2023-2024学年河南省新乡市致远中等专业学校高一（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年河南省新乡市致远中等专业学校高一（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）“a＞5”是“a≥3”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（3分）复数（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）已知向量，则k＝（ ）
A．﹣3B．﹣6C．6D．2
4．（3分）双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）已知向量，且，则x的值是（ ）
A．4B．﹣4C．9D．﹣9
6．（3分）已知向量，向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A．B．4C．6D．18
8．（3分）设F1，F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点1F2的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．22
9．（3分）已知椭圆 的两个焦点分别是 F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率 ，则椭圆 C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．+＝1
10．（3分）二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，A∈α，A到β的距离AD为（ ）
A．B．C．1D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两焦点距离之和为 ．
12．（3分）复数z＝2﹣i（i是虚数单位），则＝ ．
13．（3分）已知，，则＝ ．
14．（3分）已知向量，，且，则m的值等于 ．
15．（3分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是棱CC1的中点，直线AP和平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ＝ ．
三、解答题（共55分）
16．（9分）对下列向量进行计算．
（1）（3﹣2）﹣（﹣）；
（2）（﹣3﹣）﹣2（+2﹣）．
17．（9分）已知z＝﹣2+3i，求：
（1）；
（2）．
18．（9分）已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8，求椭圆的标准方程．
19．（9分）已知点为双曲线上的点
20．（9分）已知抛物线的顶点是双曲线49x2﹣4y2＝196的中心，焦点是双曲线的左焦点，求抛物线的标准方程．
21．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱A1A上的中点，求证：
（1）求证：BD∥面PB1D1；
（2）求PC1与面BCC1B1所成角的正弦值。
2023-2024学年河南省新乡市致远中等专业学校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：（每题3分，共30分）
1．（3分）“a＞5”是“a≥3”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分必要条件即可求解．
【解答】解：∵“a＞5”⇒“a≥3”，但“a≥7”推不出“a＞5”，
∴“a＞5”是“a≥3”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件，难度不大．
2．（3分）复数（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据复数的运算法则得到复数＝＝，再求解|z|即可。
【解答】解：∵复数＝＝，
∴|z|＝＝，
故选：D。
【点评】本题主要考查复数，解题的关键在于掌握复数的运算法则，为基础题。
3．（3分）已知向量，则k＝（ ）
A．﹣3B．﹣6C．6D．2
【答案】B
【分析】根据两向量共线的条件建立关于k的方程，解出即可．
【解答】解：依题意，k+6＝0，
解得k＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查两向量共线的条件，属于基础题．
4．（3分）双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】双曲线的渐近线方程为.
【解答】解：双曲线的渐近线方程是.
故选：D。
【点评】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
5．（3分）已知向量，且，则x的值是（ ）
A．4B．﹣4C．9D．﹣9
【答案】D
【分析】根据向量垂直的性质求解即可。
【解答】解：∵向量，且，
∴﹣2x﹣18＝0，
∴x＝﹣4，
故选：D。
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，解题的关键在于掌握向量垂直的性质，为基础题。
6．（3分）已知向量，向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出＝（1，﹣3），再根据两向量的夹角公式＝＝进行求解即可。
【解答】解：由题意可得，＝（1，
∴cs＜＞＝＝＝，
又∵0≤θ≤π，
∴＜＞＝，
故选：D。
【点评】本题考查了向量线性运算的坐标表示，考查了向量的数量积以及夹角公式，属于基础题。
7．（3分）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A．B．4C．6D．18
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义，转化求解即可．
【解答】解：椭圆，可知a＝7上的一点到两个焦点的距离之和为：8a＝6．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的定义的应用，简单性质的应用，是基础题．
8．（3分）设F1，F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点1F2的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】B
【分析】由已知中椭圆的标准方程，可又求出椭圆的a＝5，b＝3，c＝4，进而根据三角形PF1F2的周长|PF1|+|PF2|+|F1+F2|＝2（a+c），可得答案．
【解答】解：由椭圆的方程可得
a＝5，b＝5
∵F1，F2是椭圆的两焦点，
P为椭圆上一点，
∴三角形PF1F2的周长为|PF8|+|PF2|+|F1+F8|＝2（a+c）＝18
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，其中根据椭圆上一点到两焦点的距离和为2a，将三角形PF1F2的周长|PF1|+|PF2|+|F1+F2|转化为2（a+c），是解答的关键．
9．（3分）已知椭圆 的两个焦点分别是 F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率 ，则椭圆 C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．+＝1
【答案】A
【分析】根据题干条件可求出a，b，c，进而可求出椭圆的标准方程。
【解答】解：由椭圆的定义，可知c＝2，
由离心率e＝＝，解得a＝62＝82﹣28＝32，
所以椭圆C的标准方程为，
故选：A。
【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，属于基础题。
10．（3分）二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，A∈α，A到β的距离AD为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】作图，结合题意可得AE，DE，再由等面积法即可得解.
【解答】解：如图，AD⊥平面α，DE⊥l，
在Rt△ADE中，，则，
设点D到平面α的距离为h，则点D到斜边AE上的高也为h，
由等面积法可知，，解得.
故选：B。
【点评】本题考查二面角的定义及其运用，考查等面积法的运用，考查运算求解能力，属于基础题.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两焦点距离之和为 8 ．
【答案】8．
【分析】根据椭圆的定义结合已知方程即可得解．
【解答】解：由椭圆的定义可知，P到该椭圆的两焦点距离之和为，
故答案为：8．
【点评】本题考查椭圆的定义，属于基础题．
12．（3分）复数z＝2﹣i（i是虚数单位），则＝ ．
【答案】．
【分析】先求出复数z＝2﹣i的共轭复数，再求出2z﹣，最后求出2z﹣的模．
【解答】解：∵复数z＝2﹣i，
∴＝2+i，
∴7z﹣＝4﹣2i﹣（6+i）＝2﹣3i，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的运算，难度不大．
13．（3分）已知，，则＝ ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【分析】根据题干信息和向量的运算法则计算求解即可．
【解答】解：∵，，
∴2﹣＝（8，
∴＝1﹣4＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于掌握向量的运算法则，为基础题．
14．（3分）已知向量，，且，则m的值等于 ﹣ ．
【答案】﹣．
【分析】根据题干信息和向量的运算法则计算求解即可．
【解答】解：∵向量，，且，
∴4m+2＝﹣m，
∴m＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于掌握向量的运算法则，为基础题．
15．（3分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是棱CC1的中点，直线AP和平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ＝ ．
【答案】.
【分析】作图，易知θ＝∠APB，求出BP的长，然后在Rt△ABP中，求其正切值即可.
【解答】解：如图，连接BP，
在正方体中，易知AB⊥平面BCC1B1，则AP在平面BCC6B1内的射影为BP，
∴∠APB为所求线面角，即θ＝∠APB，
又正方体的棱长为2，则，
∴在Rt△ABP中，.
故答案为：.
【点评】本题考查线面角的定义及其求解，考查运算求解能力，属于基础题.
三、解答题（共55分）
16．（9分）对下列向量进行计算．
（1）（3﹣2）﹣（﹣）；
（2）（﹣3﹣）﹣2（+2﹣）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
17．（9分）已知z＝﹣2+3i，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）13；（2）﹣24i．
【分析】先求出，再根据复数代数形式的运算即可求解．
【解答】解：（1）∵z＝﹣2+3i，
∴＝﹣7﹣3i，
∴＝（﹣2+6i）（﹣2﹣3i）＝8+9＝13；
（2）＝﹣4×2i＝﹣24i．
【点评】本题考查复数代数形式的运算，难度不大．
18．（9分）已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8，求椭圆的标准方程．
【答案】或．
【分析】根据题意可a，c的值，继而求得b，由此可得椭圆方程．
【解答】解：依题意，，
则，
故，
于是椭圆的标准方程为或．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题．
19．（9分）已知点为双曲线上的点
【答案】6或14．
【分析】求出双曲线右焦点F的坐标，把点P（m，3）代入双曲线方程，解得m，再计算|PF|，即可得出答案．
【解答】解：因为双曲线的方程，
所以a2＝16，b2＝9，
所以c2＝a8+b2＝25，即c＝5，
所以双曲线右焦点F（8，0），
因为点P（m，3）在双曲线﹣，
所以﹣＝7，
所以m＝±8，
所以P（±8，3），
所以|PF|＝＝6或，
所以点P到右焦点的距离为6或14．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
20．（9分）已知抛物线的顶点是双曲线49x2﹣4y2＝196的中心，焦点是双曲线的左焦点，求抛物线的标准方程．
【答案】y2＝﹣4x．
【分析】先求出双曲线49x2﹣4y2＝196的中心以及左焦点，再根据抛物线的顶点是双曲线49x2﹣4y2＝196的中心，焦点是双曲线的左焦点即可求解．
【解答】解：∵双曲线49x2﹣4y6＝196的标准方程为﹣＝1，
∴双曲线的中心为（0，7），0），3），
∴抛物线的标准方程为y2＝﹣4x．
【点评】本题考查双曲线的性质以及抛物线的标准方程，难度不大．
21．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱A1A上的中点，求证：
（1）求证：BD∥面PB1D1；
（2）求PC1与面BCC1B1所成角的正弦值。
【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【分析】（1）先证四边形BDD1B1是平行四边形，从而得到BD∥B1D1，从而可证BD∥面PB1D1；
（2）设E为BB1的中点，连接PE，A1C1，C1E，根据PE∥A1B1可知PE⊥BB1，再根据B1C1⊥面ABB1A1可知B1C1⊥PE，从而可证PE⊥面BCC1B1，即∠PC1E是PC1与面BCC1B1所成角，再根据sin∠PC1E＝即可求解．
【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C5D1，
∴BB1∥DD7，BB1＝DD1，
∴四边形BDD3B1是平行四边形，
∴BD∥B1D8，
∵BD⊄面PB1D1，B6D1⊂面PB1D3，
∴BD∥面PB1D1；
（2）设E为BB4的中点，连接PE，A1C1，C6E，
∵P是棱A1A上的中点，
∴PE∥A1B3，
∴PE⊥BB1，
∵B1C8⊥面ABB1A1，PE⊂面ABB5A1，
∴B1C7⊥PE，
∵B1C1∩BB7＝B1，B1C4⊆面BCC1B1，BB7⊆面BCC1B1，
∴PE⊥面BCC4B1，
∴∠PC1E是PC8与面BCC1B1所成角，
设A8A＝a，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查直线与平面所成的角、直线与平面平行的判定以及直线与平面垂直的判定，难度中等．