人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质综合训练题

这是一份人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质综合训练题，共44页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19877" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19877 \h 1
\l "_Tc17971" 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 PAGEREF _Tc17971 \h 1
\l "_Tc26105" 【考点二 利用平行四边形的性质证明】 PAGEREF _Tc26105 \h 3
\l "_Tc30918" 【考点三 判断能否构成平行四边形】 PAGEREF _Tc30918 \h 5
\l "_Tc32437" 【考点四 添一个条件成为平行四边形】 PAGEREF _Tc32437 \h 7
\l "_Tc13267" 【考点五 证明四边形是平行四边形】 PAGEREF _Tc13267 \h 8
\l "_Tc31214" 【考点六 平行四边形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc31214 \h 10
\l "_Tc2220" 【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】 PAGEREF _Tc2220 \h 12
\l "_Tc17650" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17650 \h 16
【典型例题】
【考点一 利用平行四边形的性质求解】
例题：（2022春·广东江门·八年级校联考期中）在平行四边形中，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在中，，，平分交边于点，则（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
2．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，，E为的中点，若，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点二 利用平行四边形的性质证明】
例题：（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）在平行四边形中平分，平分，证明：．
【变式训练】
1．（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：．
2．（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若，，求的面积．
【考点三 判断能否构成平行四边形】
例题：（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C． ， D． ，
【变式训练】
1．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【考点四 添一个条件成为平行四边形】
例题：（2022春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．
【变式训练】
1．（2021春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，要使四边形BEDF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_______________．
2．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________．
【考点五 证明四边形是平行四边形】
例题：（2021春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在中，，垂足分别为，四边形是平行四边形吗？为什么？
【变式训练】
1．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图、在中，已知点E和点F分别在和上，且，连接和，试说明四边形是平行四边形．
2．（2022秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知在四边形中，，点F是的中点，连接交于点A，且点E是的中点，求证：四边形是平行四边形．
【考点六 平行四边形中的折叠问题】
例题：（2022春·四川自贡·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△处，与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠的度数为______．
【变式训练】
1．（2022春·广东广州·九年级校考期中）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则___．
2．（2022春·上海嘉定·八年级校考期中）如图，在▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为______．
【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】
例题：（2022春·北京顺义·八年级校考阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果平分，，，求的长．
【变式训练】
1．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在中，，M、N分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
2．（2022春·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）在中，若，则平行四边形的周长是（ ）
A．30B．28C．26D．22
2．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022春·宁夏银川·八年级校考期末）如图，的对角线的长为10，，的长为6，则的面积为（ ）
A．60B．30C．20D．16
4．（2022秋·辽宁本溪·九年级校考阶段练习）如图，，对角线、交于点O，于O交BC于E，若的周长为8，则的周长为（ ）
A．14B．16C．17D．18
5．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，则：
①；
②图中共有6对全等三角形；
③若，，则；
④；
其中正确的结论有（ ）
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③
二、填空题
6．（2022春·广西钦州·八年级阶段练习）如图所示，四边形是平行四边形，，为垂足．若，则等于______
7．（2022春·湖南永州·八年级校考阶段练习）在四边形中，AD=BC,补充一个条件使其成为平行四边形，你补充的条件是_____只需填一个即可．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为______．
9．（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．
10．（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t，当________s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
三、解答题
11．（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，．
(1)求证；四边形ABCD为平行四边形；
(2)求四边形的面积．
12．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，，，垂足分别为点E，F．
(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF为平行四边形，你添加的条件是______．
(2)添加了条件后，请证明四边形DEBF为平行四边形．
13．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
(1)当∠BGC等于多少度时，四边形ABCD是平行四边形？并以此为条件，证明该四边形为平行四边形．
(2)在（1）问的情况下，求证：AF＝DE．
14．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
15．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
(1)若为中点，求证：．
(2)若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
(3)在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
16．（2022秋·山西朔州·九年级统考期末）综合与实践
【问题情境】
（1）如图1，在平行四边形中，，，，的平分线分别与直线CD交于点E，F，则的长为__________；
【知识拓展】
（2）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求的长；
②当点E与点C重合时，求的长．
【综合运用】
（3）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点E，F在C，D中间，且点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，如图2，图3所示，求的值．
专题09 平行四边形的性质与判定
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19877" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19877 \h 1
\l "_Tc17971" 【考点一 利用平行四边形的性质求解】 PAGEREF _Tc17971 \h 1
\l "_Tc26105" 【考点二 利用平行四边形的性质证明】 PAGEREF _Tc26105 \h 3
\l "_Tc30918" 【考点三 判断能否构成平行四边形】 PAGEREF _Tc30918 \h 5
\l "_Tc32437" 【考点四 添一个条件成为平行四边形】 PAGEREF _Tc32437 \h 7
\l "_Tc13267" 【考点五 证明四边形是平行四边形】 PAGEREF _Tc13267 \h 8
\l "_Tc31214" 【考点六 平行四边形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc31214 \h 10
\l "_Tc2220" 【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】 PAGEREF _Tc2220 \h 12
\l "_Tc17650" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17650 \h 16
【典型例题】
【考点一 利用平行四边形的性质求解】
例题：（2022春·广东江门·八年级校联考期中）在平行四边形中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．
【详解】解：如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．
【变式训练】
1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在中，，，平分交边于点，则（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
又∵平分
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理．
2．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平行四边形中，，E为的中点，若，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可得，再由直角三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，E为的中点，，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
【考点二 利用平行四边形的性质证明】
例题：（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）在平行四边形中平分，平分，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】先根据平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，同理可证，由此即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行四边形对边平行且相等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】只需要利用证明即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边相等且平行是解题的关键．
2．（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，根据对顶角相等，，再根据点E是边的中点，即可求证；
（2）通过证明为等腰三角形，即可求证；
（3）由题意可得，的面积等于的面积，利用含角直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：由（1）可得，
∴，即为的中线，，
又∵，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，即平分；
（3）解：由（2）可得平分；
又∵
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，则，
∴．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
【考点三 判断能否构成平行四边形】
例题：（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【详解】解：A、，，不能判定四边形为平行四边形；
B、，，不能判定四边形为平行四边形；
C、，，能判定四边形为平行四边形；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．由，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
D．∵，，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【考点四 添一个条件成为平行四边形】
例题：（2022春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，ABCD，线段AC和BD交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．
【答案】ADCB（答案不惟一）．
【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．
【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：ADCB，
故答案为：ADCB（答案不惟一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．
【变式训练】
1．（2021春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，要使四边形BEDF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_______________．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质可得到，要证明四边形BEDF是平行四边形，只需要即可．
【详解】添加，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形BEDF是平行四边形，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
2．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）如图，在平行四边形中，是对角线，E，F是对角线上的两点，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________．
【答案】BF=DE（答案不唯一）
【分析】连接对角线AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可．
【详解】解：添加的条件为BF=DE，理由如下：
证明：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BF=DE，
∴BO-BF=DO-DE，
即OF=OE，
四边形AFCE为平行四边形，
故答案为：BF=DE（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
【考点五 证明四边形是平行四边形】
例题：（2021春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在中，，垂足分别为，四边形是平行四边形吗？为什么？
【答案】是，理由见解析
【分析】由于都垂直于，首先可以确定的是；然后再通过证，来得出即可．
【详解】答：四边形是平行四边形．
证明：∵，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图、在中，已知点E和点F分别在和上，且，连接和，试说明四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据四边形是平行四边形，可得，又因为，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定．掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键．
2．（2022秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知在四边形中，，点F是的中点，连接交于点A，且点E是的中点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先证明，得，再证，即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
【考点六 平行四边形中的折叠问题】
例题：（2022春·四川自贡·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△处，与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠的度数为______．
【答案】36°##36度
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠=∠D=52°，∠=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠=108°，即可得出∠的大小．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠=∠D=52°，∠=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠=180°-∠∠=108°，
∴∠=108°72°=36°；
故答案为：36°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·广东广州·九年级校考期中）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则___．
【答案】
【分析】利用平行四边形的性质得，进而得出，利用折叠的性质得，进而求出，利用三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：在中，，
，
沿对角线折叠，使点落在点处，
，
，
在中，．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
2．（2022春·上海嘉定·八年级校考期中）如图，在▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为______．
【答案】6
【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明，此为解题的关键性结论；运用的周长为，求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，四边形为平行四边形，
，；
由题意得：，；
的周长为，的周长为，
，，
，
即，
，即；
，
故答案为：．
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．
【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】
例题：（2022春·北京顺义·八年级校考阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为点为四边形外一点，且，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果平分，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别证明，得出结论；
（2）利用勾股定理求出，再利用等积法求出，即可得出结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
过作，
∴，
∴，
∵垂直平分，则,
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在中，，M、N分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得、，根据M、N分别是AD、BC的中点可得，然后根据平行四边形的判定定理即可证明结论；
（2）如图：连接ND，先说明是等边三角形的判定与性质，可得、，再根据三角形外角的性质，可得，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵是平行四边形，
∴，．
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图：连接ND，
∵是平行四边形，
∴．
∵N是BC的中点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是等边三角形是解题的关键．
2．（2022春·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【答案】(1)见解析
(2)CN=2
【分析】（1）证明DEBC，再证∠DMF=∠2，得DBEC，则四边形BCED是平行四边形，即可得出结论；
（2）由（1）得：BC=DE=2，ECDB，再由平行线的性质得∠CNB=∠DBN，然后证∠CNB=∠CBN，则可由CN=BC求解．
（1）
证明：∵∠A=∠F，
∴DEBC，
∵∠1=∠2，∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DBEC，
∴四边形BCED是平行四边形，
（2）
解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
由（1）得：BC=DE=2，ECDB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，证明四边形BCED为平行四边形是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）在中，若，则平行四边形的周长是（ ）
A．30B．28C．26D．22
【答案】D
【分析】根据平行四边形的对边相等可得，，进而可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形的周长是22，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．
2．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④对角线互相平分的四边形是平行四边形．直接利用平行四边形的判定定理即可得出答案．
【详解】解：A. 当，四边形是平行四边形或等腰梯形，此选项不合题意．
B. 当，不能得到四边形是平行四边形，此选项不合题意．
C.当 ，不能得到四边形是平行四边形，d此选项不合题意．
D.当，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键．
3．（2022春·宁夏银川·八年级校考期末）如图，的对角线的长为10，，的长为6，则的面积为（ ）
A．60B．30C．20D．16
【答案】B
【分析】过点C作，交延长线于点H，利用含30度角的性质得出再利用平行四边形求面积即可．
【详解】解：过点C作，交延长线于点H．


．
故选B．
【点睛】题目主要考查平行四边形的面积及含30度角的性质，熟练掌握含30度角的性质是解题关键．
4．（2022秋·辽宁本溪·九年级校考阶段练习）如图，，对角线、交于点O，于O交BC于E，若的周长为8，则的周长为（ ）
A．14B．16C．17D．18
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得出，，，再根据线段垂直平分线的性质得出，由的周长得出，即可求出平行四边形的周长．
【详解】四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为8，
，
平行四边形的周长；
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算．
5．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，则：
①；
②图中共有6对全等三角形；
③若，，则；
④；
其中正确的结论有（ ）
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三边关系得出的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，故①正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：，，，，，共6对，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质和三边关系的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
二、填空题
6．（2022春·广西钦州·八年级阶段练习）如图所示，四边形是平行四边形，，为垂足．若，则等于______
【答案】30
【分析】由平行四边形的性质可求的度数，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．（2022春·湖南永州·八年级校考阶段练习）在四边形中，AD=BC,补充一个条件使其成为平行四边形，你补充的条件是_____只需填一个即可．
【答案】AB=CD（答案不唯一）
【分析】接利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形，进而得出答案．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，AD=BC，要使四边形ABCD是平行四边形，
还需添加一个条件是：AB=CD，ADBC，∠A+∠B=180°，
故答案为：AB=CD（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为______．
【答案】3
【分析】先利用角平分线和平行四边形对边平行得到，进一步得到，从而可得．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出．
9．（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是________．
【答案】
【分析】过点A作直线的对称点F，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，过点E作直线的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线的对称点F，连接，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A与点F关于直线对称，
∴，，则，
∴是等边三角形，
∵在中，，
∴，
过点E作直线的垂线，垂足为点G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
10．（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t，当________s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【答案】或5
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
故答案为：或5．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定；注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
三、解答题
11．（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，．
(1)求证；四边形ABCD为平行四边形；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)120
【分析】（1）在中，由勾股定理求，则可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，结论得证；
（2）根据平行四边形的面积为计算求解即可．
【详解】（1）证明：在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：由（1）可知平行四边形的面积为，
∴四边形的面积为120．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行四边形的面积、勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12．（2023春·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，，，垂足分别为点E，F．
(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF为平行四边形，你添加的条件是______．
(2)添加了条件后，请证明四边形DEBF为平行四边形．
【答案】(1)DE=BF（答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的判定可得出答案；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得DE∥BF，由平行四边形的判定可添加的条件是DE=BF（答案不唯一），
故答案为：DE=BF（答案不唯一）；
（2）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∵DE=BF，
∴四边形DEBF为平行四边形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
13．（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
(1)当∠BGC等于多少度时，四边形ABCD是平行四边形？并以此为条件，证明该四边形为平行四边形．
(2)在（1）问的情况下，求证：AF＝DE．
【答案】(1)90°，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）证出∠GBC+∠GCB=90°，由角平分线的定义得出∠ABC=2∠GBC，∠BCD=2∠DCF，得出∠ABC+∠BCD=180°，证出AB//CD，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD//BC，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF．
（1）
解：∠BGC=90°时，四边形ABCD是平行四边形，
证明：∵∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠GCB=90°，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，
∴∠ABC=2∠GBC，∠BCD=2∠DCF，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB//CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定等知识的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键．
14．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得，，根据是的中点，，即可判定四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，根据四边形是平行四边形，得，，又根据四边形是平行四边形，，；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，求出，的长度，即可求解．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵F是AD的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
（2）∵四边形是平行四边形
∴，
又∵四边形是平行四边形
∴，
∴
过点作于点
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．
15．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
(1)若为中点，求证：．
(2)若，当点在线段上运动时，的长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
(3)在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
【答案】(1)见解析
(2)F的长度不变，
(3)或
【分析】（1）证明即可解决问题．
（2）结论：的长度不变．．证明，再证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题．
（3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，作于．当点在的延长线上时，分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
．
（2）解：结论：的长度不变．．
理由：如图中，取的中点，连接，．
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∴
∴．
（3）解：如图中，当点在线段上时，作于．
在中，，，
，
，
当点在DA的延长线上时，同法可得
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
16．（2022秋·山西朔州·九年级统考期末）综合与实践
【问题情境】
（1）如图1，在平行四边形中，，，，的平分线分别与直线CD交于点E，F，则的长为__________；
【知识拓展】
（2）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求的长；
②当点E与点C重合时，求的长．
【综合运用】
（3）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点E，F在C，D中间，且点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，如图2，图3所示，求的值．
【答案】（1）2；（2）①，②；（3）的值为或
【分析】（1）利用平行四边形的性质，角平分线的定义及等角对等边求出，即可求解；
（2）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，即可完成求解；②证明出即可完成求解；
（3）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 ，以及点C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．
【详解】解：【问题情境】（1）∵，的平分线分别与直线CD交于点E，F，
∴，
∵四边形是平行四边形，，，
∴,
∴，
∴，
∴,
∴，
故答案为：2；
【知识拓展】（2）①如图①所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵点E与点F重合，
∴；
②如图②所示：
∵点E与点C重合，
∴，
∵，
∴点F与点D重合，
∴；
【综合运用】（3）分两种情况：
①如图2所示：
同（2）得：，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴，
∴；
②如图3所示：
同（2）得：，
∵，∴；
综上所述，的值为或.
【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等边对等角等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．