2024年辽宁省沈阳市中考二模数学试卷

这是一份2024年辽宁省沈阳市中考二模数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．D．
2．（3分）下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m,将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A．8.4×106B．8.4×10﹣6C．84×10﹣7D．8.4×10﹣5
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．x4+x4＝2x8B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x6÷x3＝x3D．x2•x3＝x6
5．（3分）如图是上海今年春节七天最高气温（℃）的统计结果：
这七天最高气温的众数和中位数是（ ）
A．15，17B．14，17C．17，14D．17，15
6．（3分）在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列出方程组（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD等于（ ）
A．20°B．25°C．30°D．32.5°
8．（3分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（ ）
A．（7，3）B．（4，5）C．（7，4）D．（3，4）
9．（3分）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y=相交于点C，且BC：OC=1：2．则k的值为（ ）
A．﹣3B．﹣C．3D．
10．（3分）函数y＝ax2+2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：（每题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C=30°，且CD=，则阴影部分的面积是 ．
13．（3分）二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x﹣m2（m为常数），函数图象与x轴有 个交点．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD=AC，∠BAD=105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD=4，则△BEF的面积是 ．
15．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为，下列判断正确个数为①ab＜0；②b-3a=0；③ax2+bx≥m﹣2；④点（﹣4.5，y1）和点（1.5，y2）都在此函数图象上，则y1＝y2；⑤9a＝8﹣4m．以上结论正确的是 ．（填序号）
16．（3分）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是 ．
三、解答题（共72分）
17．（4分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
18．（8分）（1）解不等式组：；
（2）．
19．（8分）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图；
（2）求A所在扇形的圆心角度数；
（3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
20．（6分）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB=200cm,遮阳棚前端自然下垂边的长度BC=25cm,遮阳棚固定点A距离地面高度AD=296.8cm,遮阳棚与墙面的夹角∠BAD=72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG=60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cs72°≈0.309，tan72°≈3.078≈1.732）
21．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，，直接写出BD的长 ．
22．（6分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张，该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且EF=BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连结DE、CF，如果BF=2AB，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
24．（6分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现：①当α＝0°时＝ ；
②当α＝180°时，＝ ．
（2）拓展探究：试判断当0°＜α＜360°时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：
∵△ECD∽△ACB，
∴＝③ ．
又∵旋转∴∠ECA＝∠DCB，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝ ．
（3）用以上结论解决问题：当△CDE绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段BD的长 ．
25．（8分）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
（1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？
（2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
26．（12分）菱形ABCD中，对角线AC=6cm,BD=8cm,动点P、Q分别从点C、O同时出发，运动速度都是1cm/s,点P由C向D运动；点Q由O向B运动，当Q到达B时，P、Q两点运动停止，设时间为t妙（0＜t＜4）．连接AP，AQ，PQ．
（1）当t为何值时，PQ⊥AB；
（2）设△APQ的面积为y（cm2），请写出y与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的？
（4）是否存在t值，使得线段PQ经过CO的中点M？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
2024年辽宁省沈阳市中考二模数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．【答案】C
【解答】解：∵，
故选：C．
2．【答案】D
【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
3．【答案】B
【解答】解：0.0000084用科学记数法表示为8.8×10﹣6．
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：A．x4+x4＝8x4，故此选项不合题意；
B．（﹣2x8）3＝﹣8x5，故此选项不合题意；
C．x6÷x3＝x2，故此选项符合题意；
D．x2•x3＝x7，故此选项不合题意．
故选：C．
5．【答案】C
【解答】解：17℃出现了2次，最多；
共7个数据，从小到大排列为6，9，14，17，
故中位数为14℃．
故选：C．
6．【答案】D
【解答】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴y﹣x＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x﹣y＝1．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
7．【答案】A
【解答】解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
8．【答案】A
【解答】解：直线y＝﹣x+8与x轴，0），4）两点．
旋转前后三角形全等．
由图易知点B′的纵坐标为OA长，即为4，
∴横坐标为OA+OB＝OA+O′B′＝3+4＝5．
故选：A．
9．【答案】A
【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵＝，
∴＝，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOB＝，
∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，
∵双曲线y＝在第二象限，
∴k＝﹣2×＝﹣3，
故选：A．
10．【答案】B
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞02+4x+1的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞72+2x+7的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜02+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞72+3x+7的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
二、填空题：（每题3分，共18分）
11．【答案】+4．
【解答】解：
＝8﹣×5+4
＝2﹣+4
＝+4，
故答案为：+5．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OD，连接DE、DF，设圆的半径为R，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，
∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝30°，CD＝3，
∴OD＝CD•tan30°＝4×＝3，
∵∠DAB＝∠DAE＝30°，
∴＝，
∵∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠FOA＝60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DF∥AC，
∴S阴影＝S扇形DFO＝＝．
故答案为：．
13．【答案】两．
【解答】解：由题意可得，Δ＝（m﹣2）2+5m2
＝m2﹣4m+4+4m6
＝5m2﹣7m+4
＝5（m﹣）2+．
又（m﹣）8≥0，
∴Δ＝5（m﹣）2+≥＞0．
∴函数图象与x轴有两个交点．
故答案为：两．
14．【答案】．
【解答】解：过点E作EH⊥BF于H．
∵AD＝AC，∠DAC＝90°，
∴AD2+AC2＝42，
∴AD＝AC＝2，
∵DF＝FC，AE＝EC，
∴EF＝AD＝，
∴∠FEC＝∠DAC＝90°，
∵∠ABC＝90°，AE＝EC，
∴BE＝AE＝EC＝，
∴EF＝BE＝，
∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，
∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，
∴∠EAB＝∠EBA＝15°，
∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，
∴∠FEB＝90°+30°＝120°，
∴∠EFB＝∠EBF＝30°，
∵EH⊥BF，
∴EH＝EF＝EH＝，
∴BF＝2FH＝，
∴S△EFB＝•BF•EH＝××＝．
故答案为：．
15．【答案】②④⑤．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，因此a＜0，则a，则b＜0，
∴ab＞6，
因此①不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣，m），
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣，
∴b＝2a，
即b﹣3a＝0，
因此②正确；
∵函数y＝ax4+bx+2（a≠0）的图象与y轴交点坐标为（7，2），
∴c＝2，
∵抛物线的顶点坐标为（﹣，m），
∴函数的最大值为y＝m，
即ax2+bx+2≤m，
即ax2+bx≤m﹣2，
因此③不正确；
由于抛物线的对称轴是直线x＝﹣，而＝﹣，
∵点（﹣6.5，y1）和点（5.5，y2）都在此函数图象上，
∴y5＝y2，
因此④正确；
∵函数y＝ax2+bx+7（a≠0）的图象的顶点为，
∴a﹣，
即9a﹣4b＝4m﹣8，
而b＝5a
∴9a﹣18a＝4m﹣4，
即9a＝8﹣2a，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有②④，
故答案为：②④⑤．
16．【答案】3．
【解答】解：这个几何体有5个小正方体组成，
从正面看，第一层有3个，并且都在最右端，
从主视图上看，最右端，
则第一层下面最右边一列为7或2，
当第一层下面最右边一列为5时，
∵任意两对面上所写的两个数字之和为5，接触的两个面上的数字之和为8，
∴第二层下面为6，
∴第三层下面为8（不合题意舍去）；
当第一层下面为2时，
∵任意两对面上所写的两个数字之和为7，接触的两个面上的数字之和为5，
∴第二层下面为3，
∴第三层下面为4，
∴第三层上面为8，
∴★所代表的数为3．
故答案为：3．
三、解答题（共72分）
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：①分别以A、B为圆心AB为半径画圆、E两点；
②分别以A、C为圆心AC为半径画圆、F两点；
③直线DE与GF相交于点O，以O为圆心，则此圆即为花坛的位置．
18．【答案】（1）该不等式组的解集为﹣3≤x≤1；
（2）．
【解答】解：（1），
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得x≤1，
∴该不等式组的解集为﹣8≤x≤1；
（2）
＝﹣
＝﹣
＝．
19．【答案】（1）500；补全条形统计图见解答．
（2）144°．
（3）．
【解答】解：（1）本次调查共抽取了50÷10%＝500（名）学生．
故答案为：500．
选项B的人数为500﹣200﹣100﹣50＝150（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）A所在扇形的圆心角度数为360°×＝144°．
（3）列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为＝．
20．【答案】（1）遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm
（2）遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm
【解答】解：（1）如图，作BE⊥AD于E，
∵AB＝200cm，∠BAD＝72°．
∴在Rt△ABE中，，即，
∴BE＝sin72°×200≈0.951×200＝190.2（cm），
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.5cm；
（2）解：如图3，作BE⊥AD于E，延长BC交DG于K，
∴四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，
由（1）得BE＝190.2cm，
∴DK＝HC＝BE＝190.2（cm），
在Rt△ABE中，，即，
∴AE＝cs72°×200≈0.309×200＝61.89（cm），
由题意得：EH＝BC＝25cm，
∴DH＝AD﹣AE﹣EH＝296.8﹣61.8﹣25＝210（cm），
∴CK＝DH＝210cm，
在Rt△CFK中，，即，
∴，
∴DF＝DK﹣FK＝190.2﹣121.25≈69（cm），
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm．
21．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝BD•tan30°＝2×＝7，
∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝2，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴＝＝，
∴的长是，
故答案为：．
22．【答案】（1）表中a的值为150；
（2）当购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元．
【解答】解：（1）根据题意得：＝，
解得：a＝150，
经检验，a是原分式方程的解．
答：表中a的值为150．
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，
根据题意得：x+5x+20≤260，
解得：x≤40．
设销售利润为y元，
根据题意得：y＝[500﹣150﹣4×（150﹣110）]×x+（270﹣150）×x）×（70﹣40）＝245x+600．
∵k＝245＞0，
∴当x＝40时，y取最大值．
答：当购进餐桌40张、餐椅220张时，最大利润是10400元．
23．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：连接DE，
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．
24．【答案】（1）①；
②；
（2）＝；；
（3）．
【解答】解：（1）①当α＝0°时，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，
∴，
∵点D，E分别是边BC，
∴CE＝AE＝AC＝BC＝5，
故答案为：；
②如图1，
∵点D，E分别是边BC，AB＝4AB＝8，
∴∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC＝90°；
如图，当α＝180°时，
由旋转的性质得：∠CDE的大小不变，仍等于90°，仍等于2，仍等于；
∴AE＝AC+CE＝6，CD＝，
∴BD＝BC+CD＝3，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）当0°＜α＜360°时，＝，大小没有变化；
证明：由旋转的性质得：∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝＝，
故答案为：＝；；
（3）①如图2，当点E在AB的延长线上时，
在Rt△BCE中，CE＝，
∴BE＝＝1，
∴AE＝AB+BE＝5+1＝5，
∴＝，
∴BD＝＝；
②如图3，当点E在线段AB上时，
在Rt△BCE中，CE＝，
∴BE＝＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣1＝3，
∴＝，
∴BD＝＝，
综上，线段BD的长为．
25．【答案】（1）20万元；（2）500万元．
【解答】解：（1）设三月的成本为m万元，
当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，
由题意得：450＝30（35﹣m），
解得：m＝20，
即三月份每件产品的成本是20万元；
（2）四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6，
由题意得：w＝y（x﹣2）﹣450＝（﹣2x+100）（x﹣6）﹣450＝﹣4x2+112x﹣1050（25≤x≤30），
则抛物线的对称轴为x＝28，
则x＝25时，w取得最小值，
此时，w＝500，
即四月份最少利润是500万元．
26．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图3中，作CH⊥AB于H交BD于M．
易知CH＝，AH＝＝，
∵∠MCO＝∠ACH，∠COM＝∠CHA＝90°，
∴△COM∽△CHA，
∴＝，
∴＝，
∴OM＝，
∵PQ⊥AB，CH⊥AB，
∴PQ∥CM，
∴＝，
∴＝，
∴t＝1，
∴t＝2s时，PQ⊥AB．
（2）如图1中，作AM⊥CD于M．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝＝5，
∵•AC•OD＝，
∴AM＝，
∵OQ＝CP＝t，
∴DQ＝4+t．PD＝5﹣t．
∵PH∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴PH＝（5﹣t），
∴y＝S△ADQ+S△PDQ﹣S△ADP＝•（4+t）•4+（5﹣t）﹣＝﹣t2+t（8＜t＜4）．
（3）如图2中，
∵△APQ的面积是四边形AQPD面积的，
∴S△APQ＝2S△APD，
∴﹣t2+t＝2•，
解得t＝15﹣或15+，
∴t＝15﹣时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的．
（4）如图5中，作PH⊥AC于H．
∵OQ∥PH，OM＝MC＝，
∴＝，
∴＝，
∴t＝，
∴t＝时，PQ经过线段OC的中点M．
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500
餐椅
a﹣110
70
每件售价x/万元
…
24
26
28
30
32
…
月销售量y/件
…
52
48
44
40
36
…
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
 （甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
 丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）