人教版八年级数学下学期期中培优检测卷(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下学期期中培优检测卷(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考试范围：第一章-第三章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2023春·湖北荆州·八年级校联考阶段练习）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）在中，，，，下列不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，，D．
3．（2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在中，平分交于E，，，则的周长为（ ）．
A．11B．18C．20D．22
5．（2023秋·山东东营·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长度为（ ）
A．B．2C．D．3
6．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③④B．①②④C．②④D．①②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023·浙江舟山·校联考一模）若最简根式与是同类二次根式，则m=___________．
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、、是小正方形的顶点，则的度数为________．
9．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，斜边的垂直平分线交边于点E，若，，则长是__________．
10．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___．
11．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为______．
12．（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）在矩形中，点在边上，是等腰三角形，若，，则线段的长为__．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中）计算：
(1) (2)
14．（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，边上的高，求的长．
15．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作边AD上的中点F；
(2)在图2中，作边AB上的中点G．
16．（2023春·八年级单元测试）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________
(2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
17．（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点． 其中，由于某种原因由C到A的路现在已经不通．为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得，．
(1)是否为从旅游地C到河流的最短路 线？请通过计算加以说明；
(2)求原来路线的长．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）发现
①计算：___________，___________；
②计算：___________，___________；
总结 通过①②的计算，分别探索与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算的值．
19．（2023春·八年级课时练习）如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当 时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当 时，四边形是矩形，请说明理由．
20．（2022秋·上海·八年级统考期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E．
(1)求证：；
(2)如果，
①求证：；
②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2023·广东佛山·校考一模）如图，在中，，点在边上且，连接，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)当时，四边形是__________．
22．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
【理解】
（1）①若，，则____________“准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________．
【应用】
（2）如图，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”．
六、（本大题共12分）
23．（2023春·八年级课时练习）【问题情境】如图1，在中，，点为边上的任一点，过点作，，垂足分别为、，过点作，垂足为．求证：．
【结论运用】如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作、，垂足分别为、，若，，求的值；
【迁移拓展】如图，在四边形中，，为边上的一点，，，垂足分别为、，，，，、分别为、的中点，连接、，求与的周长之和．
人教版八年级数学下学期期中培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：第一章-第三章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2023春·湖北荆州·八年级校联考阶段练习）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）在中，，，，下列不能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，，D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和分别判断即可．
【详解】解：由，可知，故选项A不符合题意；
由整理得：，则为直角三角形，故选项B不符合题意；
，，，则，故选项C符合题意；
当时，设，，，
则，则为直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
3．（2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：A选项，当，，故错误，不符合题意；
B选项，所以正确，符合题意；
C选项，当时，，所以错误，不符合题意；
D选项，所以错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练运用二次根式的性质进行化简是解决本题的关键．
4．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在中，平分交于E，，，则的周长为（ ）．
A．11B．18C．20D．22
【答案】D
【分析】先求出平行四边形的一组邻边长，再求周长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴与平行，，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴平行四边形的周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边和角平分线的定义，解题关键是求出边长．
5．（2023秋·山东东营·九年级统考期末）如图，在中，，，，则的长度为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】过A作于D，在与中结合角所对的直角边等于斜边的一半及等腰直角三角形的性质求出、即可
【详解】解：过A作于D，
在中，，，
，
，
在中，，
∴，
∵，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形、角所对的直角边等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握“角所对的直角边等于斜边的一半”．
6．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③④B．①②④C．②④D．①②③
【答案】B
【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，即可判断①；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，即可判断②；③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形，即可判断③；④四边形为矩形，通过正方形的轴对称性，即可判断④．
【详解】解：∵于点E，于点F，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形
∴
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故①正确；
②∵，，
∴四边形为矩形，
∴四边形的周长，
故②正确；
③∵点P是正方形的对角线上任意一点，，
∴当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，
故③错误．
④连接，
∵四边形为矩形，
∴，
∵正方形为轴对称图形，
∴，
∴，
故④正确；
故选：B．
【点睛】此题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023·浙江舟山·校联考一模）若最简根式与是同类二次根式，则m=___________．
【答案】2
【分析】根据最简二次根式如果是同类二次根式，被开方数相同列出方程即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类二次根式，解题关键是根据同类二次根式的定义列出方程．
8．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，点A、、是小正方形的顶点，则的度数为________．
【答案】
【分析】连接根据勾股定理求出，，，根据勾股定理逆定理得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，由题意可得，
，，，
∴，，
∴，
∴ ，
故答案为．
【点睛】本题考查勾股定理与勾股定理逆定理及等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据勾股定理求出，，，得到．
9．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，斜边的垂直平分线交边于点E，若，，则长是__________．
【答案】
【分析】连接，根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】解：连接，
由勾股定理得，，
是的中垂线，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
10．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）把 中根号外面的因式移到根号内的结果是___．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
11．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为______．
【答案】##40度
【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出∠的大小．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键．
12．（2023春·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）在矩形中，点在边上，是等腰三角形，若，，则线段的长为__．
【答案】或或
【分析】分两种情况：①，此时点是的中垂线与的交点；②，在直角中，利用勾股定理求得的长度，然后求得的长度即可．③,在直角中，利用勾股定理求得的长度即可
【详解】解：四边形是矩形，
，，
①当时，点是的中垂线与的交点，；
②当时，
在中，，则，
．
③时，在中，由勾股定理得
综上所述，线段的长为或或，
故答案是：或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2023春·河北张家口·八年级张北县第三中学校考期中）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据乘法法则和完全平方公式计算，再算加减即可．
【详解】（1）．
（2）
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适用．
14．（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，边上的高，求的长．
【答案】14
【分析】分别利用勾股定理得出，的长，进而得出答案．
【详解】解：，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键．
15．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作边AD上的中点F；
(2)在图2中，作边AB上的中点G．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质即可在图1中，作边AD上的中点F；
（2）根据平行四边形的性质在图2中，作两次平行四边形即可作边AB上的中点G．
（1）
解：在图1中，点F即为边AD上的中点；
（2）
在图2中，点G即为边AB上的中点．
【点睛】本题考查了作图一复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是准确画图．
16．（2023春·八年级单元测试）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________
(2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】(1)
(2)－2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可；
（2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可．
【详解】（1）解：∵与是关于4的共轭二次根式，
∴，
∴．
（2）∵与是关于12的共轭二次根式，
∴
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
17．（2023秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点． 其中，由于某种原因由C到A的路现在已经不通．为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得，．
(1)是否为从旅游地C到河流的最短路 线？请通过计算加以说明；
(2)求原来路线的长．
【答案】(1)是从旅游地C到河流的最短路线，见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，说明，即可得出答案；
（2）设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：是从旅游地C到河流的最短路线．理由如下：
在中，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是从旅游地C到河流的最短路线．
（2）解：设，则，
在中，，
即，
解得：，
答：原来路线的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）发现
①计算：___________，___________；
②计算：___________，___________；
总结 通过①②的计算，分别探索与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算的值．
【答案】①，；②，；总结：一个数的算术平方根的平方等于这个数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；应用：8．
【分析】①②根据二次根式的性质计算即可；
总结：根据二次根式的性质得出规律；
应用：根据数轴可知，然后利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：①，，
故答案为：，；
②，，
故答案为：，；
总结：一个数的算术平方根的平方等于这个数；一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值；
应用：由数轴得：，
∴，，，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，熟练掌握，是解题的关键．
19．（2023春·八年级课时练习）如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当 时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当 时，四边形是矩形，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①4；②7，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可；②当cm时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：①当时，四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：4；
②当cm时，平行四边形是矩形，理由如下：
如图，过A作于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和△中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
20．（2022秋·上海·八年级统考期末）如图，直角三角形，直角顶点C在直线上，分别过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E．
(1)求证：；
(2)如果，
①求证：；
②若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．
【答案】(1)见解析
(2)见解析；见解析
【分析】（1）根据已知得到，，证得，，推出；
（2）证明即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，根据四边形的面积即可推出．
【详解】（1）证明：∵三角形是直角三角形，直角顶点C在直线上，
∴，
∵过点A、B作直线的垂线，垂足分别为点D和点E．
∴，
∴，，
∴；
（2）在和中
∴，
∴；
∵，
∴，
∵四边形的面积
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的推导，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理及勾股定理的公式是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2023·广东佛山·校考一模）如图，在中，，点在边上且，连接，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)当时，四边形是__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)正方形
【分析】（1）根据平行线的性质得出，，根据E是CD的中点，得出，就可证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）证明四边形是平行四边形，根据是斜边上的中线，得出，即可证明四边形是菱形；
（3）根据条件得出是等腰直角三角形，根据是斜边上的中线，得出，进而得出四边形是正方形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴，，
∵E是CD的中点，
∴，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）当时，四边形是正方形，理由如下：
＝， ，
是等腰直角三角形
是边上的中线
，
，
四边形是菱形
四边形是正方形．
故答案为：正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
22．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
【理解】
（1）①若，，则____________“准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________．
【应用】
（2）如图，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”．
【答案】（1）①是；②；（2）见解析
【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②根据“准直角三角形”的定义得到，根据三角形内角和定理得到，据此求解即可；
（2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”．
【详解】解：（1）①∵在中，，，
∴，
∴，
∴是“准直角三角形”，
故答案为：是；
②∵是“准直角三角形”，且，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴是“准直角三角形”．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2023春·八年级课时练习）【问题情境】如图1，在中，，点为边上的任一点，过点作，，垂足分别为、，过点作，垂足为．求证：．
【结论运用】如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作、，垂足分别为、，若，，求的值；
【迁移拓展】如图，在四边形中，，为边上的一点，，，垂足分别为、，，，，、分别为、的中点，连接、，求与的周长之和．
【答案】【问题情境】见解析；【结论运用】4；【迁移拓展】
【分析】[问题情境]连接，利用可证得；
[结论运用]过点作，垂足为，根据条件求出，的长，从而证明后，直接利用[问题情境]中的结论可得出，而 ；
[迁移拓展]延长、交于点，作，垂足为，由，得出，然后应用问题情境中的结论可得：，设，根据勾股定理求出的值，然后可求图中各条线段的长，最后将与的周长之和转化为的值即可．
【详解】[问题情境]连接，
，，，
且，
．
，
．
[结论运用]过点作，垂足为，如图
四边形是矩形，
，．
，，
∴．
由折叠可得：，．
．
，
．
，，
．
四边形是矩形．
．
，
．
，
．
．
由问题情境中的结论可得：．
∴．
的值为．
[迁移拓展]延长、交于点，作，垂足为，如图⑤．
．
由问题情境中的结论可得：．
设，则．
，
．
．
，，，
．
解得：．
．
．
．
，且、分别为、的中点，
，．
与的周长之和
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质；矩形的性质与判定；勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．