专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲

这是一份专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题-【玩转压轴】突破高考数学选择和填空题精讲，文件包含专题52解析几何与平面向量相结合问题原卷版docx、专题52解析几何与平面向量相结合问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品
专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题
一．方法综述
向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.
二．解题策略
类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题
【例1】（2020·湖北高考模拟（理））已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若是线段上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围为______________.
【答案】
【解析】试题分析：由题意得，设，取的中点，由，则，解得点，又，所以，由三角形的中位线可知，即，整理得，所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆上，所以使得圆与椭圆有公共点，则，所以椭圆的离心率为．
【方法点晴】本题的解答中设出点的坐标，取的中点，可转化为，代入点的坐标，可得点的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到的关系，求解椭圆离心率的取值范围.
【举一反三】
1.（2020南宁模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，设，由，得，因为在的渐近线上存在点，则，
即 ，
又因为为双曲线，则，故选B．
【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， ，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键．
2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆：，：，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵圆：，圆：，
动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为 ，
由题意得
∴则的轨迹是以（ 为焦点，长轴长为16的椭圆，
∴其方程为 因为，
即为圆 的切线，要的最小，只要最小，设，则
，选A.
3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0,b>0)的左焦点F(−c,0) (c>0)，作倾斜角为π6的直线FE交该双曲线右支于点P，若OE=12(OF+OP)，且OE⋅EF=0，则双曲线的离心率为__________．
【答案】3+1
【解析】试题分析：因为OE⋅EF=0，所以OE⊥EF，由题意∠PFO=π6，故OE=12OF=12c，
∵OE=12(OF+OP)，∴E为PF的中点，令右焦点为F'，则O为FF'的中点，则PF'=2OE=c，
∵OE⋅EF=0，所以OE⊥EF，∴PF⊥PF'，∵PF−PF'=2a，
∴PF=PF'+2a=2a+c在Rt△PFF'中，PF2+PF'2=FF'2，
即(2a+c)2+c2=4c2，所以离心率e=3+1．
类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题
【例2】（2020·江苏省如皋中学高考模拟）已知圆，点是直线l：上的动点，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由在圆上总存在不同的两点A，B使得可知四边形OAPB是菱形，于是垂直平分．然后分类讨论：当直线的斜率为0时，此时在圆上不存在不同的两点满足条件．当直线的斜率不存在时，可得，此时直线方程为为，满足条件．当直线的斜率存在且不为0时，利用，，可得直线方程为，圆心到直线的距离，即，再利用，即可解出所求范围．
【详解】∵在圆上总存在不同的两点使得，
∴四边形OAPB是菱形，
∴直线垂直平分OP．
①当直线的斜率为0时，由直线得，此时在圆上不存在不同的两点满足条件．
②当直线的斜率不存在时，由直线可得，此时直线的方程为，
满足条件．
③当直线的斜率存在且不为0时，
∵，，
∴．
∴直线的方程为，即，
由题意得圆心到直线的距离，即，
又，
∴，解得．
∴的取值范围是．
【点睛】解答本题的关键有两个：一个是根据题意得到四边形OAPB是菱形，于是垂直平分，进而转化为坐标运算处理．二是针对直线的斜率的取值情况进行分类讨论，在每种情况下判断是否满足条件，最后将问题转化为圆心到直线的距离小于半径求解．考查转化和计算能力，具有综合性和难度．
【举一反三】
1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线：的焦点为，点，直线与抛物线交于点（在第一象限内)，与其准线交于点，若，则点到轴距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为．根据三角形相似可得直线的倾斜角为，从而斜率为，进而可求得，于是可求得点的纵坐标，根据点在曲线上可得其横坐标，即为所求．
【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为，设准线与y轴交于点．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，
∴，
∴,
∴直线的倾斜角为，
∴，解得．
又由得，即，
∴．
设，则，
∴，
∴，
又点在第一象限，
∴，即点到轴距离为．故选B．
2.（2020南充模拟）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（ ）
A． 8 B． 4 C． 2 D． 1
【答案】B
【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB的中点，再求出直线PA，PB斜率的表达式， 算出为定值，再由基本不等式求出最小值．
3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】
【详解】∵（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），
双曲线的两条渐近线方程为yx，yx，
∵过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．
∵，
∴点P是线段F1Q的中点，且PF1⊥OP，
∴过F1的直线PQ的斜率kPQ，
∴过F1的直线PQ的方程为：y（x+c），
解方程组，得P（，），
∴|PF1|＝|PQ|＝b，|PO|＝a，|OF1|＝|OF2|＝|OQ|＝c，|QF2|＝2a，
∵tan∠QOF2，∴cs∠QOF2，
由余弦定理，得cs∠QOF21，
即e2﹣e﹣2＝0，
解得e＝2，或e＝﹣1（舍）故选C．
类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程
【例3】（2020荆州模拟）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设平面内曲线上的点，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点，∵点在曲线上，∴，整理得 ．故选A．
【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程．
【举一反三】
1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是，已知点的坐标为，双曲线上的点，满足，则 （ ）
A．2B．4C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点是 的内切圆的圆心，利用三角形面积计算公式计算即可．
【详解】作出简图如下
∵椭圆，
∴其顶点坐标为 焦点坐标为（，
∴双曲线方程为
由，可得在与方向上的投影相等，，
∴直线的方程为．即：，
把它与双曲线联立可得 ，轴，又，
所以，即是 的内切圆的圆心，
故选A．
2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由，且λ+μ＝1，得＝，
∴，即，则C、A、B三点共线．
设C（x，y），则C在AB所在的直线上，
∵A（2，1）、B（4，5），
∴AB所在直线方程为 ，整理得：．
故P的轨迹方程为：．故选：A.
类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题
【例4】（2020·兰州高考模拟（理））设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆中线段关系，表示出，，．由余弦定理即可求得a与c的关系，进而求得离心率．
【详解】因为F1是椭圆的左焦点，直线过F1交y轴于C点
所以 ，即
因为，所以
又因为
所以
在三角形AF1F2中，，，，根据余弦定理可得
，代入得
，化简得
所以离心率为 ，所以选A
【举一反三】
1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点， 为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示， 为与的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ， ， 向量的夹角为钝角时， ，又，两边除以得，即，解集，又，故选C．
2.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题
【例6】如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________．
【答案】
【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．
【举一反三】
1.（2019上海市闵行区七宝中学高三）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.
【答案】
【解析】
因为是平面内两个互相垂直的单位向量，
所以可设 ，
，
，
又，
，
即，
它表示的圆心在，半径为的圆，
表示圆上的点到的距离，
圆心到点的距离为，
的最大值为，
要使恒成立，
即的最小值是，故答案为.
三．强化训练
一、选择题
1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，过点的直线为，
由得，直线代入得
则，
即，，所以，故选B
2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ）
A．12B．C．24D．
【答案】C
【解析】设，，
∵、分别为双曲线的左、右焦点，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
解得，，
设，则，
在中可得，
解得，
∴，
∴的面积.
故选：C．
3．（2020·河南高考模拟（理）），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】由题，，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用
可得c、a的不等关系，可得离心率.
【详解】由题，取点P为右支上的点，设
根据双曲线的定义知：
在三角形中，由余弦定理可得：
又因为 可得
即
又因为
所以
即
4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线过抛物线：的焦点，交于，两点，交的准线于点，若，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线的焦点及准线，由向量关系可得是的中点，再利用三角形中位线求出点到准线的距离，从而求出的坐标，进而确定直线的方程，再联立直线与抛物线方程求出两交点横坐标之和，代入焦点弦求值.
【详解】如下图所示：不妨设A在第一象限，由抛物线：可得，准线
因为，所以是的中点
则.所以可得
则，所以直线的方程为：
联立方程 整理得：
所以，则.选B.
5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】结合题意，绘制图形，可知
，结合，可知，所以
设，所以，解得，
故设F的坐标为，则A的坐标为，
代入抛物线方程，得到，解得，故选B.
抛物线方程，得到，解得，故选B.
6.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故，即，故点为线段的中点，连接，则为的中位线，且，故，且，故点在双曲线的右支上，，则在中，由勾股定理可得， ，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C．
7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵是的边上的中线，∴．
∵，
∴，当且仅当三点共线时等号成立．
又，，
∴，
∴，
又，
∴．故离心率的取值范围为．故选C．
8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，．
因为，所以是线段的中点．
又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，，所以，
化简可得，所以，
所以，结合解得．
本题选择C选项.
9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（ ）
A．-2B．1C．4D．
【答案】B
【解析】
由题可设A，其中a>0,d＜0.
又焦点F(1,0)，
所以|FD|=1+，
所以|AB|=|FA|-|OB|=，
由题得.
所以，
所以1.故选：B
10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则=( )
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】根据离心率求得的值，由此求得线段所在直线方程，设出点的坐标，代入，利用二次函数求最值的方法求得取得最小值和最大值时对应的点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值.
【详解】由于双曲线的离心率为，故.
所以直线的方程为，
设，焦点坐标为，
将坐标代入并化简得，
由于，故当时取得最小值，
此时；
当时取得最大值，此时.故.所以选B.
11．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（ ）
A．3B．C．2D．-3
【答案】A
【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，
∵是线段的中点，
∴，设，
∵，∴，
∴，解得，
∴，
∴，故选A．
12.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
设直线，与椭圆方程联立可得
，，
设，则，，
代入得,
，
于是 ，
,故选C.
二、填空题
13．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________
【答案】
【解析】
建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），
又，
所以，则，
其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，csθ）的直线的斜率，
设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，
由直线与圆的位置关系有：，
解得：，即的最大值是1，
故答案为：1
14．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，其中为切点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】==
因为圆心到直线的距离，所以，，，当时取最小值。所以填。
15．（2020·北京高考模拟（理））如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），M（-4，0），N（4，0），P（0，-2），Q（0，2），H（4，2）．线段OM上的动点A满足；线段HN上的动点B满足．直线PA与直线QB交于点L，设直线PA的斜率记为k，直线QB的斜率记为k'，则k•k'的值为______；当λ变化时，动点L一定在______（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．
【答案】 双曲线
【解析】
【分析】根据向量关系得到A，B的坐标，再根据斜率公式可得kk′=；设P（x，y），根据斜率公式可得P点轨迹方程．
【详解】∵；∴A（-4λ，0），又P（0，-2），∴；
∵．∴B（4，2-2λ），∴，∴kk′=，
设L（x，y），则，
∴，即．
故答案为，双曲线．
16．（2020·江苏高考模拟）已知点，若分别是和直线上的动点，则的最小值为_____.
【答案】6
【解析】
【分析】设出点P的坐标和点R的坐标，分别表示出其向量，利用坐标求其模长，可得表示为圆与直线上一点距离的问题，再利用点到直线的距离求得其最小值.
【详解】
因为分别是和直线上的动点，
所以设点，点
所以
所以
表示的是圆上一点与直线直线上一点距离的最小值，
圆是圆心为(0,0)半径为2的圆
直线一般式：
最小值为： ，故答案为6
17．（2020·湖南长沙一中高考模拟（理））设为双曲线（，）的右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为________.
【答案】2或
【解析】若，则由图1可知，渐近线的斜率为，，
在 中，由角平分线定理可得，
所以，，
所以，.若，
则由图2可知，渐近线为 边AF的垂直平分线，故△AOF为等腰三角形，
故，，，
即该双曲线的离心率为2或.
18．（2020·河南高考模拟（理））物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为

【答案】1
【解析】
【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|CD|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到答案．
【详解】设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2abcs60°＝a2+b2﹣ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（ ） 2，
∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2
得到|AB|（a+b）＝|CD|．
∴1，即的最小值为1．