广东省汕头市潮阳第一中学2023-2024学年高二下学期数学期中考试题

这是一份广东省汕头市潮阳第一中学2023-2024学年高二下学期数学期中考试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， ， 则集合的真子集个数为（ ）
A . 2 B . 3 C . 4 D . 8
2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A . B . C . D .
3. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A . 是函数的最小值 B . 是函数的极值 C . 在区间上不单调 D . 在处的切线的斜率大于0
4. 已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37， ， 40，50；乙组：24， ， 33，44，48，52．若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则（ ）
A . 60 B . 65 C . 70 D . 75
5. 已知 ， 则=（ ）
A . B . C . D .
6. 某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（ ）
A . 14种 B . 24种 C . 36种 D . 50种
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为 ， P为椭圆上一点，且 ， 若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ）
A . B . C . D .
8. 设 ， ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.(共3题；共18分)
9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A . B . 只有第4项的二项式系数最大 C . 若展开式中各项系数之和为64，则 D . 若 ， 则展开式中常数项为15
10. 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ）
A . 直线与所成角的正切值为 B . 三棱柱外接球的半径为 C . 平面截正方体所得截面为等腰梯形 D . 点到平面的距离为
11. 已知函数 ， 其中 ， 则（ ）．
A . 不等式对恒成立 B . 若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是 C . 方程恰有3个实根 D . 若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为
13. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为.
14. 在中， ， 点Q满足 ， 则的最大值为.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出说明、证明过程或必要的演算步骤.(共5题；共77分)
15. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边长依次是a ， b ， c ， ， ．
（1） 求角B的大小；
（2） 若AD是∠BAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长．
16. 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．
（1） 求证：平面BCD⊥平面ACE；
（2） 若 ， ， ， 求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
17. 已知数列的首项 ， 且满足.
（1） 判断数列是否为等比数列；
（2） 若 ， 记数列的前项和为 ， 求.
18. 已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为. E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.
（1） 求双曲线C的标准方程；
（2） 过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M ， N两点，且 ， 是否存在m ， n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.
19. 已知函数.
（1） 当时，求的极值；
（2） 当时，求在上的最小值；
（3） 若在上存在零点，求的取值范围.