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广东省东莞市2023-2024学年高三上学期数学大湾区数学冲刺卷1（新高考1卷）试卷
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这是一份广东省东莞市2023-2024学年高三上学期数学大湾区数学冲刺卷1（新高考1卷）试卷，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。(共8题；共40分)
1. 若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
2. 若复数满足， ， 则复数的虚部为（ ）
A . B . C . D .
3. 已知在平行四边形中， ， ， ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
4. 已知点 ， 直线与轴相交于点 ， 则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A . B . C . D .
5. 设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（ ）
A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
6. 已知函数 ， 若函数有三个不同的零点 ， ， 则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
7. 正方形的边长为12，其内有两点、 ， 点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）
A . B . C . D .
8. 若存在实数 ， 对任意实数 ， 使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
二、多选题（共20分）(共4题；共20分)
9. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A . 这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B . 这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱 C . 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差 D . 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值
10. 已知函数 ， 且对恒成立，则（ ）
A . B . 的图象关于点对称 C . 若方程在上有2个实数解，则 D . 的图象与直线恰有5个交点
11. 已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，焦距为 ， P是双曲线右支上任意一点，过点P分别作两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别相交于点A ， B ， O是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A . 双曲线的方程为 B . 双曲线的离心率为 C . 的面积为定值 D . 的最小值为
12. 已知函数 ， 下列结论中正确的是（ ）
A . 函数恒有个极值点 B . 当时，曲线在点处的切线方程为 C . 若函数有个零点，则 D . 若过点存在条直线与曲线相切，则
三、填空题（共20分）(共4题；共20分)
13. 写出一个正整数 ， 使得的展开式中存在常数项：．
14. 若数列满足 ， （ ， ），则的最小值是.
15. 已知为等腰三角形，其中 ， 点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C ， 则椭圆E的离心率的值为.
16. 已知函数 ， 若集合中恰有3个元素，且它们的和为0，则实数的取值集合是．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（共70分）(共6题；共70分)
17. 在中， ．
（1） 求C；
（2） 若 ， 求的最小值．
18. 已知等比数列的前项和为 ， 公比.
（1） 求；
（2） 若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
19. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F ， G为的中点， ， .
（1） 求证：平面；
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
20. 品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为 ， 并令 ， 称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.
（1） 当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；
（2） 当时，
①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.
21. 已知椭圆的离心率为 ， 椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线与椭圆C交于A ， B两点，且与x轴，y轴交于M ， N两点.
（1） 求椭圆C的标准方程；
（2） 若 ， 求k的值；
（3） 若点Q的坐标为 ， 求证：为定值.
22. 设函数（e为自然对数的底数），函数与函数的图象关于直线对称．
（1） 设函数 ， 若时，恒成立，求m的取值范围；
（2） 证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数．
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。(共8题；共40分)
1. 若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
2. 若复数满足， ， 则复数的虚部为（ ）
A . B . C . D .
3. 已知在平行四边形中， ， ， ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
4. 已知点 ， 直线与轴相交于点 ， 则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A . B . C . D .
5. 设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（ ）
A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
6. 已知函数 ， 若函数有三个不同的零点 ， ， 则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
7. 正方形的边长为12，其内有两点、 ， 点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）
A . B . C . D .
8. 若存在实数 ， 对任意实数 ， 使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
二、多选题（共20分）(共4题；共20分)
9. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A . 这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B . 这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱 C . 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差 D . 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值
10. 已知函数 ， 且对恒成立，则（ ）
A . B . 的图象关于点对称 C . 若方程在上有2个实数解，则 D . 的图象与直线恰有5个交点
11. 已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，焦距为 ， P是双曲线右支上任意一点，过点P分别作两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别相交于点A ， B ， O是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A . 双曲线的方程为 B . 双曲线的离心率为 C . 的面积为定值 D . 的最小值为
12. 已知函数 ， 下列结论中正确的是（ ）
A . 函数恒有个极值点 B . 当时，曲线在点处的切线方程为 C . 若函数有个零点，则 D . 若过点存在条直线与曲线相切，则
三、填空题（共20分）(共4题；共20分)
13. 写出一个正整数 ， 使得的展开式中存在常数项：．
14. 若数列满足 ， （ ， ），则的最小值是.
15. 已知为等腰三角形，其中 ， 点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C ， 则椭圆E的离心率的值为.
16. 已知函数 ， 若集合中恰有3个元素，且它们的和为0，则实数的取值集合是．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（共70分）(共6题；共70分)
17. 在中， ．
（1） 求C；
（2） 若 ， 求的最小值．
18. 已知等比数列的前项和为 ， 公比.
（1） 求；
（2） 若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
19. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F ， G为的中点， ， .
（1） 求证：平面；
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
20. 品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为 ， 并令 ， 称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.
（1） 当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；
（2） 当时，
①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.
21. 已知椭圆的离心率为 ， 椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.已知直线与椭圆C交于A ， B两点，且与x轴，y轴交于M ， N两点.
（1） 求椭圆C的标准方程；
（2） 若 ， 求k的值；
（3） 若点Q的坐标为 ， 求证：为定值.
22. 设函数（e为自然对数的底数），函数与函数的图象关于直线对称．
（1） 设函数 ， 若时，恒成立，求m的取值范围；
（2） 证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数．
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