数学（三）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略（原卷版+解析版）

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图形的初步认识 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题01
三大几何变换 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 48
三角形 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 102
图形的相似 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 161
锐角三角函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题217
图形的初步认识
从题型来看，主要会以选择题和填空题的形式出现，毕竟这种基础知识点，考查的就是学生的掌握程度，题目不会太难。当然，也不能掉以轻心，有时候也会出一些稍微灵活一点的题目，需要学生结合其他知识点进行解答。
在内容上，可能会涉及到图形的性质、分类、以及基础的几何变换等等。
Ⅰ、线段、射线、直线
一、线段
1.线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.
2.线段的特征：有两个端点，有长度，无方向.
3.线段的表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA；
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图2所示，记作：线段a.
4.线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短.
5.线段没有方向，但线段的延长线和反向延长线是有方向的，如“线段AB的延长线”和“线段BA的延长线”表示的方向是不同的.（延长线一般用虚线）.
6.线段的中点：如图所示，点C把线段AB分成两条相等的线段AC和CB，点C就叫做线段AB的中点.
（1）线段的中点只有一个，且线段的中点一定在这条线段上；
（2）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC，；反过来，若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点（点C可能在线段AB外）.
二、射线
1.射线的概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点.
2.射线的特点：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长，可以向一个方向无限延伸.
3.射线的表示方法：
（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图1所示，可记为射线AB；
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，也可记为射线a.
在用两个大写字母表示射线时，两个字母的顺序不能写反了，首字母表示射线的端点；端点不同，所表示的射线也不同.
若一条直线上有n个点，则有2n条射线，其中有（2n－2）条射线可以用表示这些点的字母表示出来.
三、直线
1.直线：把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.
直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述；
直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量.
2.直线的表示方法：
（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)；
（2）直线也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线a.
3.直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线.
4.点与直线的位置关系
（1）点在直线上，如图1所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A；
（2）点在直线外，如图2，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B.
5.线段、射线、直线的区别与联系
四、线段的画法及长短比较
1.尺规作图：在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
2.画一条线段等于已知线段
（1）可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段；
（2）如图所示，先用直尺画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段使其等于已知线段.
3.线段长短的比较
（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短；
（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.
Ⅱ、角
一、角
1.静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
2.动态定义：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边.
3.平角与周角
平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
PS：平角的两边成一条直线，但不能说平角就是直线；
4.两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.
5.角的表示方法
PS：在初中阶段，若没有特殊说明，默认的角都是小于平角的角.
二、角的度量单位和换算
1.角的度量单位：度、分、秒是常用的的角的度量单位，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，把1°的角60等分，每一份就是1′的角，把1′的角60等分，每一份就是1″的角.
2.角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
3.角的度量方法：最常用的度量角的工具是量角器，用量角器度量角时要注意三点：
（1）对中：顶点对准量角器的中心；
（2）重合：一边与量角器的零刻度线重合；
（3）读数：读出另一边所在线对应的度数.
三、比较角的大小
1.度量法：先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小；
2.叠合法：把两个角的顶点和一条边分别叠合在一起，且使另一条边在重合边的同侧，然后通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.
四、角的和、差
1.两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差；
2.在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60.
五、角的画法
1.用量角器画：用量角器可以画出大小在0°到180°之间的任何角.
画角时，先画一条射线，然后让射线与量角器的0°线重合，射线端点与量角器中心重合，在画角处画一个点，再过射线端点和这个点画一条射线，即可得到所要的角.
2.用三角尺画：一副三角尺有30°，45°，60°，90°的角，能用三角尺画15°的整数倍的角.
3.用圆规和直尺作一个角等于已知角
（1）如图1所示，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
（2）画一条射线O’A’，以点O’为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；
（3）以点C’为圆心，CD长为半径画弧，交前一个弧于点D’；
（4）过点D’画射线O’B’，则∠A’O’B’就是与∠AOB相等的角.
六、角的平分线
如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线.
PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线.
如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部；
六、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.
1.正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
2.方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
3.在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
4.图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点.
Ⅲ、余角、补角、对顶角
一、余角和补角
1.余角：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角.
2.补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角.
互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关.
，
.
（1）互余、互补指的是两个角之间的数量关系，它们是成对出现的，单独一个角不能说互余或互补；
（2）若互余，则，若互补，则；
（3）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角，另一个是钝角；
（4）钝角没有余角；
（5）一个角的余角（补角）可以有多个，且度数都是相等的.
二、余角和补角的性质
1.余角的性质：同角（等角）的余角相等；
2.补角的性质：同角（等角）的补角相等；
3.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.
三、对顶角
1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.
如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角.
（1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点；
（2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角.
2.对顶角的性质：对顶角相等.
对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角.
Ⅳ、平行
一、平行的概念及表示
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2.表示方法：如图所示，两条直线平行，记作a∥b或AB∥CD，读作“a平行于b”或“AB平行于CD”.
同一平面内不想交的两条直线互相平行，空间里不想交的直线不一定是平行线.
3.平行线须满足的条件：①直线，②在同一平面内，③不想交.
4.同一个平面内，两条直线的位置关系有两种，平行或相交.
5.平行线的一个基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
由基本事实可以推出下面的结论成立：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
二、利用直尺和三角尺画平行线
过直线外一点画已知直线的平行线的步骤：
1.落：将三角尺一边落在已知直线上；
2.靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；
3.推：将三角尺沿直尺的边推到原来与已知直线重合的边恰好经过已知点的位置；
4.画：沿三角尺的这一边画直线.
PS：推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确.
Ⅴ、垂直
一、垂线的概念及表示
1.垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段）
2.垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
3.表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足.
4.两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”.
5.线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直.
二、垂线的画法
如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线.
三、垂线的结论
1.基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.垂线段及其性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短.
3.点到直线的距离
如图所示，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，上图中，线段AB的长度就是点A到直线l的距离.
4.已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.
5.连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.
6.点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，并不是垂线段.
Ⅵ、直线平行的条件与性质
一、认识同位角、内错角、同旁内角
两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，如图所示：
1.同位角：如图所示，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角，
位置特征：在两条被截直线同一方，在截线同侧；
图形结构特征：形如字母“F”（或倒置、反置、旋转）.
2.内错角：如图所示，像∠7与∠2这样的一对角称为内错角；
位置特征：在被截的两条直线之间，在截线两旁（交错）；
图形结构特征：形如字母“Z”（或倒置、反置、旋转）.
3.同旁内角：如图所示，像∠7与∠6这样的一对角称为同旁内角；
位置特征：在被截的两条直线之间，在截线同侧；
图形结构特征：形如字母“U”（或倒置、反置、旋转）.
PS：（1）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系是不确定的；
（2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，都没有公共顶点，“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
二、两条直线平行的条件
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）.
除了 三个判定方法外，我们还可以通过平行线的定义（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线），平行的传递性（平行于同一条直线的两条直线互相平行）来进行判定.
三、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
PS：只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补.
四、平行线的判定与性质的区别
从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.
1．（2023•北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（ ）
A．36°B．44°C．54°D．63°
【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣36°
＝54°．
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出∠COD的度数．
2．（2023•重庆）如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据平行线的性质，可以求得∠BAC+∠1＝180°，然后根据∠1的度数和AD⊥AC，即可得到∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠1＝180°，
∵∠1＝55°，
∴∠BAC＝125°，
∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西70°方向B．南偏东20°方向
C．北偏西20°方向D．北偏东70°方向
【分析】根据题意可得：∠ABC＝70°，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠ABC＝∠DCB＝70°，从而根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝70°，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向，
故选：D．
【点评】本题考查了方向角的定义，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
4．（2023•山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥OF，
∴∠1+∠OFB＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠OFB＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
5．（2023•苏州）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ）
A．连接AB，则AB∥PQB．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQD．连接AD，则AD⊥PQ
【分析】根据平行的本质是平移，将线段AB、线段BC平移至线段PQ上，若重合则平行，若不重合则不平行．延长线段DB、线段DA与线段PQ相交，观察所成的角是否为直角判定是否垂直．
【解答】解：连接AB，将点A平移到点P，即为向上平移3个单位，将点B向上平移3个单位后，点B不在PQ直线上，
∴AB与PQ不平行，选项A错误，
连接BC，将点B平移到点P，即为向上平移4个单位，再向右平移1个单位，将点C按点B方式平移后，点C在PQ直线上，
∴BC∥PQ，选项B正确，
连接BD、AD，并延长与直线PQ相交，
根据垂直的意义，BD、AD与PQ不垂直，
选项C、D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了学生在网格中的数形结合的能力，明确平行的本质是平移，将线段平移后观察是否重合从而判定是否平行是解决本题的关键．
6．（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 ．
【分析】根据邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD QUOTE ∠BOC＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023•阜新）将一个三角尺（∠A＝30°）按如图所示的位置摆放，直线a∥b，若∠ABD＝20°，则∠α的度数是 ．
【分析】根据题意求出∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∠DBC＝60°﹣20°＝40°，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵三角尺（∠A＝30°），
∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝60°﹣20°＝40°，
∴∠BDC＝50°，
∵直线a∥b，
∴∠α＝∠BDC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2023•威海）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝ °．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠POB＝∠OBD＝90°，那么∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝60°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OAC＝∠AOP＝60°．
【解答】解：∵BD∥PQ，
∴∠POB＝∠OBD＝90°，
∵∠AOB＝150°，
∴∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝150°﹣90°＝60°，
∵AC∥PQ，
∴∠OAC＝∠AOP＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
1．（2023•香洲区校级一模）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中∠α与∠β相等（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023•涟源市一模）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（ ）
A．西北方向B．北偏西30°C．北偏西60°D．西偏北60°
3．（2023•兰溪市模拟）“直角”在几何学习中无处不在，如图图中的∠AOB一定是直角的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
4．（2024•霍邱县模拟）将一副三角板ADE和ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在BC上．若AE∥BC，则∠BAD的度数是（ ）
A．72°B．75°C．60°D．65°
5．（2023•凤凰县模拟）如图，直线AB∥CD，∠C＝45°，AE⊥CE，则∠1＝ ．
6．（2023•涪城区模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿着BD翻折，使点A落在点A′处，且A'D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝ °．
7．（2023•前郭县二模）如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到△BC′D，C'D与AB交于点E，若∠1＝25°，则∠2的度数为 ．
8．（2023•本溪二模）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边AD上，且DE＝3AE，点F是边AB上的一动点，连接CF，以CF为斜边在CF的上方作等腰直角△CFG，连接EG，则线段EG的最小值为 ．
1．（2024•南宁模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
2．（2024•冠县一模）汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是（ ）
A．第一次左拐45°，第二次右拐135°
B．第一次左拐45°，第二次左拐135°
C．第一次左拐45°，第二次左拐45°
D．第一次左拐45°，第二次右拐45°
3．（2024•武汉模拟）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝36°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为（ ）
A．71°B．72°C．54°D．53°
4．（2023•雨山区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（ ）
A． QUOTE B．1C． QUOTE D． QUOTE
5．（2024•南山区一模）将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC＝ ．
6．（2024•金平区校级一模）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，则∠BAF＝ ．
7．（2023•柯城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 ．
8．（2023•洞头区二模）图1是一种双层电脑支架实物图，图2是其示意图，B，F，H为固定点，支杠CF，HG可分别绕着点F，H旋转，点C，G分别在AB，BD上移动．AB＝BD＝25cm，CF＝BF＝10cm，HG＝16cm，当支点C与点A的距离为9cm时，则点D到AB的距离为 cm，此时，再移动支点G，当点F与点G重合时，D、E两点的水平距离是垂直距离的两倍，则DH＝ cm．
1．已知∠AOB＝60°，自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝1：4，那么∠BOC的度数是（ ）
A．48°B．45°C．48°或75°D．45°或75°
2．如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）
A．北偏东70°B．北偏东75°C．南偏西70°D．南偏西20°
3．如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCB的度数是（ ）
A．55°B．70°C．60°D．35°
4．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
5．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，则∠α的度数为 ．
6．如图，m∥n，∠1＝110°，∠2＝100°，则∠3＝ °．
7．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝α，∠BAC＝β，AM∥CB，则∠MAC是 ．（用含α，β的式子表示）
8．如图1，AB∥CD，E为AB与CD之间的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与CD相交于点F．
（1）求证：∠1+∠2＝90°．
（2）如图2，E为AB上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请写出正确结论并证明．
（3）如图3，E为AB下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出正确结论．
1．（2023•香洲区校级一模）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中∠α与∠β相等（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：A、∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余，不符合题意；
B、根据同角的余角相等，∠α＝∠β，且∠α与∠β均为锐角，符合题意；
C、∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余，不符合题意；
D、∠α+∠β＝180°，互补，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
2．（2023•涟源市一模）如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方位角是（ ）
A．西北方向B．北偏西30°C．北偏西60°D．西偏北60°
【分析】根据方向角的定义可得：∠AOC＝30°，然后利用角的和差关系可求出∠BOC＝60°，从而根据方向角的定义，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠AOC＝30°，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC＝∠BOA﹣∠AOC＝60°，
∴OB的方位角是北偏西60°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
3．（2023•兰溪市模拟）“直角”在几何学习中无处不在，如图图中的∠AOB一定是直角的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
【分析】根据判定直角的条件，4个图分别分析判断即可．
【解答】解：
①∵三条边分别为3、4、5，32+42＝52，根据勾股定理的逆定理，
∴△AOD为直角三角形，
∴∠AOB是直角．
故①符合题意．
②∵直径所对应的圆周角是直角，
∴∠AOB是直角．
故②符合题意．
③设两弧交于点D．连接，CD、BD．
∵CA＝CD，
∴点C在AD的垂直平分线上；
又∵BA＝BD，
∴点B也在AD的垂直平分线上．
∴BC是AD的垂直平分线．
∴∠AOB是直角．
故③符合题意．
④设两弧交于点D．连接CD、ED、AE．
∵根据作图可知，DC＝DE，CA＝CE，
∴点D在CE的垂直平分线上，但点A不一定在CE的垂直平分线上，
∴∠AOB不一定是直角．
故④不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角的概念，如何判定一个角是不是直角．
4．（2024•霍邱县模拟）将一副三角板ADE和ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，一直角顶点D落在BC上．若AE∥BC，则∠BAD的度数是（ ）
A．72°B．75°C．60°D．65°
【分析】先利用平行线的性质可得∠C＝∠EAC＝30°，从而利用角的和差关系可得∠CAD＝15°，然后再利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∵∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝15°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠BAD＝∠CAB﹣∠CAD＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2023•凤凰县模拟）如图，直线AB∥CD，∠C＝45°，AE⊥CE，则∠1＝ 135° ．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠AFC的度数，再根据三角形的外角和内角的关系，即可得到∠1的度数．
【解答】解：延长CE交AB于点F，如图所示：
∵AB∥CD，∠C＝45°，
∴∠AFC＝∠C＝45°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠1＝∠AEF+∠AFC＝90°+45°＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，运用平行线的性质，利用数形结合的思想解答．
6．（2023•涪城区模拟）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿着BD翻折，使点A落在点A′处，且A'D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB＝75°，则∠C＝ 80 °．
【分析】先由平行线性质得：∠A′＝∠CBE，再由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∠BC'E＝∠C，则∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，由三角形内角和定理知∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝180°，而∠C'EB＝75°，可求得∠C+∠DBE＝105°，然后由∠A+∠C+∠ACB＝180°，则∠C+4∠DBE＝180°，即可求出∠C度数．
【解答】解：∵A′D∥BC，
∴∠A′＝∠CBE，
由折叠可得：∠A＝∠A'，∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，∠BC'E＝∠C，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBE＝∠CBE，
∵∠BC'E+∠C'EB+∠DBE＝180°，∠C'EB＝75°，
∴∠BC'E+∠DBE＝105°，
∴∠C+∠DBE＝105°，
∵∠A+∠C+∠ACB＝180°，
∴∠C+4∠DBE＝180°，
∴∠C＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出∠C+∠DBE＝105°和∠C+4∠DBE＝180°是解题的关键．
7．（2023•前郭县二模）如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到△BC′D，C'D与AB交于点E，若∠1＝25°，则∠2的度数为 40° ．
【分析】根据矩形的性质可得CD∥AB，∠1+∠CBD＝90°，可求解∠CBD的度数，由平行线的性质可求解∠ABD的度数，结合折叠的性质可得∠2+∠ABD＝∠CBD，进而可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠1+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠1，
∵∠1＝25°，
∴∠CBD＝65°，∠ABD＝25°，
由折叠可知：∠2+∠ABD＝∠CBD，
∴∠2＝∠CBD﹣∠ABD＝65°﹣25°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠与对称的性质，由折叠得∠2+∠ABD＝∠CBD是解题的关键．
8．（2023•本溪二模）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边AD上，且DE＝3AE，点F是边AB上的一动点，连接CF，以CF为斜边在CF的上方作等腰直角△CFG，连接EG，则线段EG的最小值为 3 QUOTE ．
【分析】连接AC，BD，BG，其中AC，BG交于点O，先判断出点B，C，G，F四点共圆，根据圆周角定理可得∠BGF＝∠BCF，再根据角的和差可得∠BCF＝∠ACG＝∠BGF，则∠COG＝90°，从而可得在动点F移动过程中，点G在BD上移动，然后根据垂线段最短可得当EG⊥BD时，EG的值最小，解直角三角形即可得．
【解答】解：如图，连接AC，BD，BG，其中AC，BG交于点O，
∵正方形ABCD的边长为8，且DE＝3AE，
∴DE＝6，AC⊥BD，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠ADB＝45°，
∵△CFG是以CF为斜边的等腰直角三角形，
∴∠GCF＝45°，∠CGF＝90°，
∴点B，C，G，F四点共圆，
由圆周角定理得：∠BGF＝∠BCF，
又∵∠BCF+∠ACF＝45°＝∠ACG+∠ACF，
∴∠BCF＝∠ACG，
∴∠BGF＝∠ACG，
∴∠ACG+∠OGC＝∠BGF+∠OGC＝∠CGF＝90°，
∴∠COG＝90°，即AC⊥BG，
∴在动点F移动过程中，点G在BD上移动，
由垂线段最短可知，当EG⊥BD时，EG的值最小，
此时EG＝DE⋅sin45°＝3 QUOTE ，
所以线段EG的最小值为3 QUOTE ，
故答案为：3 QUOTE ．
【点评】本题考查了正方形的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识点，正确判断出点G在BD上移动是解题关键．
1．（2024•南宁模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】根据图形中的等量关系得：∠1+∠2＝90°，再由∠1的度数，即可得出答案．
【解答】解：由图可知：∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠1＝70°．
∴∠2＝180°﹣∠1＝20°，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组与实际问题，解题的关键是正确找出等量关系，列出二元一次方程组．线段
射线
直线
图形
表示方法
线段AB或线段BA或线段a
射线AB或射线a
直线AB或直线BA或直线a
端点个数
2
1
0
延伸情况
不能延伸
向一方无限延伸
向两方无限延伸
度量情况
能度量
不能度量
不能度量
联系
射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射线向反方向无限延伸就成为直线
表示方法
图例
记法
适用范围
用三个大写字母表示
∠AOB或∠BOA
任何情况下都适用，表示顶点的字母要写在中间
用一个大写字母表示
∠O
当以某一字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示
用数字表示
∠1
在角的内部靠近顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，任何情况下都适用
用希腊字母表示
条件
结论
作用
判定
同位角相等
两直线平行
由角的数量关系确定直线的位置关系
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
性质
两直线平行
同位角相等
由直线位置关系得到角的数量关系
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补