广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 (1)

这是一份广东省深圳市福田中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 (1)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 已知i为虚数单位， ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A . 若 则 B . 若 ， ，则 C . 若 ， ，则 D . 若 ， ，则
3. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
4. 已知向量 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
5. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为 ， 则向量与向量的夹角为（ ）
A . 30° B . 60° C . 90° D . 120°
6. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，且 ， 则该棱台的体积为（ ）
A . B . C . D .
7. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足 ， 设 ， 若 ， 则（ ）
A . B . C . D .
8. 已知直三棱柱外接球的直径为 ， 且 ， ， 则该棱柱体积的最大值为（ ）
A . B . C . D .
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 已知关于的方程的两根为和 ， 则（ ）
A . B . C . D .
10. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内，如果四边形是边长为2的正方形，则（ ）
A . 异面直线AE与DF所成角的大小为 B . 平面平面 C . 此八面体一定存在外接球 D . 此八面体的内切球表面积为
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ， 且 ． 以下命题正确的有（ ）
A . 若 ， 则M为的重心 B . 若M为的内心，则 C . 若 ， ， M为的外心，则 D . 若M为的垂心， ， 则
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.(共3题；共15分)
12. 在中，内角的对边分别是 ， 且 ， 平分交BC于 ， ， ， 则的面积为.
13. 如图所示，在直三棱柱中， ， ， ， 点是线段上的一动点，则线段的最小值为．
14. 如图，在矩形中， ， 点分别在线段上，且 ， 则的最小值为．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题:本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 如图，在四棱锥中， ， ， ， 平面⊥平面.
（1） 求证：；
（2） 设 ， 求三棱锥的体积.
16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形， ， 点分别为和的中点.
（1） 求证：平面；
（2） 求证：平面平面；
17. 记的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为.已知.
（1） 求；
（2） 若点在边上，且 ， ， 求周长.
18. 在中，角的对边分别为 ， 已知.
（1） 若 ， 求外接圆面积；
（2） 若为锐角三角形，求的取值范围.
19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点. 试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为 ， 且
（1） 求；
（2） 若 ， 设点为的费马点，求；
（3） 设点为的费马点， ， 求实数的最小值.