陕西省2024届高三下学期教学质量检测（二）数学（理）试卷(含答案)

这是一份陕西省2024届高三下学期教学质量检测（二）数学（理）试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．复数的实部为( )
A.1B.3C.D.
3．命题“,”的否定为( )
A.,B.,C.,D.,
4．已知双曲线的焦距为4,则该双曲线的离心率为( )
A.2B.C.D.
5．已知在某次乒乓球单打比赛中,甲､乙､丙､丁四人进入半决赛.将四人随机分为两组进行单打半决赛,每组的胜出者进行冠军的争夺.已知四人水平相当,即半决赛每人胜或负的概率均为.若甲､丙分在一组,乙､丁分在一组,则甲､乙两人在决赛中相遇的概率为( )
A.B.C.D.
6．在区间中随机取2个数,则两数之和小于3的概率为( )
A.B.C.D.
7．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数,则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
8．商后母戊鼎(也称司母戊鼎)是迄今世界上出土最大､最重的青铜礼器,享有“镇国之宝”的美誉.某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品,已知工艺品四足均为圆柱形,圆柱的高为20cm,半径为4cm.中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器,该长方体壁厚3cm,外面部分的长､宽､高的尺寸分别为50cm,35cm,30cm.两耳的总体积与其中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为( )
A.B.
C.D.
9．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,.已知,且,则的值为( )
A.16B.18C.20D.24
10．已知函数的零点为,过原点作曲线的切线,切点为,则( )
A.B.eC.D.
11．已知点P是圆上的动点,以P为圆心的圆经过点,且与圆O相交于A,B两点.则点Q到直线AB的距离为( )
A.B.C.D.不是定值
12．已知,则( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知,,则向量,的夹角的余弦值为__________.
14．已知抛物线上的点P到定点的最小距离为2,则__________.
15．偶函数的定义域为D,函数在上递减,且对于任意a,,,均有,写出符合要求的一个函数为__________.
16．如图,已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切,且球的体积为圆锥体积的一半.若球的半径为1,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题
17．已知为数列的前n项和,且(,d为常数),若,.求:
（1）数列的通项公式;
（2）的最值.
18．为了引导学生阅读世界经典文学名著,某学校举办“名著读书日”活动,每个月选择一天为“名著读书日”,并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况,该校在此活动持续进行了一年之后,随机抽取了校内100名学生,调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量,所得数据如下表:
（1）试通过计算,判断是否有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用;
（2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著,其中4本国外名著,2本国内名著,并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量X,求X的数学期望.
参考公式:,.
临界值表:
19．如图,在三棱锥中,平面ABC,,,D为的中点.
（1）证明:平面PAC;
（2）求平面ACD与平面PBC所成二面角的正弦值.
20．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若在上有零点,求实数a的取值范围.
21．已知椭圆的一个长轴顶点到另一个短轴顶点的距离为,且椭圆的短轴长与焦距长之和为4.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点的直线l与椭圆C相交于M,N两点（异于椭圆长轴顶点）,求(O为坐标原点)面积的最大值,并求此时直线l的方程.
22．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的直角坐标方程为.以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
（1）求椭圆C的一个参数方程和直线l的直角坐标方程;
（2）若P是椭圆C上的任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：由,,有,故选C.
2．答案：B
解析：由,可得复数的实部为3,故选.
3．答案：В
解析：,.
4．答案：C
解析：由题意可知,,,则,所以.
5．答案：B
解析：.
6．答案：C
解析：记两个数为x,y,有,由线性规划和几何概型可知所求概率为.
7．答案：D
解析：因为为奇函数,则,所以,又,所以的最小值为8.
8．答案：A
解析：四足及两耳的体积为,容器部分的体积为,则总体积为.
9．答案：D
解析：因为,所以,由正弦定理可知,,由余弦定理,可得,则.
10．答案：B
解析：,设切点为,则切线方程为,
因为过原点,所以,解得,则,由,可得.
11．答案：A
解析：设,则圆,
整理得,又圆,
两圆方程相减,可得直线AB的方程为,
点Q到直线AB的距离.
12．答案：B
解析：因为,所以,
又,所以.
13．答案：
解析：设夹角为,则.
14．答案：
解析：设,则,则当时,,解得.
15．答案：均可以
解析：因为在上单调递减,又,即满足,故均满足要求.
16．答案：
解析：连接AC,设,则,
又,所以圆锥的底面半径,
圆锥的高,
则该圆锥的体积为,解得,
所以,,即母线长,
所以侧面积.
17．答案：（1）或
（2）见解析
解析：（1）由,得,
由,得,
所以,或,
由得,,此时,;
由得,,此时,,
所以或;
（2）当时,,因为是关于正整数n的增函数,所以为的最小值,无最大值;
当时,,因为n为正整数,所以当或时,有最大值,无最小值.
18．答案：（1）有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用
（2）
解析：（1）由表中数据可知,,
所以有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用;
（2）由题意可知,X的可能取值为2,3,4,5,6,
则,,
,,
所以.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:,,,
,
平面ABC,平面ABC,,
,,,AP,平面PAC,
平面PAC;
（2）以点C为坐标原点,向量方向分别为x,y轴的正方向,过点C且与向量同向的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,各坐标如下:
,,,,.
设平面ACD的法向量为,
由,,有,
取,,,可得平面ACD的一个法向量为.
设平面PBC的法向量为,
由,,有,
取,,,可得平面PBC的一个法向量为.
有,可得,
故平面ACD与平面PBC所成二面角的正弦值为.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）,
①当,即时,时,,为增函数;时,,为减函数;时,,为增函数.
②当时,,故在R上为增函数.
③当时,时,,为增函数;时,,为减函数;时,,为增函数.
（2）当时,,可知:
①当,即时,,为增函数,,
故只须,.
②当时,时,;时,.
故只须满足:,
而,故在上有零点,
综上所述,a的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）
解析:（1）设椭圆的焦距为2c,
由题意有,解得,,,
故椭圆C的标准方程为;
（2）解析:设两点的坐标分别为,直线l的方程为,
联立方程消去x后整理为,
有,,
由,可得或.
由
,
由,当且仅当时等号成立,
可得,
故面积的最大值为,此时直线l的方程为
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）椭圆C的参数方程为(为参数)
直线l的极坐标方程可化为,
可化为,
将,代入可得直线l的直角坐标方程为;
（2）设点P的坐标为,
点P到直线l的距离为,
故d的最大值为.
23．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）不等式可化为.
①当时,不等式可化为,解得,有;
②当时,不等式可化为,解得,有;
③当时,不等式可化为,解得,无解,
由上知不等式的解集为;
（2）由
当时,;
当时,;
当时,,
可得函数的最大值为2.
,当且仅当时取等号,
故有.
多于5本
少于5本
合计
活动前
35
65
100
活动后
60
40
100
合计
95
105
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828