l "_Tc3188" 【考点二 整体代入求值】 PAGEREF _Tc3188 \h 5
\l "_Tc14366" 【考点三 新定义型二次根式的运算】 PAGEREF _Tc14366 \h 8
\l "_Tc12541" 【考点四 二次根式的分母有理化】 PAGEREF _Tc12541 \h 11
\l "_Tc29175" 【考点五 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc29175 \h 15
\l "_Tc3769" 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 PAGEREF _Tc3769 \h 19
【典型例题】
【考点一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）已知，则的值是（ ）
A．2022B．1C．－1D．0
【变式训练】
1．（2022·江西省于都中学八年级期中）已知a，b满足+（b+3）2＝0，则（a+b）2022的值为 _____．
2．（2022·福建省福州外国语学校七年级期中）已知x、y都是实数，且，则xy=______________．
3．（2021·四川成都·八年级期中）已知实数满足，则的值为_______．
4．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【考点二 整体代入求值】
例题：（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知a＝，b＝，求a2+ab+b2的值．
【变式训练】
1．（2022春·福建漳州·九年级统考期中）已知，完成以下两题：
(1)化简
(2)求代数式的值．
2．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)
3．（2022秋·八年级单元测试）已知，求下列代数式的值：
(1)
(2)
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：（2022·江西新余·七年级期末）规定运算：，其中a、b为实数，则______．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·七年级期末）对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______．
2．（2022·江苏·八年级）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__．
3．（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
4．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．
(1)求的值．
(2)_____________．
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）对实数a，b，定义：，如：．
(1)求的值；
(2)若，试化简：．
6．（2022春·湖南·八年级期末）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如．
(1)填空：___________．
(2)若，求x的值．
【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：（2022·江苏南京·八年级期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：①______，②______；
(2)计算：；
(3)已知有理数、满足，则______，______．
【变式训练】
1．（2021·江西景德镇·八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，，
(1)______；______．
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
(3)利用上面的结论，求下列式子的值．
2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）阅读下面问题：
…
(1)________（n为正整数）．
(2)________．
(3)求的值．
3．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）阅读下列解题过程：
；
；
；
……
解答下列各题：
(1)______；
(2)观察上面的解题过程，请计算.
(3)利用这一规律计算：
.
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：（2022·贵州铜仁·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（2020·江西景德镇·八年级期中）（1）填空：______；______；
（2）例题：化简
解：因为
所以
仿照上例的方法，化简下列各式：
① ②
2．（2022·全国·八年级）我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：
(1)填空：= ；
= ；
(2)化简：++++．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】
例题：（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；
(1)请仿照上面的方法来验证；
(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．并写出过程．
【变式训练】
1．（2022·河北承德·八年级期末）观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
2．（2022·安徽合肥·八年级期中）观察下列各式及验证过程：
＝，验证 ＝＝＝；
＝，验证＝＝＝；
＝，验证＝＝＝…
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．
3．（2022春·北京昌平·八年级统考期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：____________（填写运算结果）；
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：
①化简：____________；
②若（a，b均为正整数），则的值为____________．
4．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）观察下列等式，解答后面的问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
(1)请直接写出第5个等式 ___________；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)利用（2）的结论化简：．
专题03 解题技巧专题：二次根式中有关运算问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30512" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30512 \h 1
\l "_Tc28331" 【考点一 利用二次根式的非负性求值】 PAGEREF _Tc28331 \h 1
\l "_Tc3188" 【考点二 整体代入求值】 PAGEREF _Tc3188 \h 5
\l "_Tc14366" 【考点三 新定义型二次根式的运算】 PAGEREF _Tc14366 \h 8
\l "_Tc12541" 【考点四 二次根式的分母有理化】 PAGEREF _Tc12541 \h 11
\l "_Tc29175" 【考点五 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc29175 \h 15
\l "_Tc3769" 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 PAGEREF _Tc3769 \h 19
【典型例题】
【考点一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）已知，则的值是（ ）
A．2022B．1C．－1D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的非负性即可求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解．
【详解】
解：∵，
则，
∴，
，
，
故选B．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江西省于都中学八年级期中）已知a，b满足+（b+3）2＝0，则（a+b）2022的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵+（b+3）2＝0，而，（b+3）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，（a+b）2022＝（2﹣3）2022＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
2．（2022·福建省福州外国语学校七年级期中）已知x、y都是实数，且，则xy=______________．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用算术平方根的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
【详解】
解： ， ，
， ，
，
将 代入，
得： ，
．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，代数式的求值，熟练掌握并灵活运用算术平方根的非负性是解题的关键．
3．（2021·四川成都·八年级期中）已知实数满足，则的值为_______．
【答案】16
【解析】
【分析】
先对进行变形，然后根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，是解题的关键．
4．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5
(2)的平方根为±2
【解析】
【分析】
（1）根据非负性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，＝0，求出a，b，c的值；
（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，将a，b，c代入求解即可．
(1)
解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，
∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；
(2)
解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则＝＝4，而，
故的平方根为±2．
【点睛】
本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一个数的平方根，熟练地运用以上知识是解决问题的关键．
【考点二 整体代入求值】
例题：（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知a＝，b＝，求a2+ab+b2的值．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据已知式子，根据分母有理化求得的值，进而求得代入代数式即可求解．
【详解】
解：∵
原式
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算及整式乘法运算，正确的计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·福建漳州·九年级统考期中）已知，完成以下两题：
(1)化简
(2)求代数式的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）分母有理化即可化简二次根式；
（2）先求出，的值，运用整体代入解题．
【详解】（1）
；
（2）
原式
．
【点睛】本题考查求代数式的值，二次根式的化简，整体代入简化过程是解题的关键．
2．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)16
(2)14
【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入进行计算即可得；
（2）先求出的值，再结合（1）的结果求出的值，由此即可得．
（1）
解：，，
．
（2）
解：，，
，
，
．
【点睛】本题考查了乘法公式、因式分解、二次根式的乘法与加法，熟练掌握各运算法则和公式是解题关键．
3．（2022秋·八年级单元测试）已知，求下列代数式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简、的值，再求出，，将变形为，再将，代入计算即可；
（2）将变形为，再将，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
∴
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及混合运算，根据已知求出，和对所求式子的变形是解答本题的关键．
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：（2022·江西新余·七年级期末）规定运算：，其中a、b为实数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据规定进行计算，即可求得结果．
【详解】
解：，
=-4
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，理解和运用新规定运算是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·七年级期末）对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据新定义，将所给数值代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查实数的计算，解题的关键是读懂新定义的运算法则．
2．（2022·江苏·八年级）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__．
【答案】
【解析】
【分析】
按新定义的运算规定化简求值．
【详解】
解：6※．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了实数的运算，掌握、理解新定义的规定是解决本题的关键．
3．（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，进行计算即可解答；
（2）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，得到，代入数值进行计算即可解答．
(1)
解：∵，
∴
(2)
解：∵，，
∴
＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解定义新运算a*b＝3a﹣b2是解题的关键．
4．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．
(1)求的值．
(2)_____________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新运算计算即可
（2）根据新运算先计算，然后将和计算的结果再次用新运算计算即可
【详解】（1）∵，
∴
（2）∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和实数的混合运算，解决问题的关键就是根据新定义按照运算规则计算
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）对实数a，b，定义：，如：．
(1)求的值；
(2)若，试化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据求得m的取值范围，进而化简二次根式计算即可．
（1）
解：原式
；
（2）
解：∵，
∴，解
得
∴原式
．
【点睛】本题主要考查了新定义运算及二次根式的计算，正确理解新定义是解题的关键．
6．（2022春·湖南·八年级期末）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如．
(1)填空：___________．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果；
(2)首先根据新定义进行运算，可求得，再解方程即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：3；
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的关键．
【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：（2022·江苏南京·八年级期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：①______，②______；
(2)计算：；
(3)已知有理数、满足，则______，______．
【答案】(1)，；
(2)1
(3)-1，1
【解析】
【分析】
（1）①分子、分母都乘以即可；②分子、分母都乘以；
（2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可；
（3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，得到2a+b=-1，b-a=2，即可求出a=-1，b=1．
(1)
解：①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
(2)
=
=
=1；
(3)
∵，
∴，
∴，
∴，
∵a、b都是有理数，
∴2a+b=-1，b-a=2，
解得a=-1，b=1，
故答案为：-1，1．
【点睛】
此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·江西景德镇·八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，，
(1)______；______．
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
(3)利用上面的结论，求下列式子的值．
【答案】(1)；
(2)为正整数）
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用分母有理化求解；
（2）按照所给等式的变化规律写出第个等式即可；
（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．
(1)
解：（1）；；
故答案为；；
(2)
解：为正整数）；
(3)
解：原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）阅读下面问题：
…
(1)________（n为正整数）．
(2)________．
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2021
【分析】（1）利用平方差公式将原式的分子、分母同时乘以，再进一步计算即可；
（2）利用平方差公式将原式的分子、分母同时乘以，再进一步计算即可；
（3）原式变形为，再进一步计算即可．
【详解】（1）；
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的基本方法．
3．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）阅读下列解题过程：
；
；
；
……
解答下列各题：
(1)______；
(2)观察上面的解题过程，请计算.
(3)利用这一规律计算：
.
【答案】(1)
(2)
(3)2021
【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式即可求解；
（2）分子分母同时乘以有理化因式即可求解；
（3）根据（2）的规律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，正确的计算是解题的关键．
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：（2022·贵州铜仁·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．
(1)
解：
(2)
解：
【点睛】
本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2020·江西景德镇·八年级期中）（1）填空：______；______；
（2）例题：化简
解：因为
所以
仿照上例的方法，化简下列各式：
① ②
【答案】（1）；； （2）①；②
【解析】
【分析】
（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算，即可求解；
（2）①把原式化为，再根据二次根式的性质化简，即可求解；②把原式化为，再根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】
解：（1）
；
；
故答案为：；
（2）①
；
②
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级）我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：
(1)填空：= ；
= ；
(2)化简：++++．
【答案】(1)；；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式的结构，对根号下的式子进行化简配凑，凑完全平方式求解；
（2）对每一项进行配凑，使之成为完全平方式的结构，然后进行化简计算．
(1)
解：；
；
(2)
解：，
，
，
，
．
．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】
例题：（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；
(1)请仿照上面的方法来验证；
(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．并写出过程．
【答案】(1)见解析
(2)，过程见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程求出即可；
（2）求出一般式子都是，根据已知算式的计算过程求出即可．
(1)
解：验证：，
故成立；
(2)
解：，
．
．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质的应用，数字规律型，主要考查学生的计算能力和阅读能力，难度适中．
【变式训练】
1．（2022·河北承德·八年级期末）观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可；
（2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可．
(1)
解：∵，，
∴，
验证：，正确．
(2)
解：，
验证：，正确．
【点睛】
本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键．
2．（2022·安徽合肥·八年级期中）观察下列各式及验证过程：
＝，验证 ＝＝＝；
＝，验证＝＝＝；
＝，验证＝＝＝…
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．
【答案】(1)＝，验证见解析
(2)＝（n≥1的整数）
【解析】
【分析】
（1）类比题目所给的解题方法即可解答；
（2）根据上述变形过程的规律，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系即可得出一般规律，再类比题目所给的解题方法验证即可．
(1)
解：＝；
验证：＝＝．
(2)
；
验证：
（n≥1的整数）
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，同时也考查了学生由特殊到一般的归纳和推理能力．
3．（2022春·北京昌平·八年级统考期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：____________（填写运算结果）；
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：
①化简：____________；
②若（a，b均为正整数），则的值为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)①；②
【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5；
（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；
（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；
（4）①②根据（2）中的规律即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案是：；
（2），
故答案是：；
（3）证明：
左边，
又右边，
左边右边，
成立；
（4）①，
故答案是：；
②，
根据，
得，
解得：，（舍去），
，
故答案是：．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．
4．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）观察下列等式，解答后面的问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
(1)请直接写出第5个等式 ___________；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)利用（2）的结论化简：．
【答案】(1)
(2)（n为正整数），证明见解析
(3)2022
【分析】（1）根据题目规律写出第五个等式即可；
（2）根据题目规律，写出等式；将根号下的数通分，化简即可证明；
（3）根据规律计算即可．
（1）
解：由题意，第五个等式为：；
故答案为：
（2）
（n为正整数），
证明：∵n为正整数，
∴
∴（n是正整数）
又∵，
∴左边=右边，
∴猜想成立；
（3）
原
．
【点睛】本题考查二次根式的规律探索，理解题目中的规律是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30512" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30512 \h 1
\l "_Tc28331" 【考点一 利用二次根式的非负性求值】 PAGEREF _Tc28331 \h 1
\l "_Tc3188" 【考点二 整体代入求值】 PAGEREF _Tc3188 \h 5
\l "_Tc14366" 【考点三 新定义型二次根式的运算】 PAGEREF _Tc14366 \h 8
\l "_Tc12541" 【考点四 二次根式的分母有理化】 PAGEREF _Tc12541 \h 11
\l "_Tc29175" 【考点五 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc29175 \h 15
\l "_Tc3769" 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 PAGEREF _Tc3769 \h 19
【典型例题】
【考点一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）已知，则的值是（ ）
A．2022B．1C．－1D．0
【变式训练】
1．（2022·江西省于都中学八年级期中）已知a，b满足+（b+3）2＝0，则（a+b）2022的值为 _____．
2．（2022·福建省福州外国语学校七年级期中）已知x、y都是实数，且，则xy=______________．
3．（2021·四川成都·八年级期中）已知实数满足，则的值为_______．
4．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【考点二 整体代入求值】
例题：（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知a＝，b＝，求a2+ab+b2的值．
【变式训练】
1．（2022春·福建漳州·九年级统考期中）已知，完成以下两题：
(1)化简
(2)求代数式的值．
2．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)
3．（2022秋·八年级单元测试）已知，求下列代数式的值：
(1)
(2)
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：（2022·江西新余·七年级期末）规定运算：，其中a、b为实数，则______．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·七年级期末）对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______．
2．（2022·江苏·八年级）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__．
3．（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
4．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．
(1)求的值．
(2)_____________．
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）对实数a，b，定义：，如：．
(1)求的值；
(2)若，试化简：．
6．（2022春·湖南·八年级期末）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如．
(1)填空：___________．
(2)若，求x的值．
【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：（2022·江苏南京·八年级期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：①______，②______；
(2)计算：；
(3)已知有理数、满足，则______，______．
【变式训练】
1．（2021·江西景德镇·八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，，
(1)______；______．
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
(3)利用上面的结论，求下列式子的值．
2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）阅读下面问题：
…
(1)________（n为正整数）．
(2)________．
(3)求的值．
3．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）阅读下列解题过程：
；
；
；
……
解答下列各题：
(1)______；
(2)观察上面的解题过程，请计算.
(3)利用这一规律计算：
.
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：（2022·贵州铜仁·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（2020·江西景德镇·八年级期中）（1）填空：______；______；
（2）例题：化简
解：因为
所以
仿照上例的方法，化简下列各式：
① ②
2．（2022·全国·八年级）我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：
(1)填空：= ；
= ；
(2)化简：++++．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】
例题：（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；
(1)请仿照上面的方法来验证；
(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．并写出过程．
【变式训练】
1．（2022·河北承德·八年级期末）观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
2．（2022·安徽合肥·八年级期中）观察下列各式及验证过程：
＝，验证 ＝＝＝；
＝，验证＝＝＝；
＝，验证＝＝＝…
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．
3．（2022春·北京昌平·八年级统考期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：____________（填写运算结果）；
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：
①化简：____________；
②若（a，b均为正整数），则的值为____________．
4．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）观察下列等式，解答后面的问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
(1)请直接写出第5个等式 ___________；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)利用（2）的结论化简：．
专题03 解题技巧专题：二次根式中有关运算问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30512" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30512 \h 1
\l "_Tc28331" 【考点一 利用二次根式的非负性求值】 PAGEREF _Tc28331 \h 1
\l "_Tc3188" 【考点二 整体代入求值】 PAGEREF _Tc3188 \h 5
\l "_Tc14366" 【考点三 新定义型二次根式的运算】 PAGEREF _Tc14366 \h 8
\l "_Tc12541" 【考点四 二次根式的分母有理化】 PAGEREF _Tc12541 \h 11
\l "_Tc29175" 【考点五 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc29175 \h 15
\l "_Tc3769" 【考点六 二次根式中的规律探究问题】 PAGEREF _Tc3769 \h 19
【典型例题】
【考点一 利用二次根式的非负性求值】
例题：（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）已知，则的值是（ ）
A．2022B．1C．－1D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的非负性即可求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解．
【详解】
解：∵，
则，
∴，
，
，
故选B．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江西省于都中学八年级期中）已知a，b满足+（b+3）2＝0，则（a+b）2022的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵+（b+3）2＝0，而，（b+3）2≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，（a+b）2022＝（2﹣3）2022＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
2．（2022·福建省福州外国语学校七年级期中）已知x、y都是实数，且，则xy=______________．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用算术平方根的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．
【详解】
解： ， ，
， ，
，
将 代入，
得： ，
．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，代数式的求值，熟练掌握并灵活运用算术平方根的非负性是解题的关键．
3．（2021·四川成都·八年级期中）已知实数满足，则的值为_______．
【答案】16
【解析】
【分析】
先对进行变形，然后根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，是解题的关键．
4．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5
(2)的平方根为±2
【解析】
【分析】
（1）根据非负性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，＝0，求出a，b，c的值；
（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，将a，b，c代入求解即可．
(1)
解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，
∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；
(2)
解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则＝＝4，而，
故的平方根为±2．
【点睛】
本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一个数的平方根，熟练地运用以上知识是解决问题的关键．
【考点二 整体代入求值】
例题：（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知a＝，b＝，求a2+ab+b2的值．
【答案】15
【解析】
【分析】
根据已知式子，根据分母有理化求得的值，进而求得代入代数式即可求解．
【详解】
解：∵
原式
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算及整式乘法运算，正确的计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·福建漳州·九年级统考期中）已知，完成以下两题：
(1)化简
(2)求代数式的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）分母有理化即可化简二次根式；
（2）先求出，的值，运用整体代入解题．
【详解】（1）
；
（2）
原式
．
【点睛】本题考查求代数式的值，二次根式的化简，整体代入简化过程是解题的关键．
2．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)16
(2)14
【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入进行计算即可得；
（2）先求出的值，再结合（1）的结果求出的值，由此即可得．
（1）
解：，，
．
（2）
解：，，
，
，
．
【点睛】本题考查了乘法公式、因式分解、二次根式的乘法与加法，熟练掌握各运算法则和公式是解题关键．
3．（2022秋·八年级单元测试）已知，求下列代数式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简、的值，再求出，，将变形为，再将，代入计算即可；
（2）将变形为，再将，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
，
∴
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及混合运算，根据已知求出，和对所求式子的变形是解答本题的关键．
【考点三 新定义型二次根式的运算】
例题：（2022·江西新余·七年级期末）规定运算：，其中a、b为实数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据规定进行计算，即可求得结果．
【详解】
解：，
=-4
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，理解和运用新规定运算是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川广安·七年级期末）对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据新定义，将所给数值代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查实数的计算，解题的关键是读懂新定义的运算法则．
2．（2022·江苏·八年级）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__．
【答案】
【解析】
【分析】
按新定义的运算规定化简求值．
【详解】
解：6※．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了实数的运算，掌握、理解新定义的规定是解决本题的关键．
3．（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，进行计算即可解答；
（2）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，得到，代入数值进行计算即可解答．
(1)
解：∵，
∴
(2)
解：∵，，
∴
＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解定义新运算a*b＝3a﹣b2是解题的关键．
4．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．
(1)求的值．
(2)_____________．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新运算计算即可
（2）根据新运算先计算，然后将和计算的结果再次用新运算计算即可
【详解】（1）∵，
∴
（2）∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和实数的混合运算，解决问题的关键就是根据新定义按照运算规则计算
5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）对实数a，b，定义：，如：．
(1)求的值；
(2)若，试化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据新定义运算法则计算即可；
（2）根据求得m的取值范围，进而化简二次根式计算即可．
（1）
解：原式
；
（2）
解：∵，
∴，解
得
∴原式
．
【点睛】本题主要考查了新定义运算及二次根式的计算，正确理解新定义是解题的关键．
6．（2022春·湖南·八年级期末）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
，如．
(1)填空：___________．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果；
(2)首先根据新定义进行运算，可求得，再解方程即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：3；
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的关键．
【考点四 二次根式的分母有理化】
例题：（2022·江苏南京·八年级期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)计算：①______，②______；
(2)计算：；
(3)已知有理数、满足，则______，______．
【答案】(1)，；
(2)1
(3)-1，1
【解析】
【分析】
（1）①分子、分母都乘以即可；②分子、分母都乘以；
（2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可；
（3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，得到2a+b=-1，b-a=2，即可求出a=-1，b=1．
(1)
解：①，
故答案为：；
②，
故答案为：；
(2)
=
=
=1；
(3)
∵，
∴，
∴，
∴，
∵a、b都是有理数，
∴2a+b=-1，b-a=2，
解得a=-1，b=1，
故答案为：-1，1．
【点睛】
此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2021·江西景德镇·八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，，
(1)______；______．
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
(3)利用上面的结论，求下列式子的值．
【答案】(1)；
(2)为正整数）
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用分母有理化求解；
（2）按照所给等式的变化规律写出第个等式即可；
（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．
(1)
解：（1）；；
故答案为；；
(2)
解：为正整数）；
(3)
解：原式
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）阅读下面问题：
…
(1)________（n为正整数）．
(2)________．
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2021
【分析】（1）利用平方差公式将原式的分子、分母同时乘以，再进一步计算即可；
（2）利用平方差公式将原式的分子、分母同时乘以，再进一步计算即可；
（3）原式变形为，再进一步计算即可．
【详解】（1）；
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的基本方法．
3．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）阅读下列解题过程：
；
；
；
……
解答下列各题：
(1)______；
(2)观察上面的解题过程，请计算.
(3)利用这一规律计算：
.
【答案】(1)
(2)
(3)2021
【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式即可求解；
（2）分子分母同时乘以有理化因式即可求解；
（3）根据（2）的规律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，正确的计算是解题的关键．
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：（2022·贵州铜仁·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．
(1)
解：
(2)
解：
【点睛】
本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2020·江西景德镇·八年级期中）（1）填空：______；______；
（2）例题：化简
解：因为
所以
仿照上例的方法，化简下列各式：
① ②
【答案】（1）；； （2）①；②
【解析】
【分析】
（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算，即可求解；
（2）①把原式化为，再根据二次根式的性质化简，即可求解；②把原式化为，再根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】
解：（1）
；
；
故答案为：；
（2）①
；
②
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级）我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：
(1)填空：= ；
= ；
(2)化简：++++．
【答案】(1)；；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式的结构，对根号下的式子进行化简配凑，凑完全平方式求解；
（2）对每一项进行配凑，使之成为完全平方式的结构，然后进行化简计算．
(1)
解：；
；
(2)
解：，
，
，
，
．
．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
【考点六 二次根式中的规律探究问题】
例题：（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；
(1)请仿照上面的方法来验证；
(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．并写出过程．
【答案】(1)见解析
(2)，过程见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知计算过程求出即可；
（2）求出一般式子都是，根据已知算式的计算过程求出即可．
(1)
解：验证：，
故成立；
(2)
解：，
．
．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质的应用，数字规律型，主要考查学生的计算能力和阅读能力，难度适中．
【变式训练】
1．（2022·河北承德·八年级期末）观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可；
（2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可．
(1)
解：∵，，
∴，
验证：，正确．
(2)
解：，
验证：，正确．
【点睛】
本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键．
2．（2022·安徽合肥·八年级期中）观察下列各式及验证过程：
＝，验证 ＝＝＝；
＝，验证＝＝＝；
＝，验证＝＝＝…
(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．
【答案】(1)＝，验证见解析
(2)＝（n≥1的整数）
【解析】
【分析】
（1）类比题目所给的解题方法即可解答；
（2）根据上述变形过程的规律，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系即可得出一般规律，再类比题目所给的解题方法验证即可．
(1)
解：＝；
验证：＝＝．
(2)
；
验证：
（n≥1的整数）
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，同时也考查了学生由特殊到一般的归纳和推理能力．
3．（2022春·北京昌平·八年级统考期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：____________（填写运算结果）；
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：
①化简：____________；
②若（a，b均为正整数），则的值为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)①；②
【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5；
（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；
（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；
（4）①②根据（2）中的规律即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案是：；
（2），
故答案是：；
（3）证明：
左边，
又右边，
左边右边，
成立；
（4）①，
故答案是：；
②，
根据，
得，
解得：，（舍去），
，
故答案是：．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．
4．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）观察下列等式，解答后面的问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
(1)请直接写出第5个等式 ___________；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)利用（2）的结论化简：．
【答案】(1)
(2)（n为正整数），证明见解析
(3)2022
【分析】（1）根据题目规律写出第五个等式即可；
（2）根据题目规律，写出等式；将根号下的数通分，化简即可证明；
（3）根据规律计算即可．
（1）
解：由题意，第五个等式为：；
故答案为：
（2）
（n为正整数），
证明：∵n为正整数，
∴
∴（n是正整数）
又∵，
∴左边=右边，
∴猜想成立；
（3）
原
．
【点睛】本题考查二次根式的规律探索，理解题目中的规律是解题的关键．
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