2021-2022学年四川省自贡市职业技术学校（升学班）高二（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年四川省自贡市职业技术学校（升学班）高二（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知集合M＝{1，3}，N＝{1﹣a，2，3}，则a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．（4分）函数的定义域为（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[﹣2，1）D．[﹣2，1]
3．（4分）不等式|3x﹣2|＞4的解集是（ ）
A．{x|x＜2或x＞2}B．
C．或x＞2}D．
4．（4分）在△ABC中，sinA＞0是△ABC为锐角三角形的（ ）条件．
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．（4分）与角﹣480°终边相同的角是（ ）
A．﹣120°B．﹣60°C．120°D．720°
6．（4分）若数组a＝（﹣2，1，3）和b＝（1，﹣，x）满足a＝﹣2b（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣D．﹣
7．（4分）函数y＝5﹣x的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）已知角α的终边经过（1，﹣3），则csα﹣sinα＝（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）在等比数列{an}中，已知a2＝﹣3，q＝2，则a7的值是（ ）
A．96B．﹣96C．48D．﹣48
10．（4分）过圆（x﹣1）2+（y+3）2＝1的圆心且与直线x﹣3y+3＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣3y﹣10＝0B．x+3y＝0C．3x﹣y﹣6＝0D．x﹣3y+6＝0
11．（4分）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．0
12．（4分）有5件新产品，其中A型产品3件，B型产品2件，它们都是A型产品的概率是（ ）
A．B．C．D．
13．（4分）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们一个交点的纵坐标为4（ ）
A．B．C．D．
14．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．三棱锥D1﹣ADC的表面积为
D．三棱锥D1﹣ADC的体积为
15．（4分）为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是2021﹣2022年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家2021年共缴纳的水费为1008元
（ ）
A．299m3B．300m3C．301m3D．302m3
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
16．（4分）防疫站对某校学生进行新冠疫苗的注射，由于疫苗数量有限，于是采用分层抽样法抽取一部分进行第一轮的注射．该学校共有学生2000名，已知女生比男生少抽了20人，则该校有女生 ．
17．（4分）设向量＝（﹣1，3），＝（2，x），若∥，则x＝ ．
18．（4分）二项式的展开式中的常数项为 。
19．（4分）已知抛物线x2＝﹣16y的焦点为F，则抛物线上的动点P到点M（﹣2，﹣3）与F距离之和的最小值为 ．
20．（4分）已知函数f（x）是奇函数，且满足f（x）（3﹣x），若当x∈[0，]时，f（x）＝（2020）＝ ．
三、解答题（共6个小题，有5个小题，共70分）
21．（10分）在递增等差数列{an}中，a1+a4＝10，且4是a1与a4的等比中项．
（1）求通项公式an；
（2）求此数列前8项的和．
22．（12分）某校对高三年级部分女生的身高（单位cm，测量时精确到1cm）进行测量后的分组和频率如下：
（1）若身高在153cm及以下的被测女生有3人，求所有被测女生的人数；
（2）在（1）的条件下，从165cm以上的被测女生中抽出2人，171]中抽出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
23．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，．
（1）求角C的大小；
（2）若，求边a的长．
24．（12分）如图所示，在三棱锥B﹣ADC中，底面△ADC为等边三角形，AD⊥BD，点E，BD的中点．
（1）求异面直线EF与CD所成角的大小；
（2）求证：平面EFC⊥平面BCD．
25．（12分）椭圆C：的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，B关于点M对称，求直线l的方程．
26．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4ax．
（1）若函数f（x）在x∈[2，4]是增函数；
（2）若对于任意的x∈[2，+∞），f（x）＞﹣1恒成立
2021-2022学年四川省自贡市职业技术学校（升学班）高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题，每小题4分，共60分。请把答案写到后面表格中）
1．（4分）已知集合M＝{1，3}，N＝{1﹣a，2，3}，则a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【答案】B
【分析】根据并集的求法得出1﹣a＝2，然后求得a的值即可．
【解答】解：∵集合M＝{1，3}，2}，2，3}，
∴3﹣a＝2，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的运算，熟练掌握并集的求法是解答此题的关键．
2．（4分）函数的定义域为（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[﹣2，1）D．[﹣2，1]
【答案】B
【分析】根据函数的基本性质求解即可。
【解答】解：∵函数有意义，
∴8﹣x≥0，x+2＞8，
∴x∈（﹣2，1]，
故选：B。
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，解题的关键在于掌握函数的基本性质，为基础题。
3．（4分）不等式|3x﹣2|＞4的解集是（ ）
A．{x|x＜2或x＞2}B．
C．或x＞2}D．
【答案】C
【分析】根据不等式|3x﹣2|＞4的解法即可求解．
【解答】解：∵不等式|3x﹣2|＞2，
∴3x﹣2＜﹣7或3x﹣2＞5，
∴x＜﹣或x＞3，
∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞4}．
故选：C．
【点评】本题考查含绝对值的不等式，难度不大．
4．（4分）在△ABC中，sinA＞0是△ABC为锐角三角形的（ ）条件．
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据题干信息和充分必要条件的基本概念求解即可．
【解答】解：∵sinA＞0不能推出△ABC为锐角三角形，△ABC为锐角三角形能够推出sinA＞0，
∴sinA＞8是△ABC为锐角三角形的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分必要条件的基本概念，解题的关键在于掌握充分必要条件的基本概念，为基础题．
5．（4分）与角﹣480°终边相同的角是（ ）
A．﹣120°B．﹣60°C．120°D．720°
【答案】A
【分析】根据终边相同的角即可求解．
【解答】解：∵与角﹣480°终边相同的角是﹣480°+360°k，k∈Z，
∴当k＝1时，﹣480°+360°＝﹣120°．
故选：A．
【点评】本题考查终边相同的角，难度不大．
6．（4分）若数组a＝（﹣2，1，3）和b＝（1，﹣，x）满足a＝﹣2b（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣D．﹣
【答案】C
【分析】根据题意可得﹣2x＝3，解出即可．
【解答】解：∵数组a＝（﹣2，1，8）和b＝（1，﹣，
∴﹣2x＝3，解得．
故选：C．
【点评】本题考查学生对数据的处理能力及应用能力，属于基础题．
7．（4分）函数y＝5﹣x的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象即可求解．
【解答】解：∵函数y＝5﹣x＝在R上单调递减，
∴只有D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查指数函数的图象，难度不大．
8．（4分）已知角α的终边经过（1，﹣3），则csα﹣sinα＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正余弦的定义分别求解α的正余弦，再求解即可．
【解答】解：csα﹣sinα＝﹣＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，基本知识的考查．
9．（4分）在等比数列{an}中，已知a2＝﹣3，q＝2，则a7的值是（ ）
A．96B．﹣96C．48D．﹣48
【答案】B
【分析】根据a7＝a2q5即可求解．
【解答】解：∵a2＝﹣3，q＝2，
∴a7＝a2q3＝﹣3×32＝﹣96．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的性质，难度不大．
10．（4分）过圆（x﹣1）2+（y+3）2＝1的圆心且与直线x﹣3y+3＝0平行的直线方程是（ ）
A．x﹣3y﹣10＝0B．x+3y＝0C．3x﹣y﹣6＝0D．x﹣3y+6＝0
【答案】A
【分析】求出圆心坐标，再设直线方程为x﹣3y+c＝0，代入点求得c的值，即可得到答案．
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+6）2＝1的圆心坐标为（7，﹣3），
与直线x﹣3y+2＝0平行的直线方程可设为x﹣3y+c＝7，
则1+9+c＝5，
解得c＝﹣10，
则所求直线方程为x﹣3y﹣10＝0，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的方程，属于基础题．
11．（4分）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而根据抛物线的定义，利用点M到准线的距离求得点M的纵坐标，求得答案．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2＝﹣y，准线方程为y＝﹣．
又点M与抛物线焦点的距离为1，设M的纵坐标为y3，
∴点M到准线的距离为y0+＝7，
∴点M的纵坐标y0＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，属基础题．
12．（4分）有5件新产品，其中A型产品3件，B型产品2件，它们都是A型产品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型的计算公式直接求解即可。
【解答】解：∵有5件新产品，其中A型产品3件，
∴从中任抽8件的结果数为：＝10，
∴它们都是A型产品的概率是：＝，
故选：C。
【点评】本题主要考查古典概型，熟练掌握古典概型的计算公式是解答此题的关键。
13．（4分）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们一个交点的纵坐标为4（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线与椭圆的焦点相同，则c＝＝3①，设双曲线的方程为﹣＝1，把y＝4代入椭圆的方程，得x，再把交点代入双曲线的方程，可得﹣＝1②，又c2＝a2+b2③，解得a2，b2，即可得出答案.
【解答】解：因为双曲线与椭圆的焦点相同，
所以c＝＝3①，±3），
设双曲线的方程为﹣＝1，
把y＝4代入得x＝±，
把x＝±，y＝2代入双曲线的方程﹣，
所以﹣＝1②，
又c2＝a2+b2③，
由①②③得a2＝6，b2＝5，
所以双曲线的方程为﹣＝1，
双曲线的虚轴长为2，
故选：B。
【点评】本题考查双曲线的方程，属于基础题.
14．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．三棱锥D1﹣ADC的表面积为
D．三棱锥D1﹣ADC的体积为
【答案】D
【分析】对于A选项，根据直线与直线位置关系的判定定理求解即可；对于B选项，根据线面平行的判定定理求解即可；对于CD选项，利用三棱锥的体积公式和表面积公式求解即可．
【解答】解：∵A1C1⊂平面A3B1C1D2，AD1∩A1B6C1D1＝D3，AD1⊄平面A1B8C1D1，D3∉A1C1，
∴直线A7C1与AD1为异面直线，A正确，
∵A8C1∥AC，A1C8⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
∴A5C1∥平面ACD1，B正确，
∵正方体ABCD﹣A7B1C1D3的棱长为2，
∴AC＝AD1＝CD5＝2，
∴三棱锥D4﹣ADC的表面积为×8×2×3+×2×，C正确，
∴三棱锥D1﹣ADC的体积为＝，D错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查三棱锥的体积公式和表面积公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
15．（4分）为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是2021﹣2022年遵义市每户的综合用水单价与户年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家2021年共缴纳的水费为1008元
（ ）
A．299m3B．300m3C．301m3D．302m3
【答案】B
【分析】设户年用水量为xm3，年缴纳的税费为f（x）元，根据题意求出f（x）的解析式，再利用分段函数的解析式可求出结果．
【解答】解：设户年用水量为xm3，年缴纳的税费为f（x）元，
则f（x）＝，
即f（x）＝，
当0≤x≤216时，f（x）＝5.8x≤2.8×216＝604.8，
当216＜x≤288时，604.8＜f（x）≤907.7，
当x＞288时，f（x）＞907.2，
所以8.3x﹣1512＝1008，解得x＝300，
所以艾世宗一家2021年共用水300m3．
故选：B．
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
16．（4分）防疫站对某校学生进行新冠疫苗的注射，由于疫苗数量有限，于是采用分层抽样法抽取一部分进行第一轮的注射．该学校共有学生2000名，已知女生比男生少抽了20人，则该校有女生 900 ．
【答案】900。
【分析】设该校女生x人，男生为2000﹣x人，根据男女生人数关系列式计算即可。
【解答】解：∵该学校共有学生2000名，抽取一个容量为200的样本，
∴抽取的比例为＝，
设该校女生x人，男生为2000﹣x人，
∴（2000﹣x）﹣，
∴x＝900，
∴该校有女生900人，
故答案为：900。
【点评】本题主要考查分层抽样，熟练掌握分层抽样的抽取方法是解答此题的关键。
17．（4分）设向量＝（﹣1，3），＝（2，x），若∥，则x＝ ﹣6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，∴﹣x﹣6＝0．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（4分）二项式的展开式中的常数项为 ﹣160 。
【答案】﹣160.
【分析】求出通项公式，令x的指数为0，求得m的值，即可得解.
【解答】解：通项为（m＝4，1，6），
设第m+6项为常数项，则6﹣2m＝7，
所以常数项为：，
故答案为：﹣160.
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.
19．（4分）已知抛物线x2＝﹣16y的焦点为F，则抛物线上的动点P到点M（﹣2，﹣3）与F距离之和的最小值为 7 ．
【答案】7．
【分析】根据抛物线的定义，可将PF长度转化到点P到准线的距离，进而根据两点之间线段最短即可求解．
【解答】解：已知抛物线x2＝﹣16y的焦点为F，
记抛物线的准线方程为l，P到l的距离为d，
则|PM|+|PF|＝d+|PM|≥|MN|＝7，当且仅当P为MN与抛物线的交点时．
故答案为：8．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
20．（4分）已知函数f（x）是奇函数，且满足f（x）（3﹣x），若当x∈[0，]时，f（x）＝（2020）＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1
【分析】由已知及奇函数可得函数的周期T＝6，然后结合已知区间上函数解析式即可求解．
【解答】解：因为f（x）是奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
又f（x）＝f（3﹣x）即f（3+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x+6）＝f（x），
当x∈[0，]时，
则f（2020）＝f（336×6+4）＝f（4）＝﹣f（1）＝﹣7．
故答案为：﹣1
【点评】本题综合考查了函数性质在函数求值中的应用，体现了转化思想的应用．
三、解答题（共6个小题，有5个小题，共70分）
21．（10分）在递增等差数列{an}中，a1+a4＝10，且4是a1与a4的等比中项．
（1）求通项公式an；
（2）求此数列前8项的和．
【答案】（1）an＝2n；（2）72．
【分析】（1）根据题意可得a1，a4的值，进而求得公差，从而得到通项公式；
（2）利用等比数列的前n项和公式直接求解即可．
【解答】解：（1）依题意，，
又{an}是递增等差数列，
则，
故公差，
则an＝a6+（n﹣1）d＝2+6（n﹣1）＝2n；
（2）．
【点评】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，属于基础题．
22．（12分）某校对高三年级部分女生的身高（单位cm，测量时精确到1cm）进行测量后的分组和频率如下：
（1）若身高在153cm及以下的被测女生有3人，求所有被测女生的人数；
（2）在（1）的条件下，从165cm以上的被测女生中抽出2人，171]中抽出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
【答案】见解答。
【分析】（1）根据总数＝计算可得；
（2）计算ξ得概率，得到分布列。
【解答】解：（1）3÷（0.02+8.04）＝3÷0.06＝50（人）；
（2）（165，168]：50×4.14＝7（人），
（168，171]：50×0.04＝6（人），
ξ可以取0，1，6，
p（ξ＝0）＝＝＝，
P（ξ＝1）＝＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
ξ的分布列为：
【点评】本题考查离散型随机变量的概率分布，难度简单。
23．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，．
（1）求角C的大小；
（2）若，求边a的长．
【答案】（1）C＝150°；（2）a＝．
【分析】（1）根据诱导公式以及三角形的内角和可知sinA＝sin（B+C），利用两角和差的正弦公式进行展开化简即可求解；
（2）由（1）的结果，利用正弦定理＝进行求解即可．
【解答】解：（1）由，
可得sinCcsB﹣sinCsinB＝sin（B+C），
所以sinCcsB﹣sinCsinB＝sinBcsC+csBsinC，
所以﹣sinCsinB＝sinBcsC，
因为sinB≠0，
所以﹣sinC＝csC，
所以＝﹣，
因为0°＜C＜180°，
所以C＝150°；
（2）由C＝150°可得，
sinC＝，
则在△ABC中，由正弦定理可得，
＝，
所以a＝＝＝．
【点评】本题考查了正弦定理，诱导公式，两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系以及特殊角的三角函数值，属于中档题．
24．（12分）如图所示，在三棱锥B﹣ADC中，底面△ADC为等边三角形，AD⊥BD，点E，BD的中点．
（1）求异面直线EF与CD所成角的大小；
（2）求证：平面EFC⊥平面BCD．
【答案】（1）60°．
（2）证明详情见解答．
【分析】（1）由异面直线的定义可得∠ADC是异面直线EF与CD所成的角，再计算大小，即可得出答案．
（2）由面面垂直的判定定理，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为点E，F分别是AB，
所以EF∥AD，
所以∠ADC是异面直线EF与CD所成的角，
因为△ADC是等边三角形，
所以∠ADC＝60°，即异面直线EF与CD所成角的大小为60°，
综上所述，异面直线EF与CD所成角的大小为60°．
（2）证明：因为CB＝CD，F是BD的中点，
所以CF⊥BD，
因为AD⊥BD，
由（1）知EF∥AD，
所以EF⊥BD，
因为CF∩EF＝F，
所以BD⊥面CEF，
又BD⊂面BCD，
所以面EFC⊥面BCD．
【点评】本题考查异面直线所成角，直线与平面的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
25．（12分）椭圆C：的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，B关于点M对称，求直线l的方程．
【答案】（1）；
（2）8x﹣9y+25＝0．
【分析】（1）根据题意可得a＝3，c2＝5，进而求得b2＝4，由此得到椭圆方程；
（2）易知线段AB的中点坐标为M（﹣2，1），再利用点差法求得直线l的斜率，即可得到直线方程．
【解答】解：（1）依题意，|PF1|+|PF2|＝4a＝6，
则a＝3，
又PF2⊥F1F2，
则，
解得c3＝5，
则b2＝4，
故椭圆C的方程为；
（2）圆x3+y2+4x﹣5y＝0的圆心M（﹣2，8），
依题意，线段AB的中点坐标为M（﹣2，
设A（x1，y5），B（x2，y2），
则，
两式相减可得，，
则，
即直线l的斜率为，
则直线l的方程为，即7x﹣9y+25＝0．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，属于中档题．
26．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4ax．
（1）若函数f（x）在x∈[2，4]是增函数；
（2）若对于任意的x∈[2，+∞），f（x）＞﹣1恒成立
【答案】（1）a的取值范围为{a|a≤1}；
（2）a的取值范围为{a|a＜}．
【分析】（1）根据函数f（x）＝x2﹣4ax的对称轴为x＝2a，函数的二次项系数为正，函数f（x）在x∈[2，4]是增函数求解即可；
（2）函数f（x）＝x2﹣4ax的对称轴为x＝2a，函数的二次项系数为正，对于任意的x∈[2，+∞），f（x）＞﹣1恒成立得到当2a≤2时，f（2）＞﹣1，即4﹣8a＞﹣1，即a＜，当2a＞2时，f（2a）＞﹣1即可求解．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x2﹣4ax的对称轴为x＝6a，函数的二次项系数为正，4]是增函数，
∴2a≤2，
∴a≤1，
∴a的取值范围为{a|a≤1}；
（2）∵函数f（x）＝x8﹣4ax的对称轴为x＝2a，函数的二次项系数为正，+∞），
∴x7﹣4ax+1＞3在x∈[2，+∞）时恒成立，
∴当2a≤4时，f（2）＞﹣1，即a＜，f（2a）＞﹣17＞﹣1，即﹣（舍去），
∴a＜，
∴a的取值范围为{a|a＜}．
【点评】本题主要考查二次函数的基本性质，解题的关键在于数值运算，为基础题．分档
户年用水量/m3
综合用水单价/（元/m3）
第一阶梯
0～216（含）
2.80
第二阶梯
216～288（含）
4.20
第三阶梯
288以上
8.40
分组
（147，150]
（150，153]
（153，156]
（156，159]
（159，162]
（162，165]
（165，168]
（168，171]
频率
0.02
0.04
0.08
0.1
0.32
0.26
0.14
0.04
分档
户年用水量/m3
综合用水单价/（元/m3）
第一阶梯
0～216（含）
2.80
第二阶梯
216～288（含）
4.20
第三阶梯
288以上
8.40
分组
（147，150]
（150，153]
（153，156]
（156，159]
（159，162]
（162，165]
（165，168]
（168，171]
频率
0.02
0.04
0.08
0.1
0.32
0.26
0.14
0.04
ξ
5
1
2
P