数学（四）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略（原卷版+解析版）

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多边形与四边形 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 01
圆 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 17
视图与投影 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 40
尺规作图 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 52
中考临考押题模拟卷（通用）……………………………………………………66
多边形与四边形
关于多边形与四边形在中考数学中的命题预测，可能会涉及以下几个方面的考点：
多边形与四边形的定义及性质：这是基础考点，会涉及多边形的定义、内角和公式、外角和定理等。四边形作为多边形的一种特殊情况，其性质如平行四边形的对边平行且相等、对角线互相平分等也会是考查的重点。
多边形与四边形的判定：比如给定一些条件，要求判断一个图形是否是多边形或某种特定的四边形（如平行四边形、矩形、菱形、正方形等）。这需要考生熟练掌握各种图形的判定条件。
多边形与四边形的计算：这包括利用公式计算多边形的内角和、外角和，以及四边形的面积、周长等。同时，也会涉及利用多边形的性质解决一些线段和角的问题。
多边形与四边形的综合应用：这类题目可能会结合其他知识点（如方程、函数、不等式等）进行综合考查，需要考生具备较强的综合运用能力。
此外，考虑到中考数学的命题趋势，多边形与四边形的考点可能会更加注重对考生思维能力和解题能力的考查。因此，考生在备考时应注重理解基本概念和性质，掌握各种图形的判定条件，提高解题技巧和速度，同时也要注意培养自己的思维能力和解题能力。

Ⅰ、多边形的内角和与外角和
一、多边形的内角和公式
1.n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)；
通过多边形的内角和公式可以通过边数求内角和，或通过内角和求多边形的边数.
2.多边形的内角和公式推导：
如图所示，从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把n边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是(n-2)·180°.
3.正多边形：各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.正n边形的每个内角都为.
二、多边形的外角和
1.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.
2.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处分别取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
如图所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五边形ABCDE的外角和，为360°.
3.正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于.
4.多边形的外角和的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180°，所以n边形的外角和等于n个180°的平角减去多边形的内角和，即.
Ⅱ、平行四边形
一、平行四边形的定义
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
2.平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
二、平行四边形的性质
1.平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.
2.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
3．平行四边形边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
4．平行四边形角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
5．平行四边形对角线性质：平行四边形的对角线互相平分.
6.平行四边形常见的结论：
（1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；
（2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；
（3）平行四边形被对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的.
三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
PS：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；
（2）满足两组邻边分别相等或两组邻角分别相等不能判定四边形是平行四边形.
Ⅲ、矩形、菱形、正方形
一、矩形
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形一定是平行四边形，但是平行四边形不一定是矩形.
2.矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等.
（1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；
（2）矩形是中心对称图形，过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；
（3）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）；
（4）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.
3.矩形的判定定理
（1）三个角是直角的四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
4.判定矩形的思路：
四边形
有三个角是直角
平行四边形
对角线相等
有一个角是直角
矩形
矩形
矩形
二、菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
一组邻边相等的四边形不一定是菱形.
2.菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
（1）菱形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，菱形的边长的平方等于两条对角线一半的平方和.
（3）菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半.
3.菱形的判定定理：
（1）四边相等的四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
四边形
四条边相等
平行四边形
对角线互相垂直
一组邻边相等
菱形
矩形
矩形
三、正方形
1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2.正方形的性质：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形、菱形的一切性质.
（1）正方形是有一组邻边相等的矩形；
（2）正方形是有一个角是直角的菱形.
3.正方形的判定定理：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形；
（3）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
4.几个特殊的四边形间的关系：
Ⅳ、三角形的中位线
一、三角形的中位线的概念及定理
1.概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形中位线.
如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的一条中位线.
PS：三角形的中位线是一条线段，不是直线或射线.
2.三角形的中位线与三角形的中线是不一样的，三角形中位线是两条边中点的连线，而三角形中线是顶点与对边中点的连线.
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
二、中点四边形
1.中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形.
2.常见的中点四边形
（1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；
（2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；
（3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
（4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；
（5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
3.中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形；
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形；
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
1．（2023•兰州）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
2．（2023•绵阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点G是BC上的一点，且BG＝3GC，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，则tan∠EDF的值为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
3．（2023•呼和浩特）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（ ）
A． QUOTE B．3C． QUOTE D． QUOTE
4．（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
5．（2023•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 ．
6．（2023•枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 ．
7．（2023•云南）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于 QUOTE ，求平行线AB与DC间的距离．
8．（2023•北京）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB QUOTE ，求BC的长．
1．（2023•武山县一模）若四边形的对角线互相垂直且相等，则它一定是（ ）
A．菱形B．正方形
C．等腰梯形D．以上说法均不正确
2．（2023•潮阳区一模）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F．已知DE QUOTE ，则CF的长为（ ）
A． QUOTE B．2C． QUOTE D．2 QUOTE
3．（2023•唐河县模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（ ）
A．59°B．62°C．69°D．72°
4．（2023•合阳县二模）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠BFC＝ °．
5．（2023•龙岩模拟）如图，在矩形ABCD中， QUOTE ，点E在线段BC上运动（不含B．C两点），连接AE，以AE为一边在AE的右上方作等边三角形AEF，连接DF，则线段DF长度的最小值为 ．
6．（2023•庐江县二模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 ．
（2）若 QUOTE ，则AM＝ ．
7．（2023•沈阳模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，过点E作FG⊥AD，分别交AD、BC于点F、G，∠CBD＝∠CEG．
（1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若CG＝3，FG＝8，则▱ABCD的面积为 ．
8．（2024•滨湖区一模）如图，在菱形ABCD中， QUOTE ，M、N分别在边AD、BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D．
（1）若DE＝DM时，求 QUOTE 的值；
（2）若△DEM是直角三角形，求 QUOTE 的值．
1．（2024•莱芜区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5， QUOTE ，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F为AB的中点，连接DF，EF，若∠EFD＝90°，则AE的长是（ ）
A．6B．8C． QUOTE D． QUOTE
2．（2024•广东模拟）如图所示，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在线段OD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则：
①EF＝EC；
②CF2＝CG•CA；
③CO•CG＝EH•EB；
④若DE＝1，则BF＝4 QUOTE ．
正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
3．（2023•松阳县二模）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于点E，点F在CD上，连接BF分别交DE，AC于点G，H．若BG＝GF＝DF，则sin∠FBC的值是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
4．（2024•青岛一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，连接AE，BF，点G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
5．（2024•灞桥区校级二模）如图，菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E为AB的中点，点F为BC上一点，连接EF，作∠GEF＝60°且△GEF面积为 QUOTE ，则DG的最小值为 ．
6．（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为 ．
7．（2024•双流区模拟）如图，在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，∠BEC＝∠ADC，EF平分∠BEC交BC于点F，点G在线段BD上，且BG＝CG，延长CG交AB于点H，连接FG，EH．
（1）求证：CE＝BG；
（2）当BH＝DE时，试判断△BCH的形状，并说明理由；
（3）若 QUOTE ，求∠BEH的正切值．
8．（2024•河北一模）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边AB，BC上，且CE⊥DF于点O．
（1）试猜想线段CE与DF的数量关系为 ；
（2）数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：
①如图2，在正方形ABCD中，若点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于点O，求证：EG＝FH；
②如图3，将①中的条件“在正方形ABCD中”改为“在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a”，其他条件不变，试推理线段EG与FH的数量关系；
③如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，AB＝BC＝CD＝6，点M为AB的三等分点，连接CM，过点D作DN⊥CM，垂足为点O，直接写出线段DN的长．
1．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
2．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．25°
3．如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
4．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点E是BC边上一点，ED⊥BC交AB于点D，DF⊥AC于点F，则线段EF的最小值为 ．
5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点，若 QUOTE ，则正方形ABCD的边长为 ．
6．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 时，四边形ACBD为矩形．
7．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，点P从A出发在线段AD上以1个单位/秒向点D运动，点Q同时从点C出发，以1个单位/秒的速度向点A运动，当点P到达点D时，点Q也随之停止运动．
（1）设△APQ的面积为S，点P的运行时间为t，求S与t的函数关系式；
（2）t取几时S的值最大，最大值是多少？
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？
8．【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，DE、CF交于点G．
（1）易证△ADE≌△DCF，可知DE、CF的关系为 ；（直接填写结果）
（2）连接BG，若AB＝6，求BG的长．
【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，FG⊥DE分别交AD、BC于F、G，垂足为O．求证：FG＝DE．
【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长．
圆
首先，肯定会涉及到圆的基本性质和定理，比如垂径定理、圆周角定理等。这些都是圆的基础知识，考试肯定会考到的。
其次，与圆相关的计算题也会是重点。比如，求圆的面积、周长，或者求与圆相关的线段长度等。这些都需要掌握圆的基本公式和计算方法。
另外，圆的综合题也是中考数学中的热点和难点。这类题目通常会涉及到圆与直线、圆与三角形等图形的结合，需要运用多种数学知识和技巧来解答。

Ⅰ、圆
一、圆的定义及表示
圆的定义
定义一、如图所示，将线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕端点O在平面上旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆，其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.
定义二、圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
圆上的各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.
PS：确定一个圆需要两个要素，一个是圆心（确定圆的位置），一个是半径（确定圆的大小）.
二、点和圆的位置关系
点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：
注：1.“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
2.点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上.
三、与圆有关的概念.
1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图所示的弦AC；
直径：经过圆心的弦叫做直径，如图所示的直径AB.
弦与直径的关系：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径；
2.弧、半圆、优弧、劣弧
（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧；
（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图所示的（绿色部分）；
（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图所示的（蓝色部分）.
①弧与弦的区别：弧上圆上两点间的部分，是一条曲线，弦是圆上两点间的线段；
②半圆是弧，但弧不一定是半圆.
3.圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角，如图所示的∠AOB.
（1）在同一个圆中，圆的两条半径所夹的角就是圆心角；
（2）一条弧所对的圆心角只有一个.
4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（半径相等的两个圆就是等圆），等圆和圆心的位置无关；
5.等弧：能够互相重合的弧叫做等弧（长度相等的弧不一定是等弧）.
Ⅱ、圆的对称性
一、圆的中心对称
1.圆是中心对称图形，对称中心就是圆心；
2.圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合；
3.旋转不变性是圆的特有性质.
二、圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；
如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，.
2.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
3.定理成立的前提：在同圆或等圆中，如果没有这个前提条件，那么定理就是不成立的.
如图所示：两个圆的圆心相同，与对应同一圆心角，但是，.
三、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间关系
1.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等；
2.通常我们所说的一条圆弧的度数，就是指它所对的圆心角的度数；
3.等弧是指度数和长度都相等的弧（等弧的度数一定相等，而度数相等的弧不一定是等弧）.
四、圆的对称性
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴（任何一条直径所在的直线都是它的对称轴），圆有无数条对称轴.
五、垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图所示：
∵CD是直径，且CD⊥AB，∴EA＝EB，.
若一条直线具有以下两个性质：①过圆心；②垂直一条弦；则这条直线具有以下三个性质：①平分弦；②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧.
圆心到圆的一条弦的距离称为弦心距.
Ⅲ、确定圆的条件
一、圆的确定
1.过一点作圆
经过一点A作圆，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个，如图所示：
2.过两点作圆
经过两点A、B作圆，只要以与点A、B距离相等的点为圆心（线段AB垂直平分线上任一一点），以这一点与点A（B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个，如图所示：
3.过不在同一条直线上的三个点作圆
经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，所以圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以点O为圆心，以OA（OB/OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个，如图所示：
重要结论：不在同一条直线直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆.
（1）过在同一条直线上的三个点不能作圆；
（2）过不在同一条直线上的四个点不一定能作圆.
二、三角形的外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示：
是△ABC的外接圆，△ABC为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心.
1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示：
2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形；
3.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三个顶点的距离相等.
Ⅳ、圆周角
一、圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
1.圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交；
2.圆周角与圆心角的异同
（1）圆周角顶点在圆周上，圆心角顶点在圆心处；
（2）在同圆中，一条弧所对的圆周角可以有无数个，而一条弧所对的圆心角仅有一个；
（3）圆周角与圆心角的共同点：两边都和圆相交.
二、圆周角定理及圆周角定理的推论
1.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
2.同弧或等弧所对的圆周角相等；
3.在同一个圆中，同弦所对的圆周角相等或互补；
4.直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径；
5.相等的圆周角所对的弧相等.
三、圆内接四边形及圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形：如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆；
2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；
3.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
Ⅴ、直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系，如下所示：
判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：
（1）根据直线与圆的公共点的个数判断；
（2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断.
二、切线的判定定理与切线的性质定理
1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图所示，OA是的一条半径，直线l经过点A且OA⊥l，则l是的切线.
判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法：
（1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；
（2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切；
（3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
如图所示：直线l是的切线，切点为点A，则OA⊥l.
三、三角形的内切圆
1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部.
3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径.
补充：三角形外心与内心对比：
四、切线长及切线长定理
1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；
2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
拓展：如图所示：过外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP；③弧相等：.
Ⅵ、正多边形与圆
一、正多边形
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
二、正多边形与圆的关系
一般地，用量角器把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的外心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.
1.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径；
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
2.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
3.正多边形的性质
（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形；
（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形；
（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心；
（4）边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方；
（5）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
Ⅶ、弧长及扇形面积
一、弧长公式
1.弧长公式
如图所示，若把圆周长看作是360°的圆心角所对的弧长，其长度为，那么的圆心角所对的弧长公式为（弧是圆的一部分）；
在半径为R的圆中，弧长与所对的圆心角度数之间的关系：.
弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
二、扇形及扇形面积公式
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形；
2.扇形的面积公式：
在半径为的圆中：
（1）360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式；
（2）的圆心角所对的扇形面积公式.
三、圆锥的侧面展开图
1.母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线；
2.把一个圆锥的侧面展开会得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长.

如图所示，若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为.
圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足.
四、圆锥的侧面积
若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积公式为.
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，.
1．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12πB．6πC．4πD．2π
2．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
3．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
4．（2023•达州）在△ABC中，AB＝4 QUOTE ，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP QUOTE AC，连接AP，则AP的最小值为
5．（2023•乐至县）如图，边长为6的正三角形ABC内接于⊙O，则图中阴影部分的面积是 ．
6．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3 QUOTE ．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 ．
7．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若 QUOTE ，BP＝4，求CD的长．
8．（2023•呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP QUOTE 时，求BP的长；
②求 QUOTE 的最大值．
1．（2024•朝阳区一模）如图，AB是半圆的直径，圆心为O．若AB的长为6，则弦AC的长为（ ）
A．6sinAB．6csAC． QUOTE D．6tanA
2．（2024•文水县一模）如图，在⊙O中，点C在弧AB上．若∠AOB＝120°，∠ABC＝22°，则∠BAC的度数为（ ）
A．36°B．37°C．38°D．39°
3．（2024•台儿庄区一模）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A． QUOTE π QUOTE B． QUOTE π QUOTE C． QUOTE π QUOTE D． QUOTE π QUOTE
4．（2024•泰兴市一模）如图，PB是⊙O的切线，切点为B，连接OP交⊙O于点C，AB是⊙O的直径，连接AC，若∠A＝30°，OA＝2，则图中阴影部分的面积为 ．
5．（2024•常德一模）如图，点A，B，C在半径为R的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，已知OE＝2，则R＝ ．
6．（2023•舟山三模）把量角器和含30°角的三角板按如图1方式摆放，将其抽象为图2：若AB与半⊙O相切于点E，OC＝2cm，∠BOF＝120°，则阴影部分的面积为 cm2．
7．（2024•济阳区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，DF是⊙O的切线，交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠F＝∠BAC；
（2）若 QUOTE ，CF＝1，求⊙O的半径．
8．（2024•浙江模拟）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．
（1）概念理解：若△ABC为和谐三角形，且∠A＜∠B＜∠C，则∠A＝ °，∠B＝ °，∠C＝ °．（任意写一种即可）
（2）问题探究：如果在和谐三角形ABC中，∠A＜∠B＜∠C，那么∠B的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若∠B的度数改变，写出∠B的变化范围；若∠B的度数不变，写出∠B的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC为锐角，BD为圆的直径，∠OBC＝30°．过点A作AE⊥BD，交直径BD于点E，交BC于点F，若AF将△ABC分成的两部分的面积之比为1：2，则△ABC一定为和谐三角形吗？”请说明理由．
1．（2024•拱墅区一模）如图，在△ABC中，AB+AC QUOTE BC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 QUOTE 的值为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
2．（2023•望江县模拟）如图，点O为△ABC的内心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，则△OBC的面积是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C．2D．4
3．（2023•攀枝花二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF QUOTE ，则点F与点C的最小距离为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
4．（2024•永修县一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则cs∠ACB的值是 ．
5．（2023•拱墅区校级二模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝BE．点P是劣弧 QUOTE 上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，设∠PCD＝α．
①则∠F＝ ，（用含α的代数式表示）；
②当∠F＝3∠PCD时，则 QUOTE ．
6．（2023•天河区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝2， QUOTE ，点E、F分别是线段AD，BC上的动点，且AE＝CF，过D作EF的垂线，垂足为H．
（1）当 QUOTE 时，∠BFE＝ °．
（2）当E在AD上运动时，CH的最小值为 ．
7．（2024•顺庆区二模）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，点D为弧AC的中点，∠CDG＝∠B，DG的反向延长线与BA的延长线交于点E，连接BD与AC交于点F．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若 QUOTE ，求sinE的值．
8．（2024•宝山区二模）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．
（1）如图，点D恰好落在点O处．
①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；
②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求 QUOTE 的值；
（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（ ）点和圆的位置关系
点到圆心的距离与半径的关系
图示
文字语言
符号语音
点在圆内
圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内
点P在圆内
点在圆上
圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆内
点P在圆上
点在圆外
圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆内
点P在圆外
相交
相切
相离
定义
直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交
直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切
直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离
图示
公共点个数
2
1
0
圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
交线/割线
切线
无
结论
直线与相交
直线与相切
直线与相离
图形
名称
性质
位置
角度关系
外心（三角形外接圆的圆心，三角形三边中垂线的交点）
到三角形三个顶点的距离相等
外心不一定在三角形的内部
∠BOC＝2∠A
内心（三角形内切圆的圆心，三角形三条内角平分线的交点）
到三角形三边距离相等
内心一定在三角形的内部
∠BOC＝90°＋∠A