湖南省岳阳市四校联考2023-2024学年七年级下学期数学期中试题

这是一份湖南省岳阳市四校联考2023-2024学年七年级下学期数学期中试题，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）(共10题；共30分)
1. 下列计算正确的是（ ）
A . B . C . D .
2. 下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（ ）
A . B . C . D .
3. 下列各方程组中，是二元一次方程组的是( )
A . B . C . D .
4. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A . B . C . D .
5. 如果是二元一次方程，则 ， 的值为（ ）
A . 3，4 B . 4，3 C . 2，2 .0，1
6. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是（ ）
A . 1或5 B . 1 C . D . 7或
7. 如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（ ）

① ②
A . B . C . D .
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折后再量木条，木条还剩余1尺，木条长多少尺？这个问题的答案是（ ）
A . 6尺 B . 6.5尺 C . 10.5尺 D . 11尺
9. 的计算结果的个位数字是（ ）
A . 8 B . 6 C . 2 D . 0
10. 对x、y定义一种新运算T ， 规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如： ，
若 ， ， 则下列结论正确的有（ ）个．① ， ；②若 ， 则；③若 ， 则m、n有且仅有3组整数解；
A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）(共8题；共64分)
11. 计算：．
12. 已知是方程的解，则的值是．
13. 多项式的公因式是．
14. 若 ， 则．
15. 光的速度约为 ， 太阳光照到地球上要 ， 那么太阳与地球的距离为（用科学记数法表示）．
16. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文 ， 对应的密文为 ， ． 例如，明文1，2对应的密文是 ， 4．当接收方收到密文是 ， 7时，解密得到的明文是．
17. 已知是的一个因式，则．
18. 我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为．
…
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题，每小题6分，第21、22题，每小题8分，第23、24题，每小题9分，第25、26题，每小题10分，共66分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）(共8题；共66分)
19. 解下列方程组：
（1）
（2）
20. 把下列各式因式分解：
（1）
（2）
21. 先化简，再求值： ， 其中 ， ．
22. 甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的 ， 解得 ， 乙看错②中的 ， 解得 ， 试求的值.
23.
（1） 已知 ， ， 的值是多少？
（2） 已知 ， ， 求与的值．
24. 湘西自治州风景优美，物产丰富，一外地游客到某特产专营店，准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产，若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元．
（1） 请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格；
（2） 该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需多少元？
25. 七年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式 ．
对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
（1） 请用分组分解法将因式分解；
（2） 请用分组分解法将因式分解；
（3） 若 ， ， 请用分组分解法先将因式分解，再求值．
26. 把形状、大小完全相同，长为 ， 宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 ， 宽为 ， 且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示．（点为右上角四边形顶点，点为左下角四边形顶点）

图① 图② 图③
（1） 图②中阴影部分的周长为（用含 ， 的式子表示）；
（2） 图③中，若 ， 请直接写出 ， 的长（用含 ， 的式子表示）；
（3） 若图②中阴影部分的面积为480， ， 且 ， 在（2）的条件下，求图③中的长．