2024年湖北省荆楚联盟中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．考生答题全部在试题卷上．
2．请学生将自己的姓名、班级用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在试卷的密封区．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1. 若收入6元记为，则支出5元记为（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解题的关键．利用相反意义量的定义，即可获得答案．
【详解】解：若收入6元记为，则支出5元记为．
故选：D．
2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
4. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【详解】解：A．原计算错误，该选项不符合题意；
B．原计算错误，该选项不符合题意；
C．原计算错误，该选项不符合题意；
D．正确，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式、合并同类项、单项式的乘法和除法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
5. 一次数学测试中，某小组的名同学的成绩分数如下：．则这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【详解】将数据重新排列为75，75，79，82，82，82，,94，
所以这组数据的众数为83，中位数为82，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，先求出点P的坐标，再根据两直线的交点的横纵坐标即为两直线解析式联立得到的二元一次方程组的解进行求解即可．
【详解】解：把代入中得，，
∴
∵在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，
∴关于x，y的方程组的解为，
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：A．
7. 如图，已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于，两点；②作直线交于点；③以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接．若，则的长为（ ）

A. 4B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握基本作图、理解题意是解题的关键．根据作图可知垂直平分，，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由作图可得，垂直平分，
∴，，
又∵以点为圆心，长为半径画弧交于点，
∴，
∴在中，．
故选：D．
8. 如图，已知，正五边形的顶点，在射线上，顶点在射线上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题、三角形外角的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据正多边形的性质解得，然后在中，由三角形外角的定义和性质求解即可．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
9. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为（ ）
A. B. C. D. 2.4m
【答案】B
【解析】
【分析】由得，在中，根据三角函数的定义求出的长，即可得的长．在中，根据三角函数的定义即可求出的长．
本题主要考查了利用三角函数定义解直角三角形，熟练掌握是解题的关键．
【详解】，
，
在中，，
，，
，
，
在中，，
，
故选：B．
10. 抛物线（为常数，）经过点，抛物线的对称轴为，点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②；③一元二次方程的两个根为和；④若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据题意可得，，即可判断结论①；当时，可有，即可判断结论②；将方程整理为，求解即可判断结论③；结合函数图像，可知当时，可有，当时，可有，即可判断结论④．
【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为，且，
∴该抛物线与轴的另一交点为，
∴可有，，
∴，，故结论①错误；
当时，可有，故结论②正确；
∵，，
∴方程，
∵，
∴方程可整理为，
解得和，故结论③正确；
如下图，
∵，
∴该抛物线开口向下，
若，
则当时，可有，
当时，可有，
∴，故结论④正确．
综上所述，结论正确的有3个．
故选：C．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件可得，求解即可获得答案．
【详解】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴，解得．
故答案为：．
12. 设，是方程的两个实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识，正确求得，是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系，可解得，，再将转化为，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
13. 腹有诗书气自华，最是书香能致远．为开展好读书活动，某校计划购买一批课外读物．为了解学生对课外读物的需求情况，学校随机抽取了部分学生进行了一次“我最喜欢的课外读物”的调查（设置了“文学”、“科技”、“历史”、“艺术”、“哲学”和“其他”六个类别，规定每人必须只能选择其中的一个类别），将调查结果进行了统计分析，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
该校共有学生1500人，请根据以上统计分析，估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生约有_________人．
【答案】360
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键．首先求得此次随机调查的学生总数，再计算选择“科技”的学生人数，然后利用学生总人数参与调查的学生中选择“科技”的学生占比，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，此次随机调查的学生总数为人，
∴选择“其他”的学生人数为人，
选择“科技”的学生人数为人，
∴估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生约有人．
故答案为：360．
14. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有圆材埋壁中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材埋在墙壁中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深1寸（即DE＝1寸），锯道长1尺（即弦AB＝1尺），问这块圆形木材的直径是多少？”该问题的答案是_____（注：1尺＝10寸）
【答案】26寸
【解析】
【分析】延长ED，交⊙O于点C，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝5寸，设圆形木材半径为r，可知OD＝r﹣1，OA＝r，根据OA2＝OD2+AD2列方程求解可得．
【详解】延长ED，交⊙O于点C，连接OA，
由题意知CE过点O，且OE⊥AB，
则AD＝BD＝AB＝5（寸），
设圆形木材半径为r，
则OD＝r﹣1，OA＝r，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
解得r＝13，
所以⊙O的直径为26寸，
故答案为26寸．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．
15. 如图，已知，，，点，分别是边上动点，满足．连接，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，故当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，然后求解即可．
【详解】解：如下图，过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴当取最小值时，
可有，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值运算、乘方运算、二次根式运算、化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则和性质是解题关键．首先根据乘方运算法则、二次根式的性质、绝对值的性质、含特殊角的三角形函数值进行运算，然后根据实数混合运算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
17. 如图，，，与交于点，．
求证：．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】利用HL证明△ABC≌△BAD，得出对应角相等∠DAB=∠CBA，证出OA=OB，由等腰三角形的判定方法得出OA=OB，即可得出结论．
【详解】∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠D=∠C=90°，△ABC、△BAD都是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵，∴△ABC≌△BAD（HL），∴∠DAB=∠CBA，∴OA=OB．
∵AD=BC，∴OC=OD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
18. 为开展好“每天锻炼一小时”体育活动，学校准备购进一批排球和篮球．已知2个排球和1个篮球共需220元，1个排球和3个篮球共需410元．求一个排球和一个篮球的售价各是多少元？
【答案】一个排球的售价是50元，一个篮球的售价是120元．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设一个排球的售价是元，一个篮球的售价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案．
【详解】解：设一个排球的售价是元，一个篮球的售价是元，
根据题意，可得，
解得．
答：一个排球的售价是50元，一个篮球的售价是120元．
19. 养成卫生好习惯，共享健康好生活．为落实开展好爱国卫生运动，某社区决定组织进行系列清扫活动，参加人员从社区自愿报名的人员中随机抽取．报名参加第一次清扫活动的有4名学生，这4名学生分别记为甲、乙、丙、丁．
（1）如果需从这4名学生中随机抽取1名学生，求出抽到学生甲的概率；
（2）如果需从这4名学生中随机抽取2名学生，请用列表或画树状图的方法，求出抽到学生丙和丁的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单概率计算以及列举法求概率，正确作出树状图是解题关键．
（1）根据简单概率计算公式求解即可；
（2）根据题意作出树状图，根据树状图即可获得答案．
【小问1详解】
解：根据题意，从这4名学生中随机抽取1名学生，
则抽到学生甲的概率为；
【小问2详解】
根据题意，作出树状图如下，
由树状图可知，共计有12种等可能结果，其中抽到学生丙和丁的结果有2种，
∴抽到学生丙和丁的概率为．
20. 如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为．
（1）求的值；
（2）点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围．
【答案】（1）4 （2）或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
（1）首先根据一次函数解析式确定的值，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入，即可求得的值；
（2）首先求得点的坐标，根据，转化为，结合函数图像，直接求解即可．
【小问1详解】
解：将点代入直线，
可得，
∴，
将点代入双曲线，
可得，解得，
即的值为4；
【小问2详解】
如下图，
∵，，
∴当时，可有，
即，
联立直线与双曲线，
可得，解得或，
∴，，
∴结合图像可知，当时，或．
21. 如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于，交于，点为的中点．
（1）求证：；
（2）若的半径为2，，求弦的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，结合切线的性质可得，即有，再根据垂径定理可得，易得，然后证明，即可证明结论；
（2）连接，，过点作于点，首先证明为等腰直角三角形，易得，再证明，易得，利用三角函数分别求得，的值，即可获得答案．
【小问1详解】
证明：如下图，连接，
∵为切线，为半径，
∴，
∴，
∵点为中点，为半径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如下图，连接，，过点作于点，
∵，的半径为2，
∴，，
∴，
∵点为的中点，为直径，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、垂径定理、含30度角的直角三角形、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．
22. 阳光超市购进了一批某种商品，进价为30元/件．超市先进行了10天试销，第一天销售单价为50元/件，以后每天销售单价均涨价1元/件，日销售量（件）与时间（天）（即第天）的具体情况记录如下：
设该商品的销售单价为元/件，日销售利润为元．
（1）与的函数关系是我们学过的某个函数类型，请直接写出与的函数解析式；
（2）求试销的第6天，该商品的日销售利润是多少？
（3）超市销售该商品为了获得最大利润，请根据这10天的试销情况，通过计算说明，你认为该商品的销售单价应定为多少？
【答案】（1）
（2）1450 （3）57
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用等知识，正确理解题意是解题关键．
（1）由表格数据可知，与为一次函数关系，利用待定系数法求解即可；
（2）分别求得试销的第6天，该商品的售价和销量，即可获得答案；
（3）根据题意求得日销售利润和时间之间的函数关系，利用二次函数的性质可确定试销的第8天，该商品可获得最大利润，即可获得答案．
【小问1详解】
解：由表格数据可知，与为一次函数关系，
可设与的函数解析式为，
将，代入，
可得，解得，
∴与的函数解析式为；
【小问2详解】
根据题意，该商品的销售单价元，
∴试销的第6天，该商品的售价为元，
又∵试销的第6天的销量为58件，
∴试销的第6天，该商品的日销售利润为元；
【小问3详解】
根据题意，第天，该商品的日销售利润
，
，
∴当时，即试销的第8天，该商品可获得最大利润，
此时，该商品的销售单价元．
23. 如图1，已知正方形，点E是边上一点，连接，交于点K，且，连接交于点H．交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）如图2，当点E为的中点时，求的值；
（3）的值是否为定值？如是，请直接写出这个定值；如不是，也请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）不是定值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意证明出，即可得到；
（2）设，则，表示出，过点F作，证明出四边形是正方形，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，表示出，，然后代入求解即可．
（3）设，，同（2）的方法根据题意表示出，，，，进而代入求解即可．
【小问1详解】
∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴；
【小问2详解】
∵点E为的中点
∴设，则
∵
∴，
∴
如图所示，过点F作
∵，
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，
∴
∴；
【小问3详解】
设，
由（2）得，，，，
∵
∴，即
解得
∴
∴
∵点E在上的位置不确定，
∴的值不是定值．
【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
24. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．过点，作直线．
（1）直接写出结果： ， ，直线的解析式为 ．
（2）如图2，点是抛物线在第四象限的一动点，其横坐标为．
①当点关于直线的对称点恰好在轴上时，求点的坐标；
②直线是抛物线的对称轴，过点作轴的平行线，与直线和轴分别交于点，．过点作直线的垂线，与直线和轴分别交于点，，连接．当时，求的值．
【答案】（1），，
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）首先利用待定系数法解得抛物线解析式，进而确定点坐标，然后求得直线的解析式即可；
（2）连接，结合轴对称的性质可得，易知轴，故点的纵坐标和点的纵坐标相同，然后求解即可；②设交轴于点，过点作于点，过点作于点，易知，证明、、均为等腰直角三角形，可得，，，证明，由相似三角形的性质可得，再在中，可得，由勾股定理可得关于的一元二次方程，求解即可获得答案．
【小问1详解】
解：将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线解析式为，
当时，可有，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为．
故答案为：，，；
【小问2详解】
①如下图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点和点关于直线对称，点恰好在轴上，
∴，
∴，即轴，
∴点的纵坐标和点的纵坐标相同，为，
∴此时可有，解得（舍去）或，
∴；
②如下图，设交轴于点，过点作于点，过点作于点，
对于抛物线，其对称轴为，
∵点是抛物线在第四象限的一动点，其横坐标为，且轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴、、均为等腰直角三角形，
∴，，，
∵点为抛物线对称轴上一点，
∴，
∴，，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
又∵，
∴可有，即，
整理可得，
解得或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，综合性强，熟练运用相应知识是解题关键．
时间（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
日销售量（件）
68
66
64
62
60
58
56
54
52
50