山东省威海市2024届高考二模数学试卷(含答案)

这是一份山东省威海市2024届高考二模数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位数为( )
A.20B.21C.22D.23.5
2．在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数.集合，，若，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
4．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，则=( )
A.2B.3C.4D.6
5．已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线过点F，且与C在第一象限的交点为A，若，则p=( )
A.2B.4C.8D.12
6．在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，若平面与平面的交线为l，则l与直线所成角的大小为( )
A.B.C.D.
7．已知向量a，b满足，，且对，，则=( )
A.-2B.-1C.1D.2
8．设，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.是纯虚数
B.对任意的复数z，
C.对任意的复数z，为实数
D.
10．已知函数，则( )
A.在上单调递减
B.将图象上的所有点向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称
C.在上有两个零点
D.
11．数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点O为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：可以与边长为的正方形的四条边均相切，它的左、右顶点分别为A，B，则( )
A.
B.若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为12
C.椭圆C的蒙日圆上存在两个点M满足
D.若椭圆C的切线与C的蒙日圆交于E，F两点，且直线OE，OF的斜率都存在，记为，，则为定值
三、填空题
12．的展开式中的系数为________.（用数字作答）
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，.则=________.
14．已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为________.
四、解答题
15．市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%.现有某质检部门对该商品进行质量检测.
(1)若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；
(2)若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望.
16．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知函数.
(1)求的极值；
(2)证明：.
18．在直角坐标系xOy中，已知曲线C：过点，且与x轴的两个交点为A，B，.
(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C相切.
(i)若l与直线的交点为M，证明：；
(ii)若l与过原点O的直线相交于点P，且l与直线OP所成角的大小为45°，求点P的轨迹方程.
19．设，y是不超过x的最大整数，且记，当时，的位数记为例如：，，.
(1)当时，记由函数的图象，直线，以及x轴围成的平面图形的面积为，求，及；
(2)是否存在正数M，对，，若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；
(3)当，时，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：样本数据11，12，13，16，20，22，25，27，36共9个数字，
所以，所以分位数为从小到大排列的第个数，即为22.
故选：C.
2．答案：A
解析：由题：
所以，
故选：A.
3．答案：D
解析：由题知，，解得，
又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为.
故选：D
4．答案：A
解析：因为，，成等差数列，
所以，因为是正项等比数列，且，
，所以，解得：或（舍去），
所以.
故选：A.
5．答案：B
解析：过点A作x轴的垂线，垂足为H，
因为直线AF的斜率为，所以，
则，，
所以，点A坐标为，代入得，
整理得，解得或（舍去）.
故选：B

6．答案：C
解析：因为E，F分别为棱BC，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，，所以，
又，所以，所以l与直线所成角的大小等于.
故选：C
7．答案：C
解析：因为，所以，
所以，
因为对，，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
8．答案：B
解析：令，可得，所以在R上单调递增，
当时，，所以，
所以，所以，
令，求导可得，
当，，所以单调递减，所以，
即，所以，
令，可得，即，
所以.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对于A，是纯虚数，A正确；
对于B，对任意复数，
，，
所以和不一定相等，B错误；
对于C，设，则，
则，C正确；
对于D，
，D错误.
故选：AC
10．答案：BCD
解析：对于A，因为，
所以的图象关于对称，所以在上不单调，A错误；
对于B，由上知，的图象关于对称，
所以的图象向左平移个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，B正确；
对于C，由得函数的零点为，，
令，解得，
所以，即在上有两个零点，C正确；
对于D，因为，
，，
所以
因为的最小值周期，
所以，D正确.
故选：BCD
11．答案：ACD
解析：A选项，由题意得边长为的正方形为的蒙日圆的内接正方形，
故，解得，，A正确；
B选项，若矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形为的蒙日圆的内接矩形，
其中蒙日圆的半径为，
设矩形的长为x，宽为y，故，
故矩形面积为，当且仅当时，等号成立，
故该矩形面积的最大值为24，B错误；
C选项，由题意得，，蒙日圆方程为，
设，
故，
，
由得，
故，解得，
显然M点可能在第一象限或第四象限，C正确；
D选项，下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
设切点为，故，
则椭圆C的切线方程为，
联立与得，
设，，
则，，
将代入得，，
，
故，为定值，D正确.
法2：若的斜率存在，则设直线，
则联立与得，
由得，
联立与得，，
设，则，
故
，
将代入得
，
故，
若的斜率不存在，则：或，
若：，则，或，
此时均有，同理当：，也有，故D正确.
故选：ACD
12．答案：35
【分析】化简通项，根据x的指数等于13求出r，然后可得所求系数.
解析：，
令，解得，所以的系数为.
故答案为：35
13．答案：
解析：在中，由余弦定理可得，
所以，所以，
因为，所以，所以
解得，，
由，可得，
在中，由正弦定理可得，
所以.
故答案为：.
14．答案：/
【分析】将圆锥侧面积用圆锥底面半径与母线长的表达式表示出来，再利用外接球半径为3，建立圆锥底面半径与母线长的关系，从而将圆锥侧面积表示为母线长函数，利用换元，导数法求出函数取最大值时的母线长，底面半径长，从而求出此时的圆锥体积.
解析：
如图，圆锥顶点为P，底面圆心为C，底面圆周与顶点均在球心为O的球面上，
，记，
则圆锥侧面积为，
若r相同时，l较大才能取得最大值，由截面圆的对称性知，圆锥侧面积最大时P，C两点位于球心O两侧，
此时，，，，
，而，,又，
故，
令，，
，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
故当时，最大，圆锥侧面积最大，此时，，
此时圆锥体积，
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)X的分布列见解析，
解析：（1）记质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级为事件A，
则，
（2）由（1）可知每件产品达到优秀等级的概率均为，故，
，
所以，，
，，
，
X的分布列为：
.
16．答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1）设中点为O，连接，为等边三角形，故，
由题意知平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，
故，又，，平面，
故平面，平面，故，
又M为的中点，为等边三角形，则,
，平面，
所以平面；
（2）由（1）知平面，平面，故，
连接，，则，，
即四边形为平行四边形，故，，
故以O为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，则,
即，令，则，
设直线与平面所成角为，，
则.
17．答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：（1）由题意得的定义域为，
则，
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，令，则，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；
（2）证明：设，
，令，
则，即在上单调递增，
，
故，使得，即，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故
即，即，则.
18．答案：(1)
(2)证明详见解析；或
解析：（1）因为曲线C：过点，所以，
由，可得，
因为，所以，解得，
所以曲线C的方程为.
（2）
(i)
设直线l与C相切的切点为 ，
因为，所以，
则直线l的方程为，
即，
所以，
由题意可知，所以，
可得，所以；
(ii)设P的坐标为，则，
因为l与直线OP所成角的大小为，且l的一个方向向量为 ，
所以，
可得，
即，
所以或，
当时，，
因为，所以，
可得，
即，
因为，所以，
当时，，
因为，同理，
所以点P的轨迹方程为或.
19．答案：(1)，，；
(2)存在，可取，理由见详解；
(3)证明见详解.
解析：（1）当，时，，
由，，以及x轴围成的平面图形的面积为；
当时，，
由，，以及x轴围成的平面图形的面积为；
当时，，
表示，，以及x轴围成的平面图形的面积，
所以，记，
则①，
所以②，
由①-②得
，
所以，即.
（2）存在.
记，易知在定义域上单调递增，
令，则，
取，对都有，即，
所以.
所以，存在，对，.
（3）
当，，，…，时，
，，
此时，
所以；
，，
所以
，
所以.
X
P