人教版八年级数学下学期期中压轴精选30题(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下学期期中压轴精选30题(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（8小题）
1．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）以下选项不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．，，
3．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）下列式子计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）在四边形中，交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，已知：中，于E，，，的平分线交BC于F，连接EF．则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）如图，已知长方形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，则的长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
7．（2023春·海南海口·九年级海南华侨中学校考阶段练习）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点、，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴的正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）如图，在中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形 B．若，则四边形是菱形
C．若垂直平分，则四边形是矩形 D．若平分，则四边形是菱形
二、填空题（8小题）
9．（2023春·湖北荆州·八年级校联考阶段练习）在中，，，，则的长是______．
10．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____．
11．（2022春·广东河源·八年级校考期中）如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____．
12．（2022秋·四川成都·八年级校考期末）如果，那么的值是______．
13．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简结果为______．
14．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）在中，，，，D是直线上的动点，若是等腰三角形，则的长度是_________．
15．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为______．
16．（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片的边，点P在边上，将沿折叠，点A的应点为．
（1）若时，的长为______﹔
（2）若点到边或的距离为1，则线段的长为______．
三、解答题（14小题）
17．（2023秋·河南平顶山·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
18．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）如图，已知在中，于，，，．
(1)求、的长；
(2)求证：是直角三角形．
19．（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）观察下列各式：
，，，…
(1)你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含（为正整数）的代数式表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子；
(2)请你验证所发现的规律．
20．（2023秋·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）如图，在中，AB边上的垂直平分线与分别交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，①求的长；②求的长．
21．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，点E为的边上一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，H为的中点，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若的面积为4，则的面积为__________．（直接写出结果）
22．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
23．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考阶段练习）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E．
(1)判断四边形的形状并说明理由；
(2)连接，交于点F，当，时，求的长．
24．（2023春·全国·八年级专题练习）某村有两条笔直公路和相交于点O，，在公路路边有学校A，与点O距离长为1200米；有一移动广告宣传车B在笔直公路上移动宣讲，宣传车B周围1000米以内因为广播噪音会影响学校，宣讲车B在公路上匀速行驶．
(1)学校A到公路的最短距离是多少米？
(2)请问学校能否被宣传声音影响到？请说明理由；
(3)如果能影响到，已知宣讲车的速度是400米/分钟，那么学校总共能影响多长时间？
25．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：
请回答下列问题．
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：
①＝ ；
②＝ ．
(2)应用：化简
(3)拓展： ．（用含n的式子表示，n为正整数）
26．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．
(1)求证：；
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
(3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
27．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
【理解】
（1）①若，，则____________“准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________．
【应用】
（2）如图，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”．
28．（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______．
(2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．
(3)在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长．
29．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①当与满足条件 时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是 ．
②当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论．
30．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图1，在线段上取一点，如果以，为边在同一侧作正方形与正方形，连接，取的中点M，的延长线交于点N．
(1)请探究与的数量关系和位置关系，并加以证明．
(2)如图2，将正方形绕点C顺时针旋转，使得A，C，E在同一条直线上，其余条件不变．
①填空：的度数是______，的度数是______．
②探究（1）中的结论是否成立？并说明理由．
人教版八年级数学下学期期中压轴精选30题
考试范围：第一章-第三章的内容，共30小题.
一、选择题（8小题）
1．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）若二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
2．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）以下选项不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．，，
【答案】B
【分析】根据三角形内角和可判断A和B，根据勾股定理的逆定理可判断C和D．
【详解】A．∵，∴，∴是直角三角形；
B．∵，∴，∴不是直角三角形；
C．∵，设，∵，∴为直角三角形；
D．∵，，，，∴为直角三角形；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和三角形内角和判断．
3．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）下列式子计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行逐一运算判定即可解答．
【详解】A．和不能合并，A错误；
B．，B错误；
C． ，C错误；
D．，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，准确熟练地进行计算是解题关键．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）在四边形中，交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴A正确；
∵，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是矩形，
∴B正确；
∵，


∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴C不正确；


如图所示：
在和中，
，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是矩形，
∴D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定和矩形的判定，解题关键是熟练运用相关判定定理进行推理证明．
5．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，已知：中，于E，，，的平分线交BC于F，连接EF．则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质求得，由角平分线的定义求得，推出，得到，推出，再由等边对等角求得，据此求解即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交BC于F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
6．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）如图，已知长方形沿着直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，则的长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】由四边形为长方形可知，，从而得出，结合折叠的性质得出，进而得出．设，则，在中，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出答案．
【详解】∵四边形为长方形，
∴，
∴．
由折叠的性质可知，，
∴，
∴．
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
7．（2023春·海南海口·九年级海南华侨中学校考阶段练习）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点、，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴的正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得：，，，根据勾股定理得到，即可得到结果．
【详解】∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
8．（2023春·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）如图，在中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若，则四边形是菱形
C．若垂直平分，则四边形是矩形
D．若平分，则四边形是菱形
【答案】D
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定进行判断即可．
【详解】解：A．若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；故错误，不符合题意；
B．若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；故错误，不符合题意；
C．若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；故错误，不符合题意；
D．若平分，则四边形是菱形；故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，解题的关键是熟记菱形和矩形的判定方法．
二、填空题（8小题）
9．（2023春·湖北荆州·八年级校联考阶段练习）在中，，，，则的长是______．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
10．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____．
【答案】4
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出，再由矩形的性质求解即可．
【详解】解：在矩形中，，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
11．（2022春·广东河源·八年级校考期中）如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____．
【答案】
【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可．
【详解】解：根据图形可得：，，
∴，
∴是直角三角形，且，
设中的高是x，
则，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程．
12．（2022秋·四川成都·八年级校考期末）如果，那么的值是______．
【答案】100
【分析】先根据二次根式的非负性求出x的值，进而求出y的值，再代入计算．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为100．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性和代入求值，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．
13．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简结果为______．
【答案】
【分析】根据数轴，得出，，，进而得出，然后根据绝对值的意义和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：由数轴可得：，，，
∴，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查了数轴、绝对值的意义、二次根式的性质和化简，正确得出a，b的取值范围是解本题的关键．
14．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）在中，，，，D是直线上的动点，若是等腰三角形，则的长度是_________．
【答案】9或或3
【分析】求的长，要分三种情况，①是底边时D在的延长线上，为其中一个腰长，根据含有角直角三角形的特征，可分别求出三角形的三条边长，根据等腰三角形的性质，可知，最后根据求出的长；②为腰时，为另一个腰，所以；③是腰时，为底，由等腰三角形的性质，推出．
【详解】解：①如图1，若是等腰三角形，当是底边时D在的延长线上，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
．
图1
②如图2，当为腰时，为另一个腰，所以，
是直角三角形，，
，
，
，
．
图2
③如图3，当是腰，为底时，
，
，
，
，
，
，
，
．
图3
故答案为：9或或3
【点睛】本题考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质、在没有确定底边和腰的等腰三角形中分情况讨论是解题关键．
15．（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为______．
【答案】或##或
【分析】分和两种情况，当时，设，则，再根据菱形的边长相等即可求解；当时，，依据等腰三角形的性质，可得的长，进而可得的长．
【详解】解：菱形中，，
，
分两种情况讨论，
（1）当时，如图所示：
则，
为等腰直角三角形，
设，则，
由，可得，
解得，
即，
；
（2）当时，如图所示：
则，
为等腰直角三角形，
，
，
，
综上可知，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查折叠的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等是解题的关键，注意分情况讨论，避免漏解．
16．（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片的边，点P在边上，将沿折叠，点A的应点为．
（1）若时，的长为______﹔
（2）若点到边或的距离为1，则线段的长为______．
【答案】 2 或
【分析】（1）由折叠得，根据平行线的性质得到，利用三角形内角和得到，进而推出，即可得到答案；
（2）若，则，根据勾股定理求出，设，直角中，根据勾股定理得，求出；若，根据勾股定理求出，设，在直角中，根据勾股定理得，求出．
【详解】（1）由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）如图1，若，则．
由折叠知．在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为﹔
如图2，若，则．
由折叠知．
在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为．
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟记正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（14小题）
17．（2023秋·河南平顶山·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可；
（2）根据二次根式的性质化简以及二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（3）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）如图，已知在中，于，，，．
(1)求、的长；
(2)求证：是直角三角形．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用勾股定理即可求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案；
（2）证明，从而利用勾股定理的逆定理可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
在中，，，
∴．
∵在中，，，
∴．
∴．
（2）证明：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
19．（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）观察下列各式：
，，，…
(1)你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含（为正整数）的代数式表示出来，并运用你所发现的规律写出第10个式子；
(2)请你验证所发现的规律．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）认真观察，可发现根号内第一个数和第二个数的分母相差为2，结果为第一个数和第二个数的分母和的一半与第二个数的算术平方根的积．
（2）运用二次根式的性质进行化简即可
【详解】（1）规律：，
第10个式子：；
（2）证明：．
【点睛】此题考查了二次根式的化简问题．注意认真观察题中式子的特点，找出其中的规律是解此题的关键．
20．（2023秋·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）如图，在中，AB边上的垂直平分线与分别交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，①求的长；②求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
（2）设，则，在中，根据列出方程计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵边上的垂直平分线为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为；
②∵，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵的长为，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
21．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，点E为的边上一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，H为的中点，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若的面积为4，则的面积为__________．（直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明是的中位线，可得，，证明，，由平行四边形的判定方法可得出结论．
（2）根据中位线的性质可求出的面积，从而得出平行四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴为的中位线，
∴，，
∴，，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）如图，连接，，
∵点H为的中点，，，
∴点B，C分别为，的中点，
∴，，是的中位线，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，熟练掌握相关定理并能进行运用是解题的关键．
22．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形，得到，根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据菱形的性质和等边三角形的判定证明是等边三角形，得到，，再由勾股定理求得，然后根据矩形性质得到，，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∴在中，，
即的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解题的关键．
23．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考阶段练习）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E．
(1)判断四边形的形状并说明理由；
(2)连接，交于点F，当，时，求的长．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求的长度即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键．
24．（2023春·全国·八年级专题练习）某村有两条笔直公路和相交于点O，，在公路路边有学校A，与点O距离长为1200米；有一移动广告宣传车B在笔直公路上移动宣讲，宣传车B周围1000米以内因为广播噪音会影响学校，宣讲车B在公路上匀速行驶．
(1)学校A到公路的最短距离是多少米？
(2)请问学校能否被宣传声音影响到？请说明理由；
(3)如果能影响到，已知宣讲车的速度是400米/分钟，那么学校总共能影响多长时间？
【答案】(1)600米；
(2)能，理由见解析
(3)4分钟，
【分析】（1）直接过A作于点C，根据直角三角形的性质求出的长，即为学校A到公路的最短距离；
（2）根据(1)中的的长，比较与1000米的大小，即可判断学校能否被宣传声音影响到；
（3）利用勾股定理求得在上距离A点1000米到离开A点1000米的之间的距离，再除以宣讲车的速度即为影响学校的时间．
【详解】（1）解：如图，过点A作于点C，则即为最短距离，
，，
，
在中，，
又米，
米，
即学校A到公路的最短距离是600米；
（2）解：学校能被宣传声音影响到，
理由如下：
，
∴学校能被宣传声音影响到；
（3）解：如图，影响路段的长为线段的长，
在中，，
又米，米，
（米），
又，，
(米)，
∵宣讲车的速度是400米/分钟，
∴学校总共能影响时间(分钟)
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理，作出直角三角形是关键．
25．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：
请回答下列问题．
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：
①＝ ；
②＝ ．
(2)应用：化简
(3)拓展： ．（用含n的式子表示，n为正整数）
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次根式的分母有理化的方法，求解即可；
（2）首先进行二次根式的分母有理化，然后再根据二次根式的加减法，计算即可；
（3）首先进行二次根式的分母有理化，然后再根据二次根式的加减法，计算即可．
【详解】（1）解：①，
②；
故答案为：①；②
（2）解：
=
=；
（3）解：
．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解本题的关键在熟练掌握分母有理化的方法．
26．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．
(1)求证：；
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
(3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当点O运动到的中点时，四边形是矩形，见解析
(3)当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形，见解析
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出，，得出，同理得出，即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
（3）当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，由平行线的性质得出，得出，即可证明．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
（2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形．
∵当点O运动到的中点时，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形．
（3）解：当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定定理；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
27．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
【理解】
（1）①若，，则____________“准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________．
【应用】
（2）如图，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”．
【答案】（1）①是；②；（2）见解析
【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②根据“准直角三角形”的定义得到，根据三角形内角和定理得到，据此求解即可；
（2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”．
【详解】解：（1）①∵在中，，，
∴，
∴，
∴是“准直角三角形”，
故答案为：是；
②∵是“准直角三角形”，且，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴是“准直角三角形”．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
28．（2023春·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______．
(2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．
(3)在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长．
【答案】(1)
(2)成立，证明见解析
(3)或
【分析】(1)根据四边形是“等对角四边形”得出，再根据四边形内角和定理求出即可；
(2)连接，根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定即可证得；
(3)分两种情况：①当时，延长，相交于点E，先由含角的直角三角形的性质求出，得出，再用三角函数求出，由勾股定理求出即可；
②当时，过点D作于点M，于点N，则，四边形是矩形，先求出、，再由矩形的性质得出，，求出、，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：四边形是“等对角四边形”，，，，
，
故答案为：
（2）解：成立，
证明如下：
如图：接，
，
，
，
，即，
；
（3）解：①如图：当时，延长，相交于点E，
，，
，
，
，
，
，
，
；
②如图：当时，过点D作于点M，于点N，
则，四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
综上，的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(3)中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．
29．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①当与满足条件 时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是 ．
②当与满足什么条件时，四边形是矩形？证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)①AB=CD；一组邻边相等的平行四边形是菱形；②AB⊥CD，见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；②根据矩形的判定定理解答．
【详解】（1）证明：∵E，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：①∵F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
当时，，
∴四边形是菱形；
当与满足条件时，四边形是菱形，在（1）的基础上此时判定菱形的依据是：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为：；一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形和菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形和菱形的判定是解题的关键．
30．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图1，在线段上取一点，如果以，为边在同一侧作正方形与正方形，连接，取的中点M，的延长线交于点N．
(1)请探究与的数量关系和位置关系，并加以证明．
(2)如图2，将正方形绕点C顺时针旋转，使得A，C，E在同一条直线上，其余条件不变．
①填空：的度数是______，的度数是______．
②探究（1）中的结论是否成立？并说明理由．
【答案】(1)且；见解析
(2)①；；②成立；见解析
【分析】（1）证明，得出，，证明，得出是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和等腰三角形三线合一即可证明结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质即可求出，根据，求出；
②延长交于N，连接，，同（1）可证，得出，，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和等腰三角形三线合一即可证明结论．
【详解】（1）解：且．
∵以，为边在同一侧作正方形与正方形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，．
（2）解：①∵A，C，E在同一条直线上，，，
∴，
，
∴．
故答案为：；．
②成立．理由如下：
如图，延长交于N，连接，．
同（1）可证，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
即是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
综上可知，且．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形三角形的性质，等腰三角形三线合一，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．