2024年四川省达州市达川区九年级教育质量监测（中考适应性 ）数学试题（中考适应性 +中考适应性 ）

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温馨提示：
1．答卷前，请务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在答题卡上．
2．每小题答案请写在答题卡上对应题号的位置．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题4分，共40分）
1. 如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图为：

故选C．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．
2. 这四个数中，最大的数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的比较大小，根据绝对值的定义化简，再根据“正数负数”即可得出答案．
【详解】解：，
，
即在这四个数中，最大的数是．
故选：C．
3. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用..解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，利用相似三角形的性质解题.
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：
解得
即蜡烛火焰的高度是.
故选:A.
4. 已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图和菱形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：①∵四边形为平行四边形，
∴，，
根据作图可知，垂直平分，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故①符合题意；
②根据作图可知，平分，但不能判定四边形为菱形，故②不符合题意；
③根据作图可知，，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，故③符合题意；
④根据作图可知，不一定垂直平分，四边形不一定为菱形，故④不符合题意；
综上分析可知，正确只有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的基本作图，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定．
5. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.

C.
D.

【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示解集，先求出一元一次不等式组的解，然后在数轴上表示出来，即可．
【详解】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
．
故选：D．
6. 如图，在平面直角坐标系中，有三点， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．过作交延长线于，计算出、的长，根据余弦计算方法计算即可．
【详解】解：过作交延长线于，
，，，
，
，，
，
，
故选：．
7. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根和系数的关系，勾股定理，完全平方公式的变形运算，由菱形的面积为得，根据根和系数的关系得，利用勾股定理和完全平方公式的变形运算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，
则，
∴，
∵菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴菱形的边长，
故选：．
8. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 同旁内角互补，两直线平行B. 若，那么
C. 若，则D. 等边三角形的三个内角都相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查逆命题、平行线的性质、开平方、等边三角形的判定与性质，能写出一个命题的逆命题是解题的关键．
【详解】解：A. 逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
B. 若那么，或，是假命题；
C. 若，则，是真命题；
D. 三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题；
故选B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，等边，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是确定所在的象限．
每旋转次，A的对应点又回到x轴负半轴上，故在第一象限，且边长为，由此求解即可．
【详解】∵
∴
∵每次旋转
∴每6次旋转
因为 余,
∴点在射线上，
因为每次旋转时，三角形的边扩大为原来的倍,
所以第次旋转所得三角形的边长为，
过点作轴于点H，
∴，
，
故点的坐标为
故选:D.
10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象得，，，即得，即可判断；根据对称轴及图象过点，得，，即可判断；由点是图象上任意两点，且，得点离对称轴近，点离对称轴远，再结合，即可判断；求出抛物线与轴的另一个交点，由可得方程的所有整数根为，即可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，，，，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，
∴，故正确；
∵点是图象上任意两点，且，
∴点离对称轴近，点离对称轴远，
∵，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴抛物线为轴的另一个交点为，
∵，
∴方程的所有整数根为，
∴所有整数根的绝对值的和为，故错误；
∴正确的结论有，共个，
故选：．
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题：把最后答案直接填在题中的横线上（本题5小题，每小题4分，共20分）
11. 函数中，自变量的取值范围是________．
【答案】x≤2且x≠－3．
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】根据题意得：2－x≥0且x+3≠0，
解得：x≤2且x≠－3，
故答案为：x≤2且x≠－3．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 在第46个国际博物馆日来临之际．中国国家博物馆推出了丰富多彩的“云上观展”活动．观众有机会在屏幕上欣赏国博140万余件藏品的真容，将140万用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：140万用科学记数法表示为．
故答案为：．
13. 如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得___________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，已知，以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在反比例函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移d个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，d的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握各个性质是解本题的关键．
根据三角形全等得出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定点的坐标和点的坐标，即可确定出的值．
【详解】如图，过点作轴,交轴于点,过作轴, 过点作于点,
∵,
，
∵四边形为正方形，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
∴，
把坐标代入反比例函数解析式得：
∴反比例函数解析式为
同理可证
，
∴,
把代入反比例函数解析式，解得：
即的坐标为，
则将正方形沿轴负方向平移个单位长度，使点恰好落在函数的图象上的点处,
∴
故答案为:．
15. 如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，得到，证明，得，再由当时，有最小值，求出，得，继而得到，过点作于点，求出，最后根据三角形面积公式计算可得结论．
【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵当时，有最小值，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴当线段的长度最小时，的面积为．
故答案为：．

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（90分）
16. （1）计算（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+2sin60°；
（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【答案】（1）5；（2），﹣2．
【解析】
【分析】(1)根据三角函数值、零次幂的运算法则计算即可．
(2)先将分式化简,再将x＝﹣1代入求解即可．
【详解】(1)(﹣)﹣2﹣(π﹣3)0+|﹣2|+2sin60°
＝
＝
＝5；
(2)
＝
＝
＝
＝
＝,
当x＝﹣1时,原式＝．
【点睛】本题考查三角函数与零次幂的混合运算、分式的化简求值,关键在于熟练掌握基础运算方法．
17. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了_______名学生；
②A组人数_______，扇形统计图中，圆心角_______度；
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）①；②，；
（2）该校参加D组（阅读）的学生人；
（3）树状图见解析，（恰好抽中甲、乙两人）．
【解析】
【分析】（1）①利用组人数除以组所占百分比即可解题；
②利用组所占百分比得到组人数，再得到组人数，从而得到组所占百分比，利用其所占百分比乘以即可解题；
（2）利用总人数乘以组所占比，即可解题；
（3）根据题意画出树状图，然后求概率即可．
【小问1详解】
解：①由图可知，（人），
②组人数为（人），
（人），
，
故答案为：①；②；；
【小问2详解】
解：人，
答：该校参加D组（阅读）的学生人；
【小问3详解】
解：由题意可画树状图如下：
共有12中等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
（恰好抽中甲、乙两人）．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体，画树状图求概．从条形统计图，扇形统计图中获取正确的信息是解题的关键．
18. 如图，在中，，点E在线段上，连结．
（1）用尺规完成以下基本作图，过点E作的垂线交于点F、交于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若点F为线段的中点，证明：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，菱形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键.
（1）利用基本作图作于；
（2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到四边形是菱形，根据菱形的性质即可得到结论.
【小问1详解】
如图, 为所作；
【小问2详解】
证明：连接,
，点为线段的中点，
∴垂直平分,
，
，
∵四边形是平行四边形，
∴,
，
，
∴,
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形,
，
．
19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移个单位长度得到，请画出；
（2）画出与关于点对称的；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转过程中点到点所经过的路径长度．
【答案】（1）作图见详解
（2）作图见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据图示，可知各点的坐标，向右平移个单位长度，则各点的坐标的横坐标加，由此得到对应点的坐标，连接各点即为所有图形；
（2）由（1）可知各点的坐标，关于原点对称的点，则对称图形的坐标变为原来坐标的相反数，由此得到对应图形点的坐标，连接各点即为所求图形；
（3）根据各点坐标的特点与各点的特点，以及旋转的性质，即可求出对应点的弧长．
【小问1详解】
解：根据图示可知，，，，向右平移个单位长度得，
∴，，，如图所示，连接点，
∴即为所求图形．
【小问2详解】
解：∵中点，，，关于原点对称得，
∴，，，如图所示，连接，
∴即为所求图形．
【小问3详解】
解：∵中，，，中点，，，如图所示，连接对应点，交于点，如图所示，
当绕点顺时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为；
当绕点逆时针旋转时，点到点所经过的路径长为半圆，且半径为，
∴，
∴点到点所经过的路径长．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，图形结合，理解并掌握平移，对称，旋转的性质，弧长的计算公式是解题的关键．
20. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端到底盘距离的长；
（2）求的长．
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，
（1）根据即可求解；
（2）利用，先求出，再利用，求出，问题随之得解．
【小问1详解】
在中，，．
，
，
即的长为米；
【小问2详解】
在中，，，
，
，
，
，
，
（米），
即的长为米．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C，已知点的坐标分别为和．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题关键．
（1）利用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数解析式；
（2）求出点的坐标，根据图象求解即可；
（3）根据图象求出，再根据，求出，即可求出．
【小问1详解】
解：∵直线过点.
∴,
∴,
∴一次函数的解析式为，
∵反比例函数的图象过点,
∴,
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
把代入, 得,
∴点B的坐标为,
观察图象，不等式 的解集为或；
【小问3详解】
把代入得: ,
即点的坐标为:,
，
，
，
，
当点的纵坐标为时，则，解得，
当点的纵坐标为时, 则 解得
∴点的坐标为或
22. 某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
（1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
（2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
（3）因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
【答案】（1）甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元
（2）总利润的最大值为元
（3）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键．
（1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，总利润为，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次函数的性质，进行求解，即可；
（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：，
解得：（舍去）或，
经检验：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元；
【小问2详解】
设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒，
由题意，得：，
解得：，
∴的最大整数解为：35，
设总利润为，则：，
∴当时，有最大值：；
故总利润的最大值为元．
【小问3详解】
设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，
由题意，得：，
解得：，
∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，
∴，
整理，得：，
∵均为正整数，
∴或，
∴或．
23. 如图，在中，，点D在边上，且是外接圆，是的直径，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键.
（1）根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到根据圆周角定理得到得到于是得到结论；
（2）作垂足为点，证明 ∽由相似三角形的性质得出求出的长，证明得出 ，则可求出答案.
【小问1详解】
证明： ∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
作， 垂足为点，
，
，
，
，
，
即，
又，
∴，
，
，
，即，
，
，
，
，
．
24. 已知抛物线与x轴相交于点），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使？若存在，直接写出Q点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或一或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据 的周长等于以及为定长，得到当的值最小时， 的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：得到当三点共线时,，进而求出点坐标，即可得解；
（3）求出点坐标为,进而得到得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可.
小问1详解】
∵抛物线 与轴相交于点
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
在 当时, ，
∴,
∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线
的周长等于，为定长,
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
，
，
∴当三点共线时, 的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
∴直线的解析式为
当 时，
，
∴，
，
；
【小问3详解】
当点在点下方时：
过点作, 交抛物线于点, 则此时点纵坐标为，
设点横坐标为，
则: 解得：，
或；
②当点在点上方时：设与轴交于点,
，
设,

，
解得：
，
同理可得DE的解析式为 ，
联立
解得： 或
或 ；
综上：或一或或
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题.
25. 综合与实践，在中，为边的中点，以为顶点作．
（1）如图，当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，则图中与相似的三角形有_______．（填序号）
；；；．
（2）如图，将绕点沿逆时针方向旋转，分别交线段于点，（点与点不重合），求证：．
（3）在图中，若，当的面积等于的面积的时，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；
（）利用已知首先求出，即可得出，得到，进而得到，得出，即可得到；
（）连接，过点作，，垂足分别为，首先利用的面积等于的面积的，求出的面积，再根据等面积法求出的长，最后根据三角形的面积即可求解；
本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵为边的中点，
∴，，，
∴，
在和中，只有，故无法判断相似，不符合题意；
∵，，
∴，故符合题意；
∵，，
∴，故符合题意；
∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，故符合题意；
∴图中与相似的三角形有，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，过点作，，垂足分别为
∵，是的中点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．