2021-2022学年山西省吕梁市交城职业中学艺文班高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年山西省吕梁市交城职业中学艺文班高一（下）期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（3分）在△ABC中，已知 a＝2，b＝2，则B等于（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
4．（3分）在△ABC中，若a＝2，b＝5，则csB＝（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）
7．（3分）已知z＝1+i，则＝（ ）
A．1﹣iB．1+iC．2iD．﹣2i
8．（3分）已知z＝i（2+3i），则z的实部为（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
9．（3分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A．B．2C．3D．4
10．（3分）已知＝（1，2），＝（x，﹣2），若⊥，则x＝（ ）
A．﹣1B．1C．4D．﹣4
11．（3分）若长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）
A．22B．20C．10D．11
12．（3分）关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有5个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共计24分）
13．（4分）已知复数z满足z+i＝3﹣i，则|z|是 ．
14．（4分）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，则a＝ ．
15．（4分）正方体的内切球和外接球的半径之比为 ．
16．（4分）一个多面体最少有 个面，此时这个多面体是 ．
17．（4分）利用平行投影，人们获得了画直观图的方法，名为 ．
18．（4分）正四棱锥的底面边长和侧棱都为2，则体积为 ．
三、解答题（本题共4个小题，共计40分，解答题应写出文字说明或演算步骤）
19．（12分）当实数m取什么值时，复数z＝m+1+（m﹣1）i是下列数？
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
20．（8分）计算（1+i）2+（2+i）（2﹣i）﹣．
21．（8分）计算并将结果化为代数式．
3（cs20°+isin20°）[2（cs50°+isin50°）][10（cs40°+isin40°）
22．（12分）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．
（1）A的大小；
（2）2sinBcsC﹣sin（B﹣C）．
2021-2022学年山西省吕梁市交城职业中学艺文班高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计36分）
1．（3分）如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由单位向量的概念，即可得出答案．
【解答】解：对于A：如果，是两个单位向量，但是方向不一定相同；
对于B：由于，的夹角位置，则•，故B错误；
对于C：2＝2＝3，故C错误；
对于D：||2＝||2＝4，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查单位向量的概念，属于基础题．
2．（3分）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】由平面向量基底的概念，即可得出答案．
【解答】解：对于A：因为＝（0，＝（1，
所以与共线，故A错误；
对于B：因为＝（﹣1，＝（5，
所以≠λ，
所以，不共线，故B正确；
对于C：因为＝（3，＝（4，
所以＝2，，
所以，共线，故C错误；
对于D：因为＝（2，＝（，﹣），
所以＝，
所以，共线，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量基底的概念，属于基础题．
3．（3分）在△ABC中，已知 a＝2，b＝2，则B等于（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
【答案】B
【分析】由正弦定理可求得sinB的值，进而可得B.
【解答】解：由正弦定理可得，，
所以，
又B为△ABC的内角，且b＞a，
所以B＝60°或B＝120°.
故选：B。
【点评】本题考查正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题.
4．（3分）在△ABC中，若a＝2，b＝5，则csB＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理即可求解．
【解答】解：csB＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理，难度不大．
5．（3分）复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可．
【解答】解：∵z＝i（﹣2+i），
∴z＝﹣1﹣4i，
∴复数z＝i（﹣2+i）复平面内表示的点位（﹣1，﹣4），
∴复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于第三象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题．
6．（3分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）
【答案】C
【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可．
【解答】解：i（1+i）2＝i（5i）＝﹣2，i2（2﹣i）＝i﹣1，（1+i）5＝2i，i（1+i）＝i﹣6，
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题．
7．（3分）已知z＝1+i，则＝（ ）
A．1﹣iB．1+iC．2iD．﹣2i
【答案】A
【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可．
【解答】解：∵z＝1+i，
∴＝1﹣i，
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题．
8．（3分）已知z＝i（2+3i），则z的实部为（ ）
A．3B．﹣3C．2D．﹣2
【答案】B
【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可．
【解答】解：∵z＝i（2+3i），
∴z＝﹣5+2i，
∴z的实部为﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题．
9．（3分）棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据棱锥的表面积公式求解即可．
【解答】解：依题意，该三棱锥的四个面均是以1为边长的正三角形，则．
故选：A．
【点评】本题考查三棱锥的表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
10．（3分）已知＝（1，2），＝（x，﹣2），若⊥，则x＝（ ）
A．﹣1B．1C．4D．﹣4
【答案】C
【分析】根据题干信息和向量的运算法则求解即可．
【解答】解：∵＝（1，＝（x，⊥，
∴x﹣4＝8，
∴x＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于掌握向量的运算法则，为基础题．
11．（3分）若长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）
A．22B．20C．10D．11
【答案】A
【分析】根据题干信息和长方体的表面积公式求解即可．
【解答】解：∵长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，2，
∴长方体的表面积为2（1×7+1×3+7×3）＝22，
故选：A．
【点评】本题主要考查长方体的表面积公式，解题的关键在于掌握长方体的表面积公式，为基础题．
12．（3分）关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有5个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
【答案】B
【分析】由几何体的特征，即可得出答案．
【解答】解：对于A：根据棱柱的几何特性质可得棱柱的侧棱长都相等，故A正确；
对于B：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有1个顶点；
对于C：根据棱台的定义可知，棱台的上下底面是相似多边形；
对于D：正的棱台的侧棱长都相等，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的特征，属于基础题．
二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共计24分）
13．（4分）已知复数z满足z+i＝3﹣i，则|z|是 ．
【答案】．
【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可．
【解答】解：∵z+i＝3﹣i，
∴z＝3﹣7i，
∴|z|＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题．
14．（4分）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，则a＝ ．
【答案】．
【分析】根据正弦定理即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴a＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理，难度不大．
15．（4分）正方体的内切球和外接球的半径之比为 ：3 ．
【答案】：3．
【分析】设正方体棱长为a，其内切球的半径为r，外接球的半径为R，求出r和R，即可得出答案．
【解答】解：设正方体棱长为a，其内切球的半径为r，
则r＝，正方体的一条体对角线是外接球的一条直径，
所以（2R）2＝a2+a2+a7，则R＝a，
所以正方体的内切球和外接球的半径之比为r：R＝：3．
故答案为：：3．
【点评】本题考查正方体的外接球和内切球的半径，属于基础题．
16．（4分）一个多面体最少有 4 个面，此时这个多面体是 三棱锥或四面体 ．
【答案】4；三棱锥或四面体．
【分析】多面体的定义，即可得出答案．
【解答】解：根据多面体的定义可知，一个多面体最少有4个面，它的名称是三棱锥或四面体．
故答案为：4；三棱锥或四面体．
【点评】本题考查几何体的特征，属于基础题．
17．（4分）利用平行投影，人们获得了画直观图的方法，名为 斜二测 ．
【答案】斜二测．
【分析】由斜二测画法的定义，即可得出答案．
【解答】解：利用平行投影，人们获得了画直观图的方法．
故答案为：斜二测．
【点评】本题考查斜二测画法的定义，属于基础题．
18．（4分）正四棱锥的底面边长和侧棱都为2，则体积为 ．
【答案】．
【分析】先根据正四棱锥的底面边长和侧棱都为2求得正四棱锥的高为＝，再根据题干信息和正四棱锥的体积公式求解即可．
【解答】解：∵正四棱锥的底面边长和侧棱都为2，
∴正四棱锥的高为＝，
∴正四棱锥的体积为＝
故答案为：．
【点评】本题主要考查正四棱锥的体积公式，解题的关键在于掌握正四棱锥的体积公式，为基础题．
三、解答题（本题共4个小题，共计40分，解答题应写出文字说明或演算步骤）
19．（12分）当实数m取什么值时，复数z＝m+1+（m﹣1）i是下列数？
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
【答案】（1）m＝1；
（2）m≠1；
（3）m＝﹣1．
【分析】（1）根据题干信息和复数的运算法则得到并求解m﹣1＝0即可；
（2）根据题干信息和复数的运算法则得到并求解m﹣1≠0即可；
（3）根据题干信息和复数的运算法则得到并求解m+1＝0且m﹣1≠0即可．
【解答】解：（1）∵z＝m+1+（m﹣1）i是实数，
∴m﹣5＝0，
∴m＝1；
（2）∵z＝m+3+（m﹣1）i是虚数，
∴m﹣1≠3，
∴m≠1；
（3）∵z＝m+1+（m﹣4）i是纯虚数，
∴m+1＝0且m﹣3≠0，
∴m＝﹣1．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题．
20．（8分）计算（1+i）2+（2+i）（2﹣i）﹣．
【答案】+i．
【分析】由复数的运算，即可得出答案．
【解答】解：（1+i）2+（6+i）（2﹣i）﹣
＝1+2i+i8+（4﹣i2）﹣
＝1+7i+（﹣1）+[4﹣（﹣3）]﹣
＝6+2i﹣1+6﹣
＝5i+5﹣
＝4i+5﹣
＝2i+2﹣
＝+i．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
21．（8分）计算并将结果化为代数式．
3（cs20°+isin20°）[2（cs50°+isin50°）][10（cs40°+isin40°）
【答案】60cs110°+i60sin110°．
【分析】根据题干信息和复数的运算法则求解即可．
【解答】解：3（cs20°+isin20°）[2（cs50°+isin50°）][10（cs40°+isin40°）＝5（cs20°cs50°+isin20°cs50°+ics20°sin50°﹣sin20°sin50°）[10（cs40°+isin40°）]＝6（cs70°+isin70°）10（cs40°+isin40°）＝60（cs70°cs40°+isin70°cs40°+ics70°sin40°﹣sin40°sin70°）＝60cs110°+i60sin110°．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题．
22．（12分）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．
（1）A的大小；
（2）2sinBcsC﹣sin（B﹣C）．
【答案】（1）30°；（2）．
【分析】（1）根据余弦定理即可求解；
（2）2sinBcsC﹣sin（B﹣C）＝2sinBcsC﹣sinBcsC+csBsinC＝sinBcsC+csBsinC＝sin（B+C）＝sinA即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴csA＝＝，
∵0°＜A＜180°，
∴A＝30°；
（2）2sinBcsC﹣sin（B﹣C）＝2sinBcsC﹣sinBcsC+csBsinC＝sinBcsC+csBsinC＝sin（B+C）＝sinA＝．
【点评】本题考查解三角形，难度不大．