2023-2024学年山西省吕梁市交城职业中学加强班高二（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年山西省吕梁市交城职业中学加强班高二（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．任何直线都有唯一的斜率
B．每一条直线都有唯一的倾斜角，也有唯一的斜率
C．两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等
D．倾斜角相同的直线一定是同一条直线
2．（3分）已知不重合的直线l1和l2的斜率都不存在，则l1和l2的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．无法确定
3．（3分）已知点P（2，﹣1）到直线x﹣2y+C＝0的距离等于2，则C＝（ ）
A．6B．6或﹣14C．7或﹣13D．7
4．（3分）已知x2+y2﹣2x+y+k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜5B．k＜C．k＞D．k＜
5．（3分）直线l：x+与圆C：x2+y2＝4的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
6．（3分）以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是（ ）
A．正四面体的三视图都是正三角形
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．球的三视图总是三个全等的圆
D．圆锥的左视图是一个圆
7．（3分）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，若三棱柱的正视图（如图所示），则左视图的面积为（ ）
A．8B．4C．D．
8．（3分）用斜二测法画简单几何体的直观图时，不一定有的步骤是（ ）
A．建立空间直角坐标系
B．画底面的直观图
C．过底面顶点作平行于z轴的平行线
D．去掉辅助线
9．（3分）已知用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（ ）
A．B．C．8πD．
10．（3分）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A．16B．64C．16或64D．都不对
二、填空题（每空4分，共32分）
11．（4分）已知直棱柱的侧棱长为4，底面是边长为5的正六边形，该直棱柱的侧面积为 ．
12．（4分）已知正四棱锥的侧面积为80，斜高为10，则该正四棱锥的底面边长为 ．
13．（4分）与定点A（﹣5，3）的距离等于4的点的轨迹方程为 ．
14．（4分）过点P（4，5）且与直线y＝2x﹣7平行的直线的方程为 ．
15．（4分）设直线x+3y﹣2＝0与直线ax﹣y+2＝0垂直，则a＝ .
16．（4分）已知圆的方程为x2+y2+2x﹣8y+8＝0，过点P（2，0）作该圆的一条切线，则线段PA的长度为 ．
17．（4分）一圆锥形物体的高为4，底面半径为3，则这个物体的体积为 ．
18．（4分）已知球的直径为3，则球的体积为 ．
三、解答题（共38分）
19．（6分）若圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面圆的直径．
20．（6分）已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为5，底面边长为8，求此正三棱锥的表面积．
21．（6分）如果一个长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则称这个球为这个长方体的外接球，此时长方体的体对角线就是球的直径．已知一个长方体的三条棱长分别为1cm，3cm，求它的外接球的表面积．
22．（6分）若圆锥的母线长为10cm，轴截面的顶角为60°，求它的体积．
23．（6分）求过直线x﹣2y+2＝0和x+2y﹣4＝0的交点，且与圆x2+y2﹣2x+6y+5＝0的圆心相同的圆的方程．
24．（8分）已知点P（1，﹣2）在圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4外，经过点P作圆的切线，求切线的方程．
2023-2024学年山西省吕梁市交城职业中学加强班高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．任何直线都有唯一的斜率
B．每一条直线都有唯一的倾斜角，也有唯一的斜率
C．两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等
D．倾斜角相同的直线一定是同一条直线
【答案】C
【分析】根据直线的倾斜角与斜率可逐一判断．
【解答】解：∵每一条直线都有唯一倾斜角，当倾斜角为90°时，
∴A、B错误；
∵两条直线的斜率相等，
∴它们的倾斜角相等，
∴C正确；
∵倾斜角相同的直线不一定是同一条直线，比如y＝x和y＝x+1，
∴D错误．
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率，难度不大．
2．（3分）已知不重合的直线l1和l2的斜率都不存在，则l1和l2的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．无法确定
【答案】B
【分析】根据题干信息和点到直线的基本性质求解即可．
【解答】解：∵不重合的直线l1和l2的斜率都不存在，
∴不重合的直线l6和l2的倾斜角均为90°，
∴l1和l6的位置关系是平行，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的位置关系，解题的关键在于掌握直线的基本性质，为基础题．
3．（3分）已知点P（2，﹣1）到直线x﹣2y+C＝0的距离等于2，则C＝（ ）
A．6B．6或﹣14C．7或﹣13D．7
【答案】B
【分析】根据点P（2，﹣1）到直线x﹣2y+C＝0的距离d＝，点P（2，﹣1）到直线x﹣2y+C＝0的距离等于2计算求解即可．
【解答】解：∵点P（2，﹣1）到直线x﹣8y+C＝0的距离d＝，﹣1）到直线x﹣2y+C＝2的距离等于2，
∴d＝＝2，
∴4+C＝10或4+C＝﹣10，
∴C＝2或C＝﹣14，
故选：B．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，解题的关键在于掌握点到直线的距离公式，为基础题．
4．（3分）已知x2+y2﹣2x+y+k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜5B．k＜C．k＞D．k＜
【答案】D
【分析】根据题干信息和圆的标准方程求解即可．
【解答】解：∵x2+y2﹣3x+y+k＝0可化为（x﹣1）6+（y+）5＝，x2+y2﹣2x+y+k＝5是圆的方程，
∴6，
∴k＜，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，解题的关键在于掌握圆的标准方程，为基础题．
5．（3分）直线l：x+与圆C：x2+y2＝4的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】B
【分析】先根据圆的标准方程，求出圆心的坐标与半径，再根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线l的距离d，再根据距离d与半径r的大小关系，判断直线与圆的位置关系。
【解答】解：∵圆C：x2+y2＝6，
∴圆心坐标为（0，0），
又∵直线l：x+，
∴圆心到直线l的距离d＝＝2，
∴d＝r＝5，
∴直线l与圆C相切，
故选：B。
【点评】本题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系的判断，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离是解题的关键，属于基础题。
6．（3分）以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是（ ）
A．正四面体的三视图都是正三角形
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．球的三视图总是三个全等的圆
D．圆锥的左视图是一个圆
【答案】C
【分析】由几何体的三视图，即可得出答案．
【解答】解：对于A：正四面体的三视图可能出现等腰（非等边）三角形，故A错误；
对于B：主视的方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，故B错误；
对于C：球的三视图总是三个全等的圆，故C正确；
对于D：圆锥的左视图可能是一个三角形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的三视图，属于基础题．
7．（3分）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，若三棱柱的正视图（如图所示），则左视图的面积为（ ）
A．8B．4C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求出三棱柱的侧棱，画出左视图，其左视图为一个矩形，根据矩形的长和宽，即可得出答案．
【解答】解：设该三棱柱的侧棱长为a，则2a＝8，
所以a＝2，
该三棱柱的左视图是一个矩形，如图所示：
一边长为4，其相邻边长等于三棱柱底面等边三角形的高，
所以左视图的面积为7．
故选：C．
【点评】本题考查三视图，属于基础题．
8．（3分）用斜二测法画简单几何体的直观图时，不一定有的步骤是（ ）
A．建立空间直角坐标系
B．画底面的直观图
C．过底面顶点作平行于z轴的平行线
D．去掉辅助线
【答案】D
【分析】由斜二测画法，即可得出答案．
【解答】解：用斜二测法画简单几何体的直观图时，不一定有的步骤是去掉辅助线，
故选：D．
【点评】本题考查斜二测画法，属于基础题．
9．（3分）已知用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（ ）
A．B．C．8πD．
【答案】C
【分析】根据题意可求得球的半径，进而得到其表面积．
【解答】解：依题意，截面圆的半径为1，则，
∴球的表面积为．
故选：C．
【点评】本题考查球的表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
10．（3分）已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A．16B．64C．16或64D．都不对
【答案】C
【分析】利用直观图的画法，分两种情况，即可得出答案．
【解答】解：
①若直观图中平行四边形的边A′B′＝4，
则原正方形的边长AB＝A′B′＝4，
所以该正方形的面积S＝22＝16．
②若直观图中平行四边形的边A′D′＝4，
该正方形的边长AD＝7A′D′＝8，
故该正方形的面积是S＝84＝64．
故选：C．
【点评】本题考查平面图形的直观图，计算能力，属于基础题．
二、填空题（每空4分，共32分）
11．（4分）已知直棱柱的侧棱长为4，底面是边长为5的正六边形，该直棱柱的侧面积为 120 ．
【答案】120．
【分析】根据题干信息和直棱柱的侧面积公式求解即可．
【解答】解：∵直棱柱的侧棱长为4，底面是边长为5的正六边形，
∴直棱柱的侧面积为6×4×5＝120，
故答案为：120．
【点评】本题主要考查直棱柱的侧面积公式，解题的关键在于掌握直棱柱的侧面积公式，为基础题．
12．（4分）已知正四棱锥的侧面积为80，斜高为10，则该正四棱锥的底面边长为 4 ．
【答案】4．
【分析】根据题干信息和正四棱锥的侧面积公式求解即可．
【解答】解：设正四棱锥的底面边长为a，
∵正四棱锥的侧面积为80，斜高为10，
∴＝80，
∴a＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查正四棱锥的侧面积公式，解题的关键在于掌握正四棱锥的侧面积公式，为基础题．
13．（4分）与定点A（﹣5，3）的距离等于4的点的轨迹方程为 （x+5）2+（y﹣3）2＝16 ．
【答案】（x+5）2+（y﹣3）2＝16．
【分析】根据题干信息求解圆的标准方程即可．
【解答】解：与定点A（﹣5，3）的距离等于8的点的轨迹方程为（x+5）2+（y﹣4）2＝16，
故答案为：（x+5）3+（y﹣3）2＝16．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，解题的关键在于掌握圆的标准方程，为基础题．
14．（4分）过点P（4，5）且与直线y＝2x﹣7平行的直线的方程为 2x﹣y﹣3＝0 ．
【答案】2x﹣y﹣3＝0．
【分析】先求出所求直线的斜率，再根据直线的点斜式即可求解．
【解答】解：∵直线y＝2x﹣7的斜率为4，
∴所求直线的斜率为2，
∴所求直线方程为y﹣5＝4（x﹣4），即2x﹣y﹣7＝0．
故答案为：2x﹣y﹣4＝0．
【点评】本题考查两直线平行的条件以及直线的点斜式方程，难度不大．
15．（4分）设直线x+3y﹣2＝0与直线ax﹣y+2＝0垂直，则a＝ 3 .
【答案】3.
【分析】由两直线垂直斜率乘积为﹣1，可建立关于a的方程，解出即可.
【解答】解：依题意，，解得a＝3.
故答案为：3.
【点评】本题考查两直线垂直的条件，属于基础题.
16．（4分）已知圆的方程为x2+y2+2x﹣8y+8＝0，过点P（2，0）作该圆的一条切线，则线段PA的长度为 4 ．
【答案】4．
【分析】根据圆x2+y2+2x﹣8y+8＝0的标准方程为（x+1）2+（y﹣4）2＝9，圆心坐标（﹣1，4）与点P（2，0）间的距离为，圆的半径为3求解即可．
【解答】解：∵圆x2+y2+3x﹣8y+8＝7的标准方程为（x+1）2+（y﹣3）2＝9，
∴圆心坐标（﹣3，4），
∵圆心坐标（﹣1，8）与点P（2，圆的半径为5，
∴切线的长为．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质，解题的关键在于掌握直线与圆相切的性质，为基础题．
17．（4分）一圆锥形物体的高为4，底面半径为3，则这个物体的体积为 12π ．
【答案】12π．
【分析】根据题干信息和圆锥的体积公式计算求解即可．
【解答】解：∵圆锥形物体的高为4，底面半径为3，
∴这个物体的体积为＝12π，
故答案为：12π．
【点评】本题主要考查圆锥的体积公式，解题的关键在于掌握圆锥的体积公式，为基础题．
18．（4分）已知球的直径为3，则球的体积为 ．
【答案】．
【分析】根据题干信息和球的体积公式求解即可．
【解答】解：已知球的直径为3，则球的体积为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查球的体积公式，解题的关键在于掌握球的体积公式，为基础题．
三、解答题（共38分）
19．（6分）若圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面圆的直径．
【答案】6．
【分析】根据题干信息和圆锥的表面积公式求解即可．
【解答】解：设圆锥母线长为r，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴圆锥的底面半径为＝，
∵圆锥的表面积为27π，
∴＝27π，
∴r＝6．
【点评】本题主要考查圆锥的表面积公式，解题的关键在于掌握圆锥的表面积公式，为基础题．
20．（6分）已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为5，底面边长为8，求此正三棱锥的表面积．
【答案】16+36．
【分析】根据题干信息和正三棱锥的表面积公式求解即可．
【解答】解：∵正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为5，底面边长为8，
∴正三棱锥S﹣ABC的斜高为＝3，
∴正三棱锥的表面积为3×+＝16．
【点评】本题主要考查正三棱锥的表面积公式，解题的关键在于掌握正三棱锥的表面积公式，为基础题．
21．（6分）如果一个长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则称这个球为这个长方体的外接球，此时长方体的体对角线就是球的直径．已知一个长方体的三条棱长分别为1cm，3cm，求它的外接球的表面积．
【答案】14πcm2．
【分析】根据题干信息和球的表面积公式求解即可．
【解答】解：∵长方体的三条棱长分别为1cm，2cm，
∴它的外接球的半径为＝cm，
∴它的外接球的表面积为3＝14πcm2．
【点评】本题主要考查球的表面积公式，解题的关键在于掌握球的表面积公式，为基础题．
22．（6分）若圆锥的母线长为10cm，轴截面的顶角为60°，求它的体积．
【答案】cm3．
【分析】根据题干信息和圆锥的体积公式求解即可．
【解答】解：∵圆锥的母线长为10cm，轴截面的顶角为60°，
∴圆锥的底面半径为10×sin30°＝5cm，
∴圆锥的体积为＝cm3．
【点评】本题主要考查圆锥的体积公式，解题的关键在于掌握圆锥的体积公式，为基础题．
23．（6分）求过直线x﹣2y+2＝0和x+2y﹣4＝0的交点，且与圆x2+y2﹣2x+6y+5＝0的圆心相同的圆的方程．
【答案】x2+y2﹣2x+6y﹣＝0．
【分析】先求出直线x﹣2y+2＝0和x+2y﹣4＝0的交点，再设圆的方程即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴直线x﹣2y+2＝6和x+2y﹣4＝2的交点为（1，），
设与圆x2+y2﹣4x+6y+5＝8的圆心相同的圆的方程为x2+y2﹣3x+6y+m＝0，
∵5+﹣7+9+m＝0，
∴m＝﹣，
∴所求方程为x2+y2﹣8x+6y﹣＝2．
【点评】本题考查两直线的交点以及圆的一般方程，难度不大．
24．（8分）已知点P（1，﹣2）在圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4外，经过点P作圆的切线，求切线的方程．
【答案】x﹣1＝0或3x+4y+5＝0．
【分析】分直线斜率存在和直线不存在两种情况讨论求解即可．
【解答】解：当直线斜率不存在时，直线方程为x＝12+（y﹣2）2＝4相切，
当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣5）﹣2，
圆（x+1）2+（y﹣2）2＝8的圆心到直线y＝k（x﹣1）﹣2的距离d＝，
∵直线与圆相切，
∴d＝r＝2，
∴4＝d＝，
∴k＝﹣，
∴切线的方程为3x+5y+5＝0，
∴切线的方程为x﹣3＝0或3x+2y+5＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质，解题的关键在于掌握直线与圆相切的性质，为基础题．