初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数一课一练

这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数一课一练，共50页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30638" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30638 \h 1
\l "_Tc17713" 【考点一 一次函数中平移问题】 PAGEREF _Tc17713 \h 1
\l "_Tc6901" 【考点二 一次函数中的规律探究问题】 PAGEREF _Tc6901 \h 7
\l "_Tc18486" 【考点三 一次函数——分段函数】 PAGEREF _Tc18486 \h 15
\l "_Tc14459" 【考点四 绝对值的一次函数】 PAGEREF _Tc14459 \h 23
\l "_Tc13442" 【考点五 新定义一次函数】 PAGEREF _Tc13442 \h 32
【典型例题】
【考点一 一次函数中平移问题】
例题：（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求四边形的面积．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知直线，直线与直线关于轴对称，将直线向下平移6个单位得到直线，则直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）若点在直线上，把直线的图像向上平移2个单位，所得的直线表达式为______．
3．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．
4．（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）把一次函数的图象进行平移后，得到的图象的解析式是，有下列说法：①把向下平移4个单位，②把向上平移4个单位，③把向左平移4个单位，④把向右平移4个单位．其中正确的说法是______（把你认为正确说法的序号都填上）．
5．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为___________．
6．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线平移到直线，直线与轴交于点，点与点，点与点分别是平移前后的对应点，若线段在平移过程中扫过的图形面积为，求点的坐标．
7．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数的图象平移后经过点．
(1)求平移后的函数表达式；
(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【考点二 一次函数中的规律探究问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则A4的坐标是_____；的坐标是 _____．
【变式训练】
1．（2023·山东枣庄·校考一模）如图、、都是等腰直角三角形，直角顶点、，均在直线上，直线的解析式为，点的横坐标为，根据此规律第个等腰直角三角形的面积为_____________．
2．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，已知、、在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，），若，则______，则______．
3．（2023春·广西南宁·八年级南宁十四中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、…在直线上，以为边作第一个正方形，使点在x铀的正半轴上，得到正方形的对角线的交点；以为边作第二个正方形，使点在x轴的正半轴上，得到正方形的对角线的交点；依次作下去，第2023个正方形的对角线的交点的纵坐标是______．
4．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…．在x轴正半轴上，点，，，…，在直线上．已知点，且，，，…均为等边三角形．
（1）线段的长度为_________；
（2）点的坐标为_________；
（3）线段的长度为_________．
【考点三 一次函数——分段函数】
例题：（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝ ．
【变式训练】
1．（2020·吉林松原·八年级期末）已知函数，
（1）该函数图象与轴交点的纵坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）若点是该函数图象上一点，点的坐标是．当的面积为时，求点的坐标；
（4）当直线与该函数图象有两个交点时，直接写出的取值范围．
2．（2021·辽宁大连·八年级期末）已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当时，若点在图象G上，求n的值；
（2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值；
（3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【考点四 绝对值的一次函数】
例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)函数的最小值为____________．
(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．
【变式训练】
1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是x与y的几组对应值．
m的值为 ；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
2．（2022·山西大同·八年级期末）某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整：
(1)函数中自变量的取值范围是______．
(2)下表是与的几组对应值．
填空：______，______．
(3)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
(4)根据所画函数图象，你能得出哪些合理的结论？（写出一条即可）
3．（2022·湖北襄阳·八年级期末）请根据学习函数经验，对函数的图象与性质进行探究．
(1)在函数中，自变量x的取值范围是_________．
(2)下表是x与y的对应值：
①________；
②若为该函数图象上不同的两点，则__________﹔
(3)在如图的直角坐标系中：
①描出上表中各对对应值的坐标的点，并根据描出的各点，画出该函数的大致图象；
②根据函数图象可得，该函数的最小值为__________；
③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质：____________．
4．（2021·河南许昌·八年级期末）我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质．
（1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象．
【考点五 新定义一次函数】
例题：（2022·江苏南通·八年级期中）对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”．
例如，一次函数，它的“和谐函数”为．
(1)一次函数的“和谐函数”为______；
(2)已知点的坐标为，点的坐标为，函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，求的取值范围．
【变式训练】
1．（浙江省宁波市鄞州实验中学2022—2023学年八年级上学期数学期末试卷）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
(1)点在的“逆反函数”图象上，则 ；
(2) 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
(3)若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
2．（2023秋·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
如果，那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，点的“关联点”为点
(1)点的“关联点”为，则______；
(2)①如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为______；
②如果点是一次函数图象上点的“关联点”，求点的坐标
3．（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）定义：已知点中的，为常数且，无论实数取何值，点都在直线上，我们就称直线l为点P的“恒定线”．例如：点，无论实数a取何值，点都在直线上，即当时，，则直线是点的“恒定线”．
(1)已知直线，它是 的“恒定线”．(填序号)
①点；②点；③点
(2)若点，求点的“恒定线”的解析式．
(3)已知点，为任意实数，当m变化时，点在它的“恒定线”上运动，若点的“恒定线”与两条坐标轴围成了等腰直角三角形，求此时的值．
4．（2023春·八年级课时练习）定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”.
(1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由;
(2)设函数与的图像相交于点P.
①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
5．（2023·北京·模拟预测）定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”．
(1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由．
(2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式．
(3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围．
x
…
-1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣2
﹣1
0


2
2
2
…
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
b
1
0
1
2
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
2
m
0
1
2
3
4
…
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
…
4
3
2
0
1
3
4
…
x
…
0
1
2
3
…
…
4
3
2
m
2
3
4
…
专题18 能力提升专题：一次函数的综合与新定义函数压轴题五种模型全攻略
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\l "_Tc17713" 【考点一 一次函数中平移问题】 PAGEREF _Tc17713 \h 1
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\l "_Tc18486" 【考点三 一次函数——分段函数】 PAGEREF _Tc18486 \h 15
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【典型例题】
【考点一 一次函数中平移问题】
例题：（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设直线对应的函数表达式为：，将点、代入，待定系数法求解析式即可；
（2）根据一次函数的平移规律得出直线对应的函数表达式为：，求得，根据四边形的面积为，即可求解．
【详解】（1）设直线对应的函数表达式为：，
将点、代入，得。
，
解得：。
∴直线对应的函数表达式为
（2）把直线：沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，
∴直线对应的函数表达式为：，
∵直线分别与轴、轴交于点C、D．
令，得，令，得，
∴.
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知直线，直线与直线关于轴对称，将直线向下平移6个单位得到直线，则直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据直线与直线关于轴对称，求出直线的解析式，再根据一次函数图象平移，求出直线，再联立，的解析式，求解即可．
【详解】解：设直线与y轴与x轴的交点为点A、B，
令，则，
∴；
令，则，
∴；
直线与直线关于轴对称，
∴点关于轴对称，
设直线的解析式为，
把，分别代入，得
，解得：，
∴直线：，
将直线向下平移6个单位得到直线，
则，
联立与的解析式，得
，
解得：，
∴直线与直线的交点坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两直线的交点，熟练掌握一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）若点在直线上，把直线的图像向上平移2个单位，所得的直线表达式为______．
【答案】
【分析】把点代入中，确定直线的解析式，再运用直线的平移规律计算即可．
【详解】点代入中，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴的图像向上平移2个单位得到的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解析式与点的坐标的关系，直线平移的规律，熟练掌握直线平移的规律是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．
【答案】
【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入，即可求出m的值．
【详解】解：将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，即，
∴平移后的直线与x轴交于，
∴，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4．（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）把一次函数的图象进行平移后，得到的图象的解析式是，有下列说法：①把向下平移4个单位，②把向上平移4个单位，③把向左平移4个单位，④把向右平移4个单位．其中正确的说法是______（把你认为正确说法的序号都填上）．
【答案】①④/④①
【分析】根据一次函数图象的平移规律逐个判断即可得．
【详解】解：①把向下平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法正确；
②把向上平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法错误；
③把向左平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法错误；
④把向右平移4个单位所得的函数解析式为，即为，则此说法正确；
综上，正确的说法是①④，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．
5．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为___________．
【答案】8
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积．
【详解】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、．
由图象和题意可得，，，，
则，，
矩形的面积为．
故答案为：8．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
6．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线平移到直线，直线与轴交于点，点与点，点与点分别是平移前后的对应点，若线段在平移过程中扫过的图形面积为，求点的坐标．
【答案】
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点可求的坐标，根据平移的性质，可得四边形是平行四边形，根据线段在平移过程中扫过的图形面积为，可得点的坐标，由此可知点的平移规律，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
对于直线，令，
∴，
令，
∴，
∴，，
∴，．
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
又∵点向下平移个单位，向左平移个单位得到，
∴点向下平移个单位，向左平移个单位得到，
∴．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的变换，理解并掌握一次函数平移的特点，平行四边形的性质是解题的关键．
7．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数的图象平移后经过点．
(1)求平移后的函数表达式；
(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数平移规律，设平移后的解析式为，将点，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，设平移后的解析式为，将点，代入得，
，
解得：，
∴平移后的函数表达式为：；
（2）解：由，令，解得，
令，解得：，
如图，设一次函数，分别与坐标轴交于点，
则
∴平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，根据平移求得解析式是解题的关键．
【考点二 一次函数中的规律探究问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则A4的坐标是_____；的坐标是 _____．
【答案】 （7，8） （2n-1-1，2n-1）
【分析】由题意可得A1，A2，A3，A4的坐标，可得点A坐标规律，即可求解．
【详解】解：由题意可得正方形OA1B1C1边长为1，
正方形A2B2C2C1的边长为2，
正方形A3B3C3C2的边长为4，
…
正方形AnBnCnCn-1的边长为2n-1，
∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），…，An（2n-1-1，2n-1），
故答案为：（7，8），（2n-1-1，2n-1）．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式训练】
1．（2023·山东枣庄·校考一模）如图、、都是等腰直角三角形，直角顶点、，均在直线上，直线的解析式为，点的横坐标为，根据此规律第个等腰直角三角形的面积为_____________．
【答案】
【分析】分别过点、，作轴的出现，垂足分别为，先求得，,，找到规律即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过点、，作轴的出现，垂足分别为，
∵在，且的横坐标为1
∴,
∴，
设，则，
∴的横坐标为，
∴，
代入，即，
解得：，
∴，
同理可得，……，
∴，,
……，
∴根据此规律第个等腰直角三角形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数规律题，找到规律是解题的关键．
2．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，已知、、在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，），若，则______，则______．
【答案】 1 675
【分析】关键一次函数图像上点的坐标特征，得到的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解．
【详解】解：∵、、，…，在直线上，
∴ ，，，，…，；
又∵，
故
∴；
；
；
；
…
∴S（n为奇数），（n为偶数），
∴ ．
故答案是：1；675．
【点睛】本题考查一次函数上点的坐标特征，根据特殊点的坐标得到变化规律是解决问题的关键．
3．（2023春·广西南宁·八年级南宁十四中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、…在直线上，以为边作第一个正方形，使点在x铀的正半轴上，得到正方形的对角线的交点；以为边作第二个正方形，使点在x轴的正半轴上，得到正方形的对角线的交点；依次作下去，第2023个正方形的对角线的交点的纵坐标是______．
【答案】
【分析】依次求出、、的坐标，探索其规律，即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点、、…在直线上，
∴的坐标为，的坐标为，
根据中点坐标公式得的坐标为，即；
的坐标为，的坐标为，根据中点坐标公式得的坐标为，即；
的坐标为，的坐标为，根据中点坐标公式得的坐标为，即；
的坐标为，的坐标为，根据中点坐标公式得的坐标为，即；
∴点的坐标，
∴点的坐标是，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，关键根据图形性质依次求出、、，…的坐标，探索其规律．
4．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…．在x轴正半轴上，点，，，…，在直线上．已知点，且，，，…均为等边三角形．
（1）线段的长度为_________；
（2）点的坐标为_________；
（3）线段的长度为_________．
【答案】 （22021，0）
【分析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，由y=x得出∠AnOBn=30°，再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，从而得出BnBn+1=an，设An的坐标为（an，0），由点A1的坐标为（1，0），得到a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，an=2n-1．即可求得A2022的坐标B1B2=a1=，B2021B2022=a2020=×22020=22020．
【详解】解：设等边△BnAnAn+1的边长为an，
∵点B1，B2，B3，…是在直线y=x（x≥0）上的第一象限内的点，
∴∠AnOBn=30°，
又∵△BnAnAn+1为等边三角形，
∴∠BnAnAn+1=60°，
∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°，
∴BnBn+1=OBn=an，
∵点A1的坐标为（1，0），
设An的坐标为（an，0），
∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…，
∴an=2n-1．
∴A2022（22021，0）．
∴B1B2=a1=，B2021B2022a2021=×22020=22020．
故答案为：B1B2=a1=，A2021A2022=22020，2021B2022a2021=×22020=22020．
【点睛】本题考查了坐标规律变换，一次函数的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形边的特征找出边的变化规律AnAn+1=an=2n-1．
【考点三 一次函数——分段函数】
例题：（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）②③；（3）
【分析】（1）根据所给的函数解析式填表，然后描点连线即可得到答案；
（2）根据函数图像进行逐一判断即可；
（3）根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，由此求解即可．
【详解】解：（1）列表如下：
函数图像如下图所示：
（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于y轴对称，故①错误；
观察函数图像可知，此函数没有最小值，故②正确；
观察图像可知当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变，故③正确；
故答案为：②③；
（3）∵直线与函数只有一个交点，
∴根据函数图像可知，只有当直线经过点（3，2）时，才满足题意，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质．
【变式训练】
1．（2020·吉林松原·八年级期末）已知函数，
（1）该函数图象与轴交点的纵坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）若点是该函数图象上一点，点的坐标是．当的面积为时，求点的坐标；
（4）当直线与该函数图象有两个交点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）点 或；（4）且
【分析】（1）令x＝0，求得y＝3，即可求解；
（2）根据两点法画出函数图像；
（3）分两种情况讨论：设点P（m，m−3），当m＞3时，×AO×（m−3）＝6；当m＜3时，×AO×（3−m）＝6，分别求出m即可求解；
（4）当直线y＝kx＋1与y＝x−3平行时，k＝1，所以k＜1时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点；当直线y＝kx＋1经过点（3，0）时，3k＋1＝0，所以k＞时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点，即可求出k的取值范围．
【详解】解：（1）解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴函数图象与y轴的交点为（0，3），
∴函数图象与轴交点的纵坐标是：3，
故答案是：3；
（2）如图：
（3）当时，设点 ，
∵的面积
∴，解得：，
∴点 ；
同理，当 时，点 ；
综上， 或 ；
（4）当直线y＝kx＋1与y＝x−3平行时，k＝1，此时直线y＝kx＋1与函数有一个交点，
∴k＜1时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点，
当直线y＝kx＋1经过点（3，0）时，3k＋1＝0，
∴k＝，
∵直线y＝kx＋1经过点（0，1），
∴k＞，
∴k＞时，直线y＝kx＋1与函数有两个交点，
∴＜k＜1且k≠0直线y＝kx＋1与函数有两个交点．
【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握两点法画函数图象，数形结合解题是关键．
2．（2021·辽宁大连·八年级期末）已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当时，若点在图象G上，求n的值；
（2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值；
（3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）-5；（2）；（3），
【分析】（1）将代入解析式求解即可；
（2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当时，②当时，③当时，根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为，从而求得m的值；
（3）设,，分类讨论①当经过点时，求得的最小值， ②当经过点时，③当与线段有交点时，④当经过点的时，⑤如图，当经过点时，分别判断图象G与的交点个数，得出符合题意的m的取值范围．
【详解】解：（1）当时，函数
∵点在图像G上
∴当时，．
（2）①当时，即时，对于函数，随着x的增大y也增大．
∴当时，函数有最小值．
当时，函数有最大值．
∴．
∴当时，不存在m值使最大值与最小值的差为．
②当时，即时，对于函数，随着x的增大，y反而减小．
∴当时，函数有最小值．
当时，函数有最大值．
∴，故当时，不存在m值使最大值与最小值的差为．
③当时，即时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，再减小，当时有最大值．
当时，，当时，．
ⅰ当时，．
ⅱ当时，．
∴时，当时，函数最大值与最小值的差为．
综上述：．
（3）设,
①如图，当经过点时，
图象G与有一个公共点，
将代入，得：
解得
②当经过点时，将点代入
解得
当时，当图象G与有两个公共点
如图，当时，即，也经过点
此时，当图象G与有两个公共点
③当与线段有交点时，
将点代入，得
此时与交于点
当继续增大时，图象G与有四个公共点，
分别与线段各有一个交点，与线段各有一个交点；
④如图，当经过点的时，将代入
解得：
此时分别与各有一个交点，此时图象G与有三个公共点
当继续增大时，图象G与有两个公共点
⑤如图，当经过点时，图象G与有一个公共点，此时可以求得的最大值
将代入，得：
解得：
综上所述，当图象G与有两个公共点时，或．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键．
【考点四 绝对值的一次函数】
例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)函数的最小值为____________．
(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．
【答案】(1)任意实数
(2)2
(3)见解析
(4)0
(5)x1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）
【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；
（2）把x=-1代入函数解析式，求出y的值即可；
（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；
（4）根据函数图象即可得出结论．
（5）根据函数图象解答即可．
（1）
∵x无论为何值，函数均有意义，
∴x为任意实数．
故答案为：任意实数；
（2）
∵当x=-1时，y=|-1-1|=2，
∴b=2．
故答案为：2；
（3）如图，
（4）
由函数图象可知，函数的最小值为0．
故答案为：0．
（5）
x1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是x与y的几组对应值．
m的值为 ；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
【答案】(1)任意实数
(2)1
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以写出该函数的性质．
（1）
解：在函数y=|x+1|中，自变量x的取值范围是x为任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）
解：当x=-2时，m=|-2+1|=1，
故答案为：1；
（3）
解：描点、连线，画出函数的图象如图：
；
（4）
解：由函数图象可知，
①函数有最小值为0；
②当x＞-1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称．（任写两条即可）
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
2．（2022·山西大同·八年级期末）某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整：
(1)函数中自变量的取值范围是______．
(2)下表是与的几组对应值．
填空：______，______．
(3)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
(4)根据所画函数图象，你能得出哪些合理的结论？（写出一条即可）
【答案】(1)全体实数
(2)1，2
(3)见解析
(4)函数有最小值为0或当x>-1时，y随x的增大而增大或图象关于过点（-2，0）且垂直于x轴的直线对称．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围；
（2）根据函数解析式可以得到m、n的值；
（3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
（4）根据函数图象可以判断该函数的性质．
(1)
解∶根据题意得∶ 自变量的取值范围是全体实数；
故答案为：全体实数
(2)
解：当x=-3时，，
当x=0时，；
故答案为：1，2
(3)
解：画出该函数的图象，如图，
(4)
解：由函数图象得：函数有最小值为0或当x>-1时，y随x的增大而增大或图象关于过点（-2，0）且垂直于x轴的直线对称．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
3．（2022·湖北襄阳·八年级期末）请根据学习函数经验，对函数的图象与性质进行探究．
(1)在函数中，自变量x的取值范围是_________．
(2)下表是x与y的对应值：
①________；
②若为该函数图象上不同的两点，则__________﹔
(3)在如图的直角坐标系中：
①描出上表中各对对应值的坐标的点，并根据描出的各点，画出该函数的大致图象；
②根据函数图象可得，该函数的最小值为__________；
③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质：____________．
【答案】(1)x的取值范围是全体实数
(2)①﹐②
(3)①见解析；②1；③函数关于y轴对称
【分析】（1）没做要求一次函数自变量取值范围都是全体实数
（2）①把x=0代入函数即可求得m的值
②y=10代入函数即可求得n
（3）①作图见解析
②由图可见最小值为1
③言之有理即可．
【详解】解：（1）自变量x的取值范围是全体实数；
（2）①﹐②﹔
（3）①图象如图所示．
②最小值为1；
③函数关于y轴对称
（或当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小）
【点睛】本题考查一次函数的性质和自变量、应变量的变化取值，掌握这些是本题关键．
4．（2021·河南许昌·八年级期末）我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质．
（1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象．
【答案】（1）见解析；（2）当x＞0时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（3）由函数y＝|x|向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，见解析．
【分析】（1）通过列表、描点、画图，在平面直角坐标系中画出函数的图象：
（2）根据图象得出结论；
（3）根据平移的性质即可求得．
【详解】解：（1）列表：
描点、连线画出函数的图象如图：
（2）由图象可知，当时，随的增大而增大（答案不唯一），
故答案为当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
（3）函数是由函数向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，
利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数图象如图所示．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换平移，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．
【考点五 新定义一次函数】
例题：（2022·江苏南通·八年级期中）对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”．
例如，一次函数，它的“和谐函数”为．
(1)一次函数的“和谐函数”为______；
(2)已知点的坐标为，点的坐标为，函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据“和谐函数”的定义即可求得；
（2）先求出函数y=3x-2的“和谐函数”，然后求出y=4时的x值，再根据题意可得不等式组−