专题2.2 与三角形相关的范围问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题2.2 与三角形相关的范围问题
一．方法综述
与三角形相关的范围问题同样是高考命题的热点问题之一，要充分利用解三角形知识，正余弦定理的边角转化策略以及结合基本不等式、函数、方程与不等式思想，运用转化与化归思想求解．
二．解题策略
类型一 转化为函数（三角函数或二次函数）解决
【例1】（2020·湖北高考模拟）已知锐角外接圆的半径为2，，则周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵锐角外接圆的半径为2，，
∴即，∴，又为锐角，∴，
由正弦定理得，
∴a＝4sinA，b＝4sinB，c＝
∴a+b+c＝24sinB+4sin（B）＝6sinB+2+24sin（B）+2，
∴当B即B时，a+b+c取得最大值46．故选B．
【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，从而得最值.
【例2】（2020·广东高考模拟）如图所示，在平面四边形中，，，是以为顶点的等腰直角三角形，则面积的最大值为________．
【答案】
【解析】【分析】设，，，则的面积，在中，运用余弦定理，表示出，根据是以为顶点的等腰直角三角形，得到 ，代入面积公式，利用三角函数即可求面积的最大值．
【详解】在中，设，，
在中，，，由余弦定理，可得，
由，当且仅当时取等号，即有，由于 则，
利用余弦定理可得：，化简得：，
又因为是以为顶点的等腰直角三角形，则 ，
在中，由正弦定理可得：，即：，则，
由于
，即
所以的面积


当时，取最大值1，所以的面积的最大值为
【例3】．（2020·湖北黄冈中学高考模拟）已知中，所对的边分别为a，b，c，且满足，则面积的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】先求出，再证明，再利用二次函数的图像和性质求的最大值得解.
【详解】由题得，
由基本不等式得
又因为，所以
所以,
所以，
所以，
.此时，故答案为1
【举一反三】
1．（2020·安徽高考模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，
，，则周长的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵是和的等差中项，∴，∴，
又，则，从而，∴，
∵，∴，
所以的周长为，
又，，，∴．故选B．
2.（2020河南省焦作市高三）如图所示，点M，N分别在菱形ABCD的边AD，CD上，AB=2，∠ABC=43∠MBN=2π3，则ΔBMN的面积的最小值为______．
【答案】12−63
【解析】
在菱形ABCD中，∠ABC=43∠MBN=2π3，所以∠MBN=π2，在ΔMAB中，∠MAB=π3，设∠MBA=α,α∈0,π6,则∠AMB=2π3−α,且AB=2，由正弦定理ABsin∠AMB=MBsinπ3得MB=3sin2π3-α ，在ΔNBC中，∠NBC=π6−α ,则∠BNC=π2+α,由正弦定理BNsinπ3=BCsinπ2+α ，得BN=3sinπ2+α=3csα ，在RTΔMBN中，
SΔMBN=12BM·BN=12×3×3sin2π3-αcsα =32132cs2α+12sinαcsα=321341+cs2α+14sin2α =31sin2α+π3+32
因为α∈0,π6，所以2α+π3∈π3，2π3，即sin2α+π3 ∈32,1 ，所以sin2α+π3+32 ∈3,1+32，所以SΔBMN∈12−63,3
故答案为：12−63
3．（2020·山东高考模拟）在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】分析：由,,可知为直角三角形，设设∠BAD=，则，，从而，求二次函数的最值即可.
详解：
由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°，
设∠BAD=，AB=2r，则，，
在中，，即，
∴，
∴
令t=，则
当，即时，的最大值为
类型二 结合不等式（基本不等式）求解问题
【例1】（2020·安徽高考模拟）在中，内角，，的对应边分别为，，，若，，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】因为，由余弦定理及基本不等式可得，
，
所以，当且仅当：：=﹕：时等号成立，所以的最大值是.又因为，所以，所以，所以的最大值为．
【例2】（2020·江西高考模拟）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化简边角关系式，可整理出；根据，结合两角和差正切公式可得到；利用换元的方式可将问题转变为求解的最小值的问题；根据锐角三角形特点可求出，从而利用基本不等式求解出最小值.
【详解】由正弦定理可得：
得：
，即
又
令，得：
为锐角三角形
得：，即
当且仅当，即时取等号
【例3】（2020湘赣十四校联考）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且30λcs(B+C)+9cs2A+16λ2+5≤0恒成立，则λ的取值范围是
【答案】78,528
【解析】 ⇒2a2−bccsA=b2 ⇒csA=2a2−b22bc
又csA=b2+c2−a22bc ⇒b2+c2−a22bc=2a2−b22bc ⇒a2=2b2+c23
∴csA=4b2+2c23−b22bc=b2+2c26bc
又，当且仅当b=2c时取等号
∴csA≥23 ⇒csA∈23,1
30λcsB+C+9cs2A+16λ2+5≤0 ⇒−30λcsA+92cs2A−1+16λ2+5≤0
⇒18cs2A−30λcsA+16λ2−4≤0
设，即当x∈23,1时，18x2−30λx+16λ2−4≤0恒成立
设fx=18x2−30λx+16λ2−4
则可知Δ=(30λ)2−4×1816λ2−4≥0f23=18×29−30λ×23+16λ2−4≤0f1=18−30λ+16λ2−4≤0 ⇒λ2≤870≤λ≤52878≤λ≤1
可得：λ∈78,528
【举一反三】
1、（2019江西省上饶）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsB−bcsA=12c，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为（ ）
A．π2 B．π6 C．π3 D．π4
【答案】A
【解析】由正弦定理得sinAcsB−csAsinB=12sinC=12sinB+A，化简得tanA=3tanB.tanA−B=tanA−tanB1+tanA⋅tanB=2tanB1+3tan2B =21tanB+3tanB≤221tanB⋅3tanB=33，当且仅当1tanB=3tanB时等号成立，由于A>B故B为锐角，故tanB=33,tanA=3，所以A=π3,B=π6,C=π3.故选A.
2、（2019安徽省六安市模拟）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a−cb=csCcsB，b=4，则ΔABC的面积的最大值为（ ）
A．43B．23C．2D．3
【答案】A
【解析】∵在△ABC中，2a−cb=csCcsB，，
∴，
∴，
约掉可得＝12，即B＝π3，
由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2accsB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，
∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
∴△ABC的面积S＝12acsinB＝34ac≤43故选：A．
3．（2020·河南高考模拟）在中，角，，的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为_____．
【答案】
【解析】由题得
由题得
所以,当且仅当时取等号.
所以的最大值为,故填
点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点
三．强化训练
1.（2020安徽省芜湖市高三）锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2asinC=3c，a=1，则ΔABC周长的最大值为（ ）
A．3+1 B．2+1 C．3 D．4
【答案】C
【解析】依题意，由正弦定理得，即sinA=32，由于三角形为锐角三角形，故A=π3，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得，故三角形的周长为1+23sinB+23sinC =1+23sinB+23sin2π3−B =1+2sinB+π6，故当B=π3，即三角式为等边三角形时，
取得最大值为1+2=3，故选C.
2.（2020黑龙江省鹤岗市一模）ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a=4，，则ΔABC面积的最大值是 （ ）
A．43 B．23 C．83 D．4
【答案】A
【解析】由题意可知，由正弦定理得，
又由在ΔABC中，sinB>0，即，即tanA=3，
因为0