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人教版七年级数学下册专题07易错易混淆集训：与实数有关的问题(原卷版+解析)(重点突围)
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这是一份人教版七年级数学下册专题07易错易混淆集训：与实数有关的问题(原卷版+解析)(重点突围)，共23页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27620" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27620 \h 1
\l "_Tc26085" 【易错点一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 PAGEREF _Tc26085 \h 1
\l "_Tc11716" 【易错点二 易混淆a与的平方根】 PAGEREF _Tc11716 \h 6
\l "_Tc10802" 【易错点三 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 PAGEREF _Tc10802 \h 10
【典型例题】
【易错点一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】
例题：（2022·湖北随州·七年级期中）在实数-0.1010010001，，，，，0中，无理数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式训练】
1．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（江西省抚州市2022-2023学年八年级上学期学生学业质量监测数学试题卷）实数，，，，3.1415926，，其中无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）在实数0.68，，，，，0.3030030003…（每两个3之间依次多一个0）中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022秋·江苏·八年级期中）下列五个数，，，，3.1415926中，是无理数的有 _____个．
5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）下列实数：，，，，，，，中，无理数有_________个．
6．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）实数：，，，，，0，，，中，无理数有 _____个．
7．（2023春·七年级课时练习）把下列各数写入相应的括号中：、、0.618、、、0、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
(1)无理数：{ ……}；
(2)整数：{ ……}；
8．（2022秋·辽宁丹东·八年级校联考阶段练习）把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，0，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）
(1)正数集合{ }；
(2)有理数集合{ }；
(3)无理数集合{ }．
9．（2022春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）把下列各数分别填在相应的括号内：
，，，，0，2.56，，3.141414，
整数：{________________}；
有理数：{________________}；
无理数：{________________}；
分数：{________________}；
10．（2022·全国·八年级课时练习）把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
【易错点二 易混淆a与的平方根】
1．（2022·天津滨海新·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是 B．C．=±4D．以上都不对
【变式训练】
1．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）实数2的平方根是（ ）
A．B．C．4D．
2．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·九年级专题练习）在下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）64的算术平方根是______，的平方根是______．
5．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）______________；的算术平方根为______________．
6．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）若、满足，则的算术平方根是________．
7．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根．
8．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【易错点三 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】
例题：（2023春·八年级课时练习）等于（ ）
A．3B． C．D．9
【变式训练】
1．（2021·山西·长治市潞州区育成学校九年级期中）化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．－D．
2．（2022·云南昆明·八年级期末）若成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏扬州·八年级期末）化简二次根式的结果为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·云南楚雄·七年级期中）实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（河北省沧州市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）的算术平方根是___________．
6．（2022秋·湖南衡阳·九年级衡阳市华新实验中学校考期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：____________．
7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则________．
8．（2022·湖南·长沙市南雅中学七年级期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数．
(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；
(2)先化简，再求值：．
9．（2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：
10．（2021春·山西朔州·七年级校考期中）（1）计算 ； ； ；
（2）根据（1）中的计算结果可知，__________．
（3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ．
专题07 易错易混淆集训：与实数有关的问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27620" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27620 \h 1
\l "_Tc26085" 【易错点一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 PAGEREF _Tc26085 \h 1
\l "_Tc11716" 【易错点二 易混淆a与的平方根】 PAGEREF _Tc11716 \h 6
\l "_Tc10802" 【易错点三 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 PAGEREF _Tc10802 \h 10
【典型例题】
【易错点一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】
例题：（2022·湖北随州·七年级期中）在实数-0.1010010001，，，，，0中，无理数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【详解】
解： -0.1010010001是有限小数，是分数，、0是整数，这些都属于有理数；
无理数有，，共有2个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，无理数有： ，等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
【变式训练】
1．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：是有限小数，不是无理数；
开不尽方，是无理数；
是整数，不是无理数；
是分数，不是无理数；
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的识别；解题关键是明确无理数的常见形式：开不尽的方根、含的式子、无限不循环小数等．
2．（江西省抚州市2022-2023学年八年级上学期学生学业质量监测数学试题卷）实数，，，，3.1415926，，其中无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】直接根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：，
∴无理数有，共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
3．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）在实数0.68，，，，，0.3030030003…（每两个3之间依次多一个0）中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先求出立方根，再根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐个判断即可得．
【详解】解：是有限小数，属于有理数，
是整数，属于有理数，
是分数，属于有理数，
，，（每两个3之间依次多一个0）都是无理数，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根、无理数，熟记无理数的概念是解题关键．
4．（2022秋·江苏·八年级期中）下列五个数，，，，3.1415926中，是无理数的有 _____个．
【答案】2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【详解】解：，，3.1415926是有理数，
无理数有，，共有2个．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）下列实数：，，，，，，，中，无理数有_________个．
【答案】4##四
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【详解】解：，，，
所以，无理数有、、、，共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了无理数，解题关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的；②无限不循环小数；③含有的数．
6．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）实数：，，，，，0，，，中，无理数有 _____个．
【答案】4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【详解】解：，
无理数有，，，，共有4个．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数（注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数），熟练掌握其性质是解决此题的关键．
7．（2023春·七年级课时练习）把下列各数写入相应的括号中：、、0.618、、、0、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
(1)无理数：{ ……}；
(2)整数：{ ……}；
【答案】(1)、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）
(2)、0、
【分析】（1）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数；
（2）根据整数的定义确定即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴无理数：｛、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）……｝；
（2）整数：｛、0、……｝．
【点睛】本题主要考查了实数的相关概念，解决问题的关键是熟练掌握无理数、整数定义以及常见形式．
8．（2022秋·辽宁丹东·八年级校联考阶段练习）把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，0，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）
(1)正数集合{ }；
(2)有理数集合{ }；
(3)无理数集合{ }．
【答案】(1)， ， ， （相邻两个1之间2的个数逐次加1）
(2)，，，，0
(3)， ，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）
【分析】（1）根据正数的概念逐一判断即可；
（2）根据有理数的概念逐一判断即可；
（3）根据无理数的概念逐一判断即可．
【详解】（1）解：正数集合{， ， ， （相邻两个1之间2的个数逐次加1）}；
（2）解：∵，，，
∴有理数集合为{，，，，0}；
（3）解：无理数集合{， ，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}．
【点睛】本题考查了有理数和无理数的概念，理解无理数和有理数的概念是解题的关键．
9．（2022春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）把下列各数分别填在相应的括号内：
，，，，0，2.56，，3.141414，
整数：{________________}；
有理数：{________________}；
无理数：{________________}；
分数：{________________}；
【答案】，，0；，，，0，2.56，3.141414；，，；，2.56，3.141414
【分析】根据有理数、整数、分数、无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：，，
整数：{，，0}；
有理数：{，，，0，2.56，3.141414}；
无理数：{，， }；
分数：{，2.56，3.141414}．
故答案为：，，0；，，，0，2.56，3.141414；，，；，2.56，3.141414．
【点睛】本题主要考查了实数分类，解题的关键是熟练掌握有理数、整数、分数、无理数的定义．
10．（2022·全国·八年级课时练习）把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
【答案】(1)－，，0，
(2)，π，，，，0.3737737773
(3)－，，
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；
（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；
（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．
(1)有理数集合：{－，,0，…}
(2)无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……}
(3)负实数集合：{－，，…}
【点睛】
本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.
【易错点二 易混淆a与的平方根】
1．（2022·天津滨海新·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是 B．C．=±4D．以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根与平方根的性质即可得．
【详解】
解：16的平方根是，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握算术平方根与平方根的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）实数2的平方根是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据平方根的定义即可得．
【详解】解：，
∴实数2的平方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的求法是解题关键．
2．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平方根和立方根的意义计算即可；注意负数没有平方根，算术平方根是非负数；
【详解】A.∵
∴此选项错误；
B.，此选项正确；
C.∵
∴此选项错误；
D.∵
∴此选项错误
故选：B
【点睛】本题考查平方根和立方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键
3．（2023·全国·九年级专题练习）在下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平方根及算术平方根的性质可求解．
【详解】解：根据平方根及算术平方根的性质可知，，，，
观察四个选项，只有选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
4．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）64的算术平方根是______，的平方根是______．
【答案】 8
【分析】根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
【详解】解：，
的算术平方根是8，
，，
的平方根是，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根的方法是解决本题的关键．
5．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）______________；的算术平方根为______________．
【答案】
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平根．根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，的算术平方根为 ，
∴的算术平方根为，
故答案为：；
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的关键．
6．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）若、满足，则的算术平方根是________．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算，即可得出结论．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴算术平方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求算术平方根和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根．
【答案】
【分析】根据二次根式的非负性和相反数的意义求出x，根据算术平方根的性质求出y，根据绝对值的性质求出z，根据相反数的意义求出mn，然后都代入计算出结果即可．
【详解】∵与互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵y的算术平方根为14，
∴，
∵z的绝对值为，
∴，
∴，
∵m，n互为倒数，
∴，
∴原式，
∴．
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，相反数，绝对值，倒数的性质，算术平方根和平方根的性质．注意算术平方根和平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．掌握以上知识是解题的关键．
8．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5
(2)的平方根为±2
【解析】
【分析】
（1）根据非负性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，＝0，求出a，b，c的值；
（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，将a，b，c代入求解即可．
(1)
解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，
∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；
(2)
解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则＝＝4，而，
故的平方根为±2．
【点睛】
本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一个数的平方根，熟练地运用以上知识是解决问题的关键．
【易错点三 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】
例题：（2023春·八年级课时练习）等于（ ）
A．3B． C．D．9
【答案】A
【分析】根据实数的性质即可化简．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知实数的运算法则．
【变式训练】
1．（2021·山西·长治市潞州区育成学校九年级期中）化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．－D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：∵，，
∴b<0，
∴=－，
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式有意义的条件及化简方法是解题的关键．
2．（2022·云南昆明·八年级期末）若成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．（2022·江苏扬州·八年级期末）化简二次根式的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件可得，再利用二次根式的性质化简即可得．
【详解】
解：，
，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
4．（2022·云南楚雄·七年级期中）实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据数轴上的点的位置判断出的正负，然后把原式利用二次根式及立方根性质化简，最后去括号合并同类项即可得到结果．
【详解】
∵由数轴上点的位置得：
∴
∴原式
．
故选：D
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．
5．（河北省沧州市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）的算术平方根是___________．
【答案】
【分析】先计算，再求的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算是解题的关键．
6．（2022秋·湖南衡阳·九年级衡阳市华新实验中学校考期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：____________．
【答案】
【分析】由数轴可得c＜a＜0，b＞0，从而得c-a＜0，再结合二次根式的化简的方法进行求解即可．
【详解】解：由数轴得：，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查绝对值，算术平方根的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出相应的数的范围．
7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则________．
【答案】##
【分析】根据a<0【详解】由数轴可知，a<0∴a+b<0，a-b<0，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了算术平方根，解决问题的关键是熟练掌握算术平方根与绝对值的性质，去括号与合并同类项法则．
8．（2022·湖南·长沙市南雅中学七年级期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数．
(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)-2，-3，
(2)，
【解析】
【分析】
(1)根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；
(2)根据题意可得c> 0， a-b> 0，a-c< 0，然后先化简各式，再进行计算即可解答．
(1)
由题意得：，，，
故答案是：-2，-3，；
(2)
由数轴可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，
原式=．
当，时
原式．
【点睛】
本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：
【答案】0
【分析】根据数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，求出a+c＜0，c﹣b＜0，据此化简绝对值计算即可．
【详解】解：∵a＜0，c＜0，b＞0，
∴a+c＜0，c﹣b＜0，
∴原式＝﹣a﹣[﹣（a+c）]+（b﹣c）﹣b
＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b
＝0．
故答案为0．
【点睛】此题考查了利用数轴上点表示的数判断式子的正负，正确掌握数轴上数的大小关系及绝对值的性质是解题的关键．
10．（2021春·山西朔州·七年级校考期中）（1）计算 ； ； ；
（2）根据（1）中的计算结果可知，__________．
（3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ．
【答案】（1）3，6，，0；（2）；（3）
【分析】（1）根据算术平方根的定义分别计算即可；
（2）根据计算结果归纳可得；
（3）根据数轴得到a，b的关系和符号，再结合（2）中结论去绝对值化简．
【详解】解：（1）3，6，，0；
（2）由计算结果可知：；
（3）由数轴可得：a＜0＜b，
∴a-b＜0，
∴
=
=
=
【点睛】本题考查了算术平方根，实数与数轴，化简绝对值，解题的关键是通过计算发现规律．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27620" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27620 \h 1
\l "_Tc26085" 【易错点一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 PAGEREF _Tc26085 \h 1
\l "_Tc11716" 【易错点二 易混淆a与的平方根】 PAGEREF _Tc11716 \h 6
\l "_Tc10802" 【易错点三 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 PAGEREF _Tc10802 \h 10
【典型例题】
【易错点一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】
例题：（2022·湖北随州·七年级期中）在实数-0.1010010001，，，，，0中，无理数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式训练】
1．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（江西省抚州市2022-2023学年八年级上学期学生学业质量监测数学试题卷）实数，，，，3.1415926，，其中无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）在实数0.68，，，，，0.3030030003…（每两个3之间依次多一个0）中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022秋·江苏·八年级期中）下列五个数，，，，3.1415926中，是无理数的有 _____个．
5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）下列实数：，，，，，，，中，无理数有_________个．
6．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）实数：，，，，，0，，，中，无理数有 _____个．
7．（2023春·七年级课时练习）把下列各数写入相应的括号中：、、0.618、、、0、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
(1)无理数：{ ……}；
(2)整数：{ ……}；
8．（2022秋·辽宁丹东·八年级校联考阶段练习）把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，0，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）
(1)正数集合{ }；
(2)有理数集合{ }；
(3)无理数集合{ }．
9．（2022春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）把下列各数分别填在相应的括号内：
，，，，0，2.56，，3.141414，
整数：{________________}；
有理数：{________________}；
无理数：{________________}；
分数：{________________}；
10．（2022·全国·八年级课时练习）把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
【易错点二 易混淆a与的平方根】
1．（2022·天津滨海新·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是 B．C．=±4D．以上都不对
【变式训练】
1．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）实数2的平方根是（ ）
A．B．C．4D．
2．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·九年级专题练习）在下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）64的算术平方根是______，的平方根是______．
5．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）______________；的算术平方根为______________．
6．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）若、满足，则的算术平方根是________．
7．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根．
8．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【易错点三 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】
例题：（2023春·八年级课时练习）等于（ ）
A．3B． C．D．9
【变式训练】
1．（2021·山西·长治市潞州区育成学校九年级期中）化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．－D．
2．（2022·云南昆明·八年级期末）若成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏扬州·八年级期末）化简二次根式的结果为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·云南楚雄·七年级期中）实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（河北省沧州市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）的算术平方根是___________．
6．（2022秋·湖南衡阳·九年级衡阳市华新实验中学校考期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：____________．
7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则________．
8．（2022·湖南·长沙市南雅中学七年级期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数．
(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；
(2)先化简，再求值：．
9．（2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：
10．（2021春·山西朔州·七年级校考期中）（1）计算 ； ； ；
（2）根据（1）中的计算结果可知，__________．
（3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ．
专题07 易错易混淆集训：与实数有关的问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc27620" 【典型例题】 PAGEREF _Tc27620 \h 1
\l "_Tc26085" 【易错点一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 PAGEREF _Tc26085 \h 1
\l "_Tc11716" 【易错点二 易混淆a与的平方根】 PAGEREF _Tc11716 \h 6
\l "_Tc10802" 【易错点三 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 PAGEREF _Tc10802 \h 10
【典型例题】
【易错点一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】
例题：（2022·湖北随州·七年级期中）在实数-0.1010010001，，，，，0中，无理数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【详解】
解： -0.1010010001是有限小数，是分数，、0是整数，这些都属于有理数；
无理数有，，共有2个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，无理数有： ，等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
【变式训练】
1．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：是有限小数，不是无理数；
开不尽方，是无理数；
是整数，不是无理数；
是分数，不是无理数；
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的识别；解题关键是明确无理数的常见形式：开不尽的方根、含的式子、无限不循环小数等．
2．（江西省抚州市2022-2023学年八年级上学期学生学业质量监测数学试题卷）实数，，，，3.1415926，，其中无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】直接根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：，
∴无理数有，共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．
3．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）在实数0.68，，，，，0.3030030003…（每两个3之间依次多一个0）中无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先求出立方根，再根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐个判断即可得．
【详解】解：是有限小数，属于有理数，
是整数，属于有理数，
是分数，属于有理数，
，，（每两个3之间依次多一个0）都是无理数，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根、无理数，熟记无理数的概念是解题关键．
4．（2022秋·江苏·八年级期中）下列五个数，，，，3.1415926中，是无理数的有 _____个．
【答案】2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
【详解】解：，，3.1415926是有理数，
无理数有，，共有2个．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期中）下列实数：，，，，，，，中，无理数有_________个．
【答案】4##四
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【详解】解：，，，
所以，无理数有、、、，共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了无理数，解题关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的；②无限不循环小数；③含有的数．
6．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）实数：，，，，，0，，，中，无理数有 _____个．
【答案】4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【详解】解：，
无理数有，，，，共有4个．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数（注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数），熟练掌握其性质是解决此题的关键．
7．（2023春·七年级课时练习）把下列各数写入相应的括号中：、、0.618、、、0、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
(1)无理数：{ ……}；
(2)整数：{ ……}；
【答案】(1)、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）
(2)、0、
【分析】（1）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数；
（2）根据整数的定义确定即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴无理数：｛、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）……｝；
（2）整数：｛、0、……｝．
【点睛】本题主要考查了实数的相关概念，解决问题的关键是熟练掌握无理数、整数定义以及常见形式．
8．（2022秋·辽宁丹东·八年级校联考阶段练习）把下列各数写入相应的集合中：，，，，，，0，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）
(1)正数集合{ }；
(2)有理数集合{ }；
(3)无理数集合{ }．
【答案】(1)， ， ， （相邻两个1之间2的个数逐次加1）
(2)，，，，0
(3)， ，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）
【分析】（1）根据正数的概念逐一判断即可；
（2）根据有理数的概念逐一判断即可；
（3）根据无理数的概念逐一判断即可．
【详解】（1）解：正数集合{， ， ， （相邻两个1之间2的个数逐次加1）}；
（2）解：∵，，，
∴有理数集合为{，，，，0}；
（3）解：无理数集合{， ，（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}．
【点睛】本题考查了有理数和无理数的概念，理解无理数和有理数的概念是解题的关键．
9．（2022春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）把下列各数分别填在相应的括号内：
，，，，0，2.56，，3.141414，
整数：{________________}；
有理数：{________________}；
无理数：{________________}；
分数：{________________}；
【答案】，，0；，，，0，2.56，3.141414；，，；，2.56，3.141414
【分析】根据有理数、整数、分数、无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：，，
整数：{，，0}；
有理数：{，，，0，2.56，3.141414}；
无理数：{，， }；
分数：{，2.56，3.141414}．
故答案为：，，0；，，，0，2.56，3.141414；，，；，2.56，3.141414．
【点睛】本题主要考查了实数分类，解题的关键是熟练掌握有理数、整数、分数、无理数的定义．
10．（2022·全国·八年级课时练习）把下列各数填入相应的集合内．
、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），
(1)有理数集合{ … }
(2)无理数集合{ … }
(3)负实数集合{ … }
【答案】(1)－，，0，
(2)，π，，，，0.3737737773
(3)－，，
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；
（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；
（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．
(1)有理数集合：{－，,0，…}
(2)无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……}
(3)负实数集合：{－，，…}
【点睛】
本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.
【易错点二 易混淆a与的平方根】
1．（2022·天津滨海新·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是 B．C．=±4D．以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根与平方根的性质即可得．
【详解】
解：16的平方根是，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握算术平方根与平方根的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）实数2的平方根是（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据平方根的定义即可得．
【详解】解：，
∴实数2的平方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的求法是解题关键．
2．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平方根和立方根的意义计算即可；注意负数没有平方根，算术平方根是非负数；
【详解】A.∵
∴此选项错误；
B.，此选项正确；
C.∵
∴此选项错误；
D.∵
∴此选项错误
故选：B
【点睛】本题考查平方根和立方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键
3．（2023·全国·九年级专题练习）在下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平方根及算术平方根的性质可求解．
【详解】解：根据平方根及算术平方根的性质可知，，，，
观察四个选项，只有选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
4．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）64的算术平方根是______，的平方根是______．
【答案】 8
【分析】根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．
【详解】解：，
的算术平方根是8，
，，
的平方根是，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根的方法是解决本题的关键．
5．（2022秋·陕西西安·八年级西安市第八十五中学校考期中）______________；的算术平方根为______________．
【答案】
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平根．根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，的算术平方根为 ，
∴的算术平方根为，
故答案为：；
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的关键．
6．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）若、满足，则的算术平方根是________．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算，即可得出结论．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴算术平方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求算术平方根和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
7．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根．
【答案】
【分析】根据二次根式的非负性和相反数的意义求出x，根据算术平方根的性质求出y，根据绝对值的性质求出z，根据相反数的意义求出mn，然后都代入计算出结果即可．
【详解】∵与互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵y的算术平方根为14，
∴，
∵z的绝对值为，
∴，
∴，
∵m，n互为倒数，
∴，
∴原式，
∴．
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，相反数，绝对值，倒数的性质，算术平方根和平方根的性质．注意算术平方根和平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．掌握以上知识是解题的关键．
8．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5
(2)的平方根为±2
【解析】
【分析】
（1）根据非负性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，＝0，求出a，b，c的值；
（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，将a，b，c代入求解即可．
(1)
解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，
∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；
(2)
解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则＝＝4，而，
故的平方根为±2．
【点睛】
本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一个数的平方根，熟练地运用以上知识是解决问题的关键．
【易错点三 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】
例题：（2023春·八年级课时练习）等于（ ）
A．3B． C．D．9
【答案】A
【分析】根据实数的性质即可化简．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知实数的运算法则．
【变式训练】
1．（2021·山西·长治市潞州区育成学校九年级期中）化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．－D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：∵，，
∴b<0，
∴=－，
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式有意义的条件及化简方法是解题的关键．
2．（2022·云南昆明·八年级期末）若成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质可进行求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．（2022·江苏扬州·八年级期末）化简二次根式的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件可得，再利用二次根式的性质化简即可得．
【详解】
解：，
，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
4．（2022·云南楚雄·七年级期中）实数、在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据数轴上的点的位置判断出的正负，然后把原式利用二次根式及立方根性质化简，最后去括号合并同类项即可得到结果．
【详解】
∵由数轴上点的位置得：
∴
∴原式
．
故选：D
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握实数与数轴，以及绝对值的概念及其各自的性质是解本题的关键．
5．（河北省沧州市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题）的算术平方根是___________．
【答案】
【分析】先计算，再求的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算是解题的关键．
6．（2022秋·湖南衡阳·九年级衡阳市华新实验中学校考期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：____________．
【答案】
【分析】由数轴可得c＜a＜0，b＞0，从而得c-a＜0，再结合二次根式的化简的方法进行求解即可．
【详解】解：由数轴得：，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查绝对值，算术平方根的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出相应的数的范围．
7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则________．
【答案】##
【分析】根据a<0
∴
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了算术平方根，解决问题的关键是熟练掌握算术平方根与绝对值的性质，去括号与合并同类项法则．
8．（2022·湖南·长沙市南雅中学七年级期中）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数．
(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)-2，-3，
(2)，
【解析】
【分析】
(1)根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；
(2)根据题意可得c> 0， a-b> 0，a-c< 0，然后先化简各式，再进行计算即可解答．
(1)
由题意得：，，，
故答案是：-2，-3，；
(2)
由数轴可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，
原式=．
当，时
原式．
【点睛】
本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：
【答案】0
【分析】根据数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，求出a+c＜0，c﹣b＜0，据此化简绝对值计算即可．
【详解】解：∵a＜0，c＜0，b＞0，
∴a+c＜0，c﹣b＜0，
∴原式＝﹣a﹣[﹣（a+c）]+（b﹣c）﹣b
＝﹣a+a+c+b﹣c﹣b
＝0．
故答案为0．
【点睛】此题考查了利用数轴上点表示的数判断式子的正负，正确掌握数轴上数的大小关系及绝对值的性质是解题的关键．
10．（2021春·山西朔州·七年级校考期中）（1）计算 ； ； ；
（2）根据（1）中的计算结果可知，__________．
（3）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ．
【答案】（1）3，6，，0；（2）；（3）
【分析】（1）根据算术平方根的定义分别计算即可；
（2）根据计算结果归纳可得；
（3）根据数轴得到a，b的关系和符号，再结合（2）中结论去绝对值化简．
【详解】解：（1）3，6，，0；
（2）由计算结果可知：；
（3）由数轴可得：a＜0＜b，
∴a-b＜0，
∴
=
=
=
【点睛】本题考查了算术平方根，实数与数轴，化简绝对值，解题的关键是通过计算发现规律．
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