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四川省成都市第七中学2024届高三下学期5月模拟考试数学（理）试题（Word版附答案）
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这是一份四川省成都市第七中学2024届高三下学期5月模拟考试数学（理）试题（Word版附答案），共13页。试卷主要包含了已知向量，则，下列大小关系正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则（ ）
A.52 B.-43 C.-10 D.76
3.如图，已知是全集，是的三个子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，直角梯形中，且，以为轴旋转一周，形成的几何体中内接正四棱台的最大体积为（ ）
A. B. C.7 D.
7.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱.某团队耗时3个多月做出一长达180米､重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作.则所有鳞片中竹质鳞片个数为（ ）
A.120 B.124 C.128 D.130
8.有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数的值域是，则下列命题错误的是（ ）
A.若，则不存在最大值
B.若，则的最小值是
C.若，则的最小值是
D.若，则的最小值是
10.若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点为，直线且交于两点，直线分别与的准线交于两点，（为坐标原点），下列选项正确的有（ ）
A.且
B.且，
C.且
D.且
12.三棱堆各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.
A.①②都是真命题
B.①是真命题，②是假命题
C.①是假命题，②是真命题
D.①②都是假命题
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.设随机变量服从正态分布，若，则__________.
除以1000的余数是__________.
15.将数据排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，最下面一行有个）则数阵中所有数据的和为__________.
16.如图所示，已知满足为所在平面内一点.定义点集，若存在点，使得对任意，满足恒成立，则最大值为__________.
三､解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17.在中，角所对的边长分别为且.
（1）求角的值；
（2）若的面积为1，求周长的最小值.
18.如图，在四棱台中，底面是边长为2的正方形，.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
19.甲､乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜负､按主､客场制先进行两场比赛，若某一队在前两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；否则，需在中立场进行第三场比赛，其获胜方为冠军､假定甲队在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为，在第三场比赛中获胜的概率为，且每场比赛的胜负相互独立.
（1）已知甲队获得冠军，求决赛需进行三场比赛的概率；
（2）比赛主办方若在决赛的前两场中共投资（千万元），则能盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且比赛主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能盈利（千万元）.若比赛主办方准备投资一千万元，以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
20.平面直角坐标系中，动点在圆上，动点（异于原点）在轴上，且，记的中点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的动直线与交于两点.问：是否存在定点，使得为定值，其中分别为直线的斜率.若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
21.若函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，讨论函数零点个数；
（3）当时，证明：
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线方程为，曲线参数方程为为参数，曲线方程为，曲线与曲线分别交于两点.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）求的取值范围.
23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）记函数的最大值为，若，求的最小值.
成都七中高2024届高三下5月数学理科测试题答案
一､选择题
二､填空题
13. 14.24 15. 16.3
三､解答题
17.解（1）由已知得，
即，因为，所以，
所以为内角，.
（2），则.
且，
当且仅当时，即时，等号成立.
当且仅当时，取等号.周长最小值为.
18.解：（1）由棱台定义可知与共面，且平面平面.
又平面平面，平面平面
所以.连接交于点，则为中点.因为，
所以.所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）在正方形中，，又，所以平面.
因为平面，所以，在中，
所以在中，，所以
所以.以为原点，分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
所以.
设平面的法向量为､则即倍
令，则，所以，又因为平面的法向量
所以所以平面与平面所成角余弦值为
法2：（1）将棱台补形成棱锥，由棱台定义知平面平面.
又平面平面，平面平面，所以.
连接交于点，则为中点.又，所以，所以为中点，
所以为的中位线，所以又平面平面，所以平面
（2）在正方形中，，又，所以平面.
因为平面，所以在Rt中，，
所以，在中，，所以，所以
连接交于点，连接交于点，则为平面与平面的交线，设交于点：
由，有，同理，所以，所以平面，
又平面平面，所以，
所以为平面与平面的夹角.
由得，
所以.在Rt中，
所以.所以平面与平面夹角的余弦值为.
19.解：（1）由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场，
所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场，设甲获得冠军时，
比赛需进行的场次为，则，
又，所以甲获胜的概率为，
所以已知甲队获得冠军，决赛需进行三场比赛的概率
（2）由题可得，所以比赛结束需进行的场次即为，则，设决赛总盈利为，则，
所以决赛总盈利为的分步列如下，
所以，
所以，当即时，
二次函数有最大值
20.解：（1）设点因为，所以.
由为中点得代入，得.
所以动点的轨迹的方程为.
（2）法1：存在满足题意，证明如下：依题意直线的斜率存在且不为0，设的方程：.
没联立得
则①直线方程化为
联立，得则②
依题意：
.
依题意直线与坐标轴不平行，又为定值，
所以.由.③
.④由③④得或，
代入③得或或所以或或满题意
法2：存在满足题意，证明如下：依题意直线的斜率存在且不为0，设的方程：.
设，联立得
因为为上式的两根，则①
直线方程化为.联立，得
因为为上式的两根，则.②
依题意：
下同方法一
21.解（1）
在处的切线方程为
（2）由题知
令得即
令时，或1当时，单调递增时，单调递减时，单调递减时，单调递增
时，时，时，当时，无零点，或或时，有一个零点或有两个零点时，有三个零点.
（3）法一：即证
令
令，得且单调递增
时，单调递减时，单调递增
最小值为得即
令
单调递增且
时，单调递减时，单调递增
在时最小为即
又时，
即
法二：当时证：即证
即令
则
在单调递增而
当时，单调递减时，单调递增原不等式成立.
22.解：（1）因为，所以曲线的极坐标方程为，即，由（为参数），消去，
即得曲线的直角坐标方程为，
将，代入化简，可得曲线的极坐标方程为.
（2）曲线的极坐标方程为.由（1）得，即因为，所以，所以23.解：（1）当时，由，得，所以；
当时，由，得，所以；
当时，由，得，无解.
综上可知，，即不等式的解集为
（2）因为，所以函数的最大值.
因为，所以.
又，所以，
所以，即.所以有.
又，所以或（舍去），
，即的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
D
C
A
B
B
D
C
B
A
1
+
0
-
-
0
+
极大值
极小值
1.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，则（ ）
A.52 B.-43 C.-10 D.76
3.如图，已知是全集，是的三个子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（ ）
A. B. C. D.
5.下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，直角梯形中，且，以为轴旋转一周，形成的几何体中内接正四棱台的最大体积为（ ）
A. B. C.7 D.
7.风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.因龙被视为中华古老文明的象征，再加上大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴而广受喜爱.某团队耗时3个多月做出一长达180米､重约20公斤，“龙身”共有140节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定鳞片骨架按图中规律创作.则所有鳞片中竹质鳞片个数为（ ）
A.120 B.124 C.128 D.130
8.有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数的值域是，则下列命题错误的是（ ）
A.若，则不存在最大值
B.若，则的最小值是
C.若，则的最小值是
D.若，则的最小值是
10.若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点为，直线且交于两点，直线分别与的准线交于两点，（为坐标原点），下列选项正确的有（ ）
A.且
B.且，
C.且
D.且
12.三棱堆各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.
A.①②都是真命题
B.①是真命题，②是假命题
C.①是假命题，②是真命题
D.①②都是假命题
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.设随机变量服从正态分布，若，则__________.
除以1000的余数是__________.
15.将数据排成如图的三角形数阵，（第一行一个，第二行两个，最下面一行有个）则数阵中所有数据的和为__________.
16.如图所示，已知满足为所在平面内一点.定义点集，若存在点，使得对任意，满足恒成立，则最大值为__________.
三､解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17.在中，角所对的边长分别为且.
（1）求角的值；
（2）若的面积为1，求周长的最小值.
18.如图，在四棱台中，底面是边长为2的正方形，.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
19.甲､乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜负､按主､客场制先进行两场比赛，若某一队在前两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；否则，需在中立场进行第三场比赛，其获胜方为冠军､假定甲队在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为，在第三场比赛中获胜的概率为，且每场比赛的胜负相互独立.
（1）已知甲队获得冠军，求决赛需进行三场比赛的概率；
（2）比赛主办方若在决赛的前两场中共投资（千万元），则能盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且比赛主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能盈利（千万元）.若比赛主办方准备投资一千万元，以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
20.平面直角坐标系中，动点在圆上，动点（异于原点）在轴上，且，记的中点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的动直线与交于两点.问：是否存在定点，使得为定值，其中分别为直线的斜率.若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
21.若函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，讨论函数零点个数；
（3）当时，证明：
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线方程为，曲线参数方程为为参数，曲线方程为，曲线与曲线分别交于两点.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）求的取值范围.
23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）记函数的最大值为，若，求的最小值.
成都七中高2024届高三下5月数学理科测试题答案
一､选择题
二､填空题
13. 14.24 15. 16.3
三､解答题
17.解（1）由已知得，
即，因为，所以，
所以为内角，.
（2），则.
且，
当且仅当时，即时，等号成立.
当且仅当时，取等号.周长最小值为.
18.解：（1）由棱台定义可知与共面，且平面平面.
又平面平面，平面平面
所以.连接交于点，则为中点.因为，
所以.所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）在正方形中，，又，所以平面.
因为平面，所以，在中，
所以在中，，所以
所以.以为原点，分别以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
所以.
设平面的法向量为､则即倍
令，则，所以，又因为平面的法向量
所以所以平面与平面所成角余弦值为
法2：（1）将棱台补形成棱锥，由棱台定义知平面平面.
又平面平面，平面平面，所以.
连接交于点，则为中点.又，所以，所以为中点，
所以为的中位线，所以又平面平面，所以平面
（2）在正方形中，，又，所以平面.
因为平面，所以在Rt中，，
所以，在中，，所以，所以
连接交于点，连接交于点，则为平面与平面的交线，设交于点：
由，有，同理，所以，所以平面，
又平面平面，所以，
所以为平面与平面的夹角.
由得，
所以.在Rt中，
所以.所以平面与平面夹角的余弦值为.
19.解：（1）由于前两场对于比赛双方都是一个主场一个客场，
所以不妨设甲队为第一场为主场，第二场为客场，设甲获得冠军时，
比赛需进行的场次为，则，
又，所以甲获胜的概率为，
所以已知甲队获得冠军，决赛需进行三场比赛的概率
（2）由题可得，所以比赛结束需进行的场次即为，则，设决赛总盈利为，则，
所以决赛总盈利为的分步列如下，
所以，
所以，当即时，
二次函数有最大值
20.解：（1）设点因为，所以.
由为中点得代入，得.
所以动点的轨迹的方程为.
（2）法1：存在满足题意，证明如下：依题意直线的斜率存在且不为0，设的方程：.
没联立得
则①直线方程化为
联立，得则②
依题意：
.
依题意直线与坐标轴不平行，又为定值，
所以.由.③
.④由③④得或，
代入③得或或所以或或满题意
法2：存在满足题意，证明如下：依题意直线的斜率存在且不为0，设的方程：.
设，联立得
因为为上式的两根，则①
直线方程化为.联立，得
因为为上式的两根，则.②
依题意：
下同方法一
21.解（1）
在处的切线方程为
（2）由题知
令得即
令时，或1当时，单调递增时，单调递减时，单调递减时，单调递增
时，时，时，当时，无零点，或或时，有一个零点或有两个零点时，有三个零点.
（3）法一：即证
令
令，得且单调递增
时，单调递减时，单调递增
最小值为得即
令
单调递增且
时，单调递减时，单调递增
在时最小为即
又时，
即
法二：当时证：即证
即令
则
在单调递增而
当时，单调递减时，单调递增原不等式成立.
22.解：（1）因为，所以曲线的极坐标方程为，即，由（为参数），消去，
即得曲线的直角坐标方程为，
将，代入化简，可得曲线的极坐标方程为.
（2）曲线的极坐标方程为.由（1）得，即因为，所以，所以23.解：（1）当时，由，得，所以；
当时，由，得，所以；
当时，由，得，无解.
综上可知，，即不等式的解集为
（2）因为，所以函数的最大值.
因为，所以.
又，所以，
所以，即.所以有.
又，所以或（舍去），
，即的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
D
C
A
B
B
D
C
B
A
1
+
0
-
-
0
+
极大值
极小值
