2024年河北省唐山市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，即可得到答案．
【详解】解：
，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
2. 如图，人字梯的支架的长度都为2米，则B，C两点之间的距离可能是（ ）

A. 3米B. 4.2米C. 5米D. 6米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即：，
故选A．
3. 2024年“五一”假期期间，延安红色旅游持续升温，累计接待游客138270000人次．138270000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：；
故选C．
4. 若实数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了，分式的值为零的条件，根据题意得出，，由此即可得出答案，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，是解此题的关键．
【详解】解：实数，满足，
，，
，，
，
无法判断的正负，故A、B不一定成立，
无法判断与12的大小关系，故D不一定成立，
故选：C．
5. 如图，在中，，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，交于点M，N，连接交于点D，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角，三角形的外角．根据作图得到垂直平分，进而得到，得到，再根据三角形的外角的性质，即可得出结果．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴；
故选D．
6. 如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“□”的个数为（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答．
【详解】解：设1个“”， “”，“”的质量分别为，
∴，
∴，
∴，
即：与1个“”质量相等的“”的个数为2；
故选C．
7. 如图，在矩形中，动点，分别从点，同时出发，沿，向终点，移动．要使四边形为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是（ ）
甲：点，的运动速度相同；
乙：
A. 甲、乙都可行B. 甲、乙都不可行
C. 甲可行，乙不可行D. 甲不可行，乙可行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加甲，根据题意可知，从而推出，，然后根据平行四边形的判定定理进行判断即可；添加乙，根据可证，知道，从而推出，然后结合矩形对边平行，即可判断．
【详解】若添加甲条件，可证四边形为平行四边形，理由如下：
四边形是矩形
，
又点，分别从点，同时出发且运动速度相同
即
四边形为平行四边形；
若添加乙条件，可证四边形为平行四边形，理由如下：
四边形是矩形
，，，
在和中
即
四边形为平行四边形．
故选A．
8. 某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是（ ）
A. 17B. 18C. 19D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据中位数确定未知数的值，由题意，可知，将数据从小到大排序后，第29个数为7，当第29个数据为中位数时，x的值最小，进行求解即可．
【详解】解：∵7是这一天加工零件数的中位数，
由题意可知：将数据排序，第个数据为7，
∴当第29个数据为中位数时，x的值最小，此时数据总数为：，
∴x的最小值是：，
故选C．
9. 一条灌溉水渠的部分如图所示，已知从B处沿北偏西方向到C处，段与段的夹角，则E处相对于C处的方向是（ ）
A. 北偏东B. 北偏东C. 北偏西D. 北偏西
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查与方向角有关的计算，平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，求出的度数即可．
【详解】解：如图，由题意，得：，
∴；
∴E处相对于C处的方向是北偏东；
故选B．
10. 设n为正整数，且，则n的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，再进行无理数的估算，即可得出结果．
【详解】解：，
∵，即：，
∴，
∴，
故选B．
11. 两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（ ）
A. B. （3，4）C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接，先证明是等边三角形，得到，再求出，得到A、C、D三点共线，求出，得到，则，再由，可得．
【详解】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵正六边形的一个内角度数为，
∴，
∴，
∴A、C、D三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确求出的长是解题的关键．
12. 有12个棱长相等小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体粘合成的下列几何体中，能够和这个几何体拼成一个长方体的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查立体图形．将图形进行翻折逐一判断即可．
【详解】解：将A选项中的几何体向后面连续翻折两次即可原图组成一个长方体．
故选：A．
13. 一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，则的值总能（ ）
A. 被3整除B. 被9整除C. 被10整除D. 被11整除
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，求出的值，因式分解后，进行判断即可．
【详解】解：由题意，
，
∴的值总能被11整除；
故选D．
14. 如图，RtABC中，,，D、E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP=∠ABP，则PE=（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，进而根据三角形中位线定理求得，根据已知条件可知是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可求得．
【详解】 RtABC中，，
由勾股定理得：
，
分别为的中点，
，
，
，
∠EAP=∠ABP，
，
，
是直角三角形，
为的中点，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得是解题的关键．
15. 如图1，动点P从点A出发，在边长为1的小正方形组成的网格平面内运动．设点P经过的路程为s，点P到直线l的距离为d，已知d与s的关系如图2所示．则下列选项中，可能是点P的运动路线的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象分析点P与直线l的距离，由此得到答案．
【详解】解：由图象得，
当时，点P与直线l的距离始终是1，即点P沿着平行于直线l的线段运动1个单位长度，四个图均符合；
当时，点P与直线l的距离由1增加到3，且是匀速运动，即点P距直线l为3个单位长度，图B不符合；
当时，点P与直线l的距离始终是3，即点P沿着平行于直线l的线段运动1个单位长度，图A，C，D均符合；
当时，点P与直线l的距离由3减小为2，即点P距直线l为2个单位长度，图C符合；
故选：C．
【点睛】此题考查了识别函数图象，正确理解理解函数图象并得到相应的信息是解题的关键．
16. 如图，在中，为斜边上任一点，作经过点C，且与边相切于点D的．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）
结论Ⅰ：若的圆心O落在边上，则的半径为；
结论Ⅱ：当与直线有另一交点E，与直线交于另一点F时，点E，F之间的最小距离为．
A. Ⅰ和Ⅱ都对B. Ⅰ和Ⅱ都不对C. Ⅰ不对Ⅱ对D. Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】A
【解析】
【分析】当圆心在上，连接，则，由切线的性质得，由，求得，再证明，得，求得，则，所以，于是得到问题的答案；
作于点，连接、、，由，求得，由，可知是的直径，则，因为，所以，当，且的值最小时，则的值最小，即可求得的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，圆心在上，连接，则，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
，
，
，
，
解得：，
∴的半径长为．
如图，作于点，连接、，
，
，
解得，
，
∴是的直径，
，
，
，
∴当，且的值最小时，则的值最小，
，
，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】此题重点考查切线的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17. 已知整数m同时满足下列两个条件，写出一个符合条件的m的值：________．
①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于2且小于6
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查有理数的分类，在数轴上表示有理数，绝对值的意义，根据题意，得到，写出一个符合条件的一个m的值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴符合条件的m的值可以为；
故答案为：（答案不唯一）
18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到．
（1）的面积为________；
（2）阴影部分的面积为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查借助网格求面积，平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键：
（1）借助网格求面积即可；
（2）设与的交点为，与的交点为，根据平移的性质，推出，进行求解即可．
【详解】解：（1）的面积为：；
故答案为：；
（2）设与的交点为，与的交点为，
根据格点可得，四边形是矩形，对角线交于点，，的顶点均在格点上，
∴点G和点H是两个相邻格点的中点
∴，，
由平移的性质可知，，
∴，
，
，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为：．
19. 如图，的直角顶点C的坐标为，顶点A，B在直线上，且轴，双曲线（k为常数，）位于第一象限．
（1）当G经过点B时，点A________（填“在”或“不在”）G上；
（2）若点是线段AB上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），双曲线G使这六个点分布在它的两侧，且两侧的点的个数比为，则k的取值范围为________．

【答案】 ①. 不在 ②. 且
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图像综合问题：
（1）先求出点A、B坐标，可得双曲线解析式，再代入点A的横坐标坐标计算即可得到答案；
（2）先求出各点的坐标，双曲线两边分别有2个点和4个点，根据k值越大，双曲线开口越大，找到当双曲线经过点之间时，取得最小值，当双曲线经过点之间时，取得最大值，并排除双曲线过时的情形，然后联立求出k的取值范围．
【详解】解：（1）的直角顶点C的坐标为，轴，
则轴，
∴设点，
∵顶点A，B在直线上，
将代入得，
点A的坐标为，
令，解得，
点B的坐标为，代入，得，
双曲线G的解析式为，
当时，，
点A不在双曲线G上，
故答案为：不在；
（2）点是线段上横坐标为整数的点（不与点A，B重合），
分别为、、、、、，
由图可知，在第一象限，k值越大，双曲线图像越远离x轴而越接近y轴，即开口越大，
当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有4个点，此时k取得最小值；
当时，有，即；
当双曲线经过点之间时，双曲线的一侧有、2个点，另一侧有 4个点，此时，此时k取得最大值；
当时，有，即；
但双曲线不能过，此时有一个点在双曲线上不满足两侧的点的个数比为的条件，即，；
综上，k的取值范围为且，
故答案为：且．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 嘉嘉、淇淇和小明在操场上一起玩丢沙包游戏，每人丢6次，落到A区域一次得3分，落到B区域一次得分，设每次沙包都落到这两个区域．嘉嘉、淇淇的6次落点如图所示．

（1）求嘉嘉和淇淇的最后得分；
（2）若小明丢的沙包有m次落在A区域，且最后得分比嘉嘉和淇淇的分数和还高，求m的最小值．
【答案】（1）3，
（2）3
【解析】
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据得分规则，列出算式进行计算即可；
（2）根据题意，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：嘉嘉得分为：；
淇淇得分为：；
【小问2详解】
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴m的最小值为3．
21. 某校开展劳动实践活动，九（1）班分到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的矩形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形．设长为米，长为y米．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）九（1）班的小明同学说：“矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0.”请你判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）
（2）他的说法正确．理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据长方形的周长公式解答即可；
（2）用含的代数式分别表示出矩形的长和宽，根据长方形的面积公式写出其面积表达式；利用作差法判断两个面积的大小即可．
本题考查一元二次方程的应用、矩形和正方形的性质，掌握矩形和正方形的性质及其周长和面积公式、二次函数求最值的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据长方形的周长公式，得，即，
关于的函数表达式为．
【小问2详解】
解：他的说法正确．理由如下：
，
，
，
，，
，
，
，
．
即矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0．
22. 某学校在开展“节约每一滴水”活动中，从九年级学生中任选出10名学生，收集了他们各自家庭最近一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示．
（1）求这10名学生这个月平均每个家庭的节水量；
（2）若要从节水量是1.5吨的甲、乙、丙、丁4人中任选两人分享节水心得，补全如图所示的树状图，并求恰好选中乙和丁的概率．

【答案】（1）1.2吨
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查求平均数，利用树状图法求概率：
（1）根据平均数的计算方法进行求解即可；
（2）补全树状图，利用概率公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：（吨）；
【小问2详解】
补全树状图如图：

共有12种等可能的结果，其中选中乙和丁的情况有2种，
∴．
23. 一个工件槽的两个底角，点A，B的初始高度相同，尺寸如图1所示（单位：），将一个形状规则的铁球放入槽内，测得球落在槽内的最大深度为（E为球的最低点）．

（1）求该铁球的半径；
（2）如图2，将这个工件槽的右边升高（）后，求该平面图中铁球落在槽内的弧的长度．（参考数据：，，）
【答案】（1）铁球的半径为
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，垂径定理结合勾股定理，进行求解即可；
（2）连接过点作，勾股定理求出的长，进而求出，得到，进而求出，再利用弧长公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：连接，交于点，

由题意，得：，
∴，
设铁球的半径为，则：，，
由勾股定理，得：，即：，
解得：；
∴铁球的半径为；
【小问2详解】
连接过点作，则：，，

在中，由勾股定理，得：，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长度为．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求弧长等知识点，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24. 某科学研究实验基地内装有一段长的笔直轨道，现将长度为的金属滑块在上面往返滑动一次．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点A重合，当滑块右端到达点B时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点A重合，滑动停止．设滑动时间为时，滑块左端离点A的距离为，右端离点B的距离为．
（1）当时，的值为 ；
（2）记，d与t具有函数关系．已知整个滑动过程总用时（含停顿时间）．
①滑块返回速度为 ；
②滑块从点B到点A的滑动过程中，求d与t的函数解析式（不写t的取值范围）；
③若，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）①6；②；③的值为6或18
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答中用的线段的和差关系，列代数式，理解题意，弄清数量关系是解题的关键；
（1）先求出从点到点的速度所用的时间，再根据速度，路程，时间的关系即可求出答案；
（2）①先求出从点B到点A所用的时间，再根据速度，路程，时间的关系即可求出答案；
②根据再根据速度，路程，时间的关系即可求出答案；
③分两种情况，即时，时，分别表示出，再利用列方程求出的值即可．
【小问1详解】
解： ∵轨道长为，长度为的滑块从点到点的速度为，
∴从点到点的速度所用的时间为，
∴当时，滑块右端刚好与点重合，，
答：当时，的值为；
【小问2详解】
①∵整个过程用时，当滑块右端与点重合时，滑块停顿，
∴从点B到点A所用的时间为，
∴滑块返回的速度为，
②分析可得：，
故当滑块从右向左滑动，即时，
，
；
③当时，显然停顿时不满足，所以分两种情况：
当滑块从左向右滑动，即时，．
即，解得；
当滑块从右向左滑动，即时，
即，
解得：．
综上所述，的值为6或18．
25. 如图1，在中，，，为锐角，且．动点P从点A出发，沿边向点C运动，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段．
（1）点B到的距离为 ；
（2）当时，求的长；
（3）如图2，当时，求的值；
（4）若点P的运动速度为每秒1个单位长，直接写出点Q在区域（含边界）内的时长．
【答案】（1）8 （2）或10
（3）2 （4）
【解析】
【分析】（1）过点作，在中，利用锐角三角函数，求出的长即可；
（2）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可；
（3）过点作，延长交的延长线于点，证明，根据，设，得到，，平行得到，进而得到，求出的值，再利用正切的定义求解即可；
（4）求出点在上和在上时值，即可得出结果．
【小问1详解】
解：过点作，
在，，，
∴，
∴到的距离为；
【小问2详解】
∵，
∴，
在中，，
在中，
当在点下方时：，
当在点上方时：；
综上：或10；
【小问3详解】
过点作，延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问4详解】
当点在上时，则：，
由（1）知：，
∴，
∴秒；
当点在上时，过点作，过点作，则：，
由（1）知：，则：，
∴，
同法（3）可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴秒，
∴点Q在区域（含边界）内的时长为秒．
【点睛】本题考查解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．
26. 如图，抛物线L：与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．
备用图
（1）写出抛物线的对称轴，并求a的值；
（2）平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N（点M在点N的左边），交线段于点R．当R为线段的中点时，求点N的坐标；
（3）将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线L平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线L平移的最短路程；
（4）P是抛物线L上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m．过点P作轴于点Q，E为y轴上的一点，纵坐标为．以为邻边构造矩形，当抛物线L在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）直接写出对称轴，待定系数法求出的值即可；
（2）求出直线的解析式，根据对称性求出点坐标，进而得到点的纵坐标，代入二次函数解析式，求解即可；
（3）求出线段的三等分点的坐标，用待定系数法可得抛物线平移后的解析式，从而可得评议前后两函数顶点之间的距离，即可得出答案；
（4）分两种情况：当时，点在点上方，结合图象求出，当 时，点在点上方，结合图象求出，即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线L：与x轴交于A，两点，
∴对称轴为直线，，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
∵平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N，
∴关于直线对称，
∵R为线段的中点，
∴的横坐标为，
把代入，得：，
∴，
∵轴，
∴，
把代入，得：，
解得：或，
∵点在点的右侧，
∴点的横坐标为；
【小问3详解】
∵，，
∴将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得，，
∴线段的两个三等分点坐标为，，
设平移后的抛物线解析式为，
∵抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，
∴，
解得，
∴平移后的抛物线解析式为，其顶点为，
而抛物线的顶点为，
∴平移前，后抛物线的顶点之间的距离为，
∴抛物线平移的最短路程为；
【小问4详解】
∵轴，
∴ ，
当时，点在点上方，
∵，
∴，解得，
∵，
∴；
当时，点在点上方，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
综上所述：的取值范围是或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图形和性质，二次函数图象的平移，矩形的性质等知识点，综合性强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．节水量/吨
0.5
1
1.5
2
人数/人
2
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4
1