2023-2024学年山西省晋中市太谷区职业中学升学班高二（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年山西省晋中市太谷区职业中学升学班高二（上）期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列语句不是命题的是（ ）
A．15是3的倍数B．15能被3整除吗？
C．3是15的约数D．3和5是15的约数
2．（3分）已知3，x，7构成等差数列，则x的值为（ ）
A．4B．15C．5D．﹣5
3．（3分）已知A（﹣1，1），B（3，3），则线段AB的中点坐标（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，2）D．（3，﹣2）
4．（3分）已知向量＝（2，3），＝（6，3），则2＝（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣9）D．（2，3）
5．（3分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．﹣1
6．（3分）圆心为点C（2，﹣1），半径为4的圆的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y+1）2＝4B．（x﹣2）2+（y+1）2＝16
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝16D．（x+2）2+（y﹣1）2＝4
7．（3分）抛物线y2＝﹣10x的准线方程为（ ）
A．x＝﹣5B．x＝5C．D．
8．（3分）等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为（ ）
A．81B．120C．168D．192
9．（3分）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．（﹣，0），（，0）B．（0，﹣），（0，）
C．（﹣5，0），（5，0）D．（0，﹣5），（0，5）
10．（3分）椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（每题4分，共32分）
11．（4分）若a∈R，则“a＝2”是“（a﹣1）（a﹣2）＝0”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．
12．（4分）若数列{an}为等差数列，a5＝4，a8＝19，则数列{an}的前10项和为 ．
13．（4分）在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，求a11＝ ．
14．（4分）向量＝（1，2），向量＝（2，﹣4）则向量＝ ．
15．（4分）已知A（3，5），B（1，﹣2），则向量AB的长度为 ．
16．（4分）直线l的方程是y＝﹣x+6，则横截距为 ．
17．（4分）双曲线的渐近线方程为 ．
18．（4分）a＝6，c＝1，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 ．
三．解答题（共38分）
19．（6分）在等差数列{an}中，已知d＝2，a6＝11，求a1和S6．
20．（6分）求顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点（﹣4，﹣4）的抛物线的标准方程．
21．（6分）已知直线l过点（0，2），且垂直于直线x﹣3y+2＝0，求直线l的方程．
22．（6分）已知点A（3，8），B（x，2）和向量＝（1，2），且，求x的值．
23．（6分）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程．
24．（8分）已知点P（1，﹣2）在圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4外，经过点P作圆的切线，求切线的方程．
2023-2024学年山西省晋中市太谷区职业中学升学班高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列语句不是命题的是（ ）
A．15是3的倍数B．15能被3整除吗？
C．3是15的约数D．3和5是15的约数
【答案】B
【分析】根据命题的定义即可求解．
【解答】解：∵命题是能判断真假的陈述句，
∴A、C、D都是命题，B不是命题．
故选：B．
【点评】本题考查命题，难度不大．
2．（3分）已知3，x，7构成等差数列，则x的值为（ ）
A．4B．15C．5D．﹣5
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质即可求解．
【解答】解：∵3，x，7构成等差数列，
∴2x＝3+7，
∴x＝5．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质，难度不大．
3．（3分）已知A（﹣1，1），B（3，3），则线段AB的中点坐标（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，2）D．（3，﹣2）
【答案】C
【分析】根据线段的中点坐标公式进行求解即可．
【解答】解：由A（﹣1，1），B（3，3），
可得线段AB的中点坐标为（，），即（1，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了线段的中点坐标公式，属于基础题．
4．（3分）已知向量＝（2，3），＝（6，3），则2＝（ ）
A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣9）D．（2，3）
【答案】A
【分析】根据题干信息和向量的运算法则求解即可．
【解答】解：∵向量＝（2，3），＝（6，3），
∴2＝（4﹣6，6﹣3）＝（﹣2，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于数值运算，为基础题．
5．（3分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．﹣1
【答案】C
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解．
【解答】解：∵直线x+y+1＝0的斜率为﹣1，
∴直线x+y+1＝0的倾斜角为．
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率，难度不大．
6．（3分）圆心为点C（2，﹣1），半径为4的圆的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y+1）2＝4B．（x﹣2）2+（y+1）2＝16
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝16D．（x+2）2+（y﹣1）2＝4
【答案】B
【分析】根据题干信息和圆的标准方程求解即可．
【解答】解：圆心为点C（2，﹣1），半径为4的圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝16，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，解题的关键在于掌握圆的标准方程，为基础题．
7．（3分）抛物线y2＝﹣10x的准线方程为（ ）
A．x＝﹣5B．x＝5C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线y2＝﹣10x得到2p＝﹣10，进一步可得抛物线y2＝﹣10x的准线方程为x＝﹣，即x＝。
【解答】解：∵抛物线y2＝﹣10x，2p＝﹣10，
∴抛物线y2＝﹣10x的准线方程为x＝﹣，即x＝，
故选：D。
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，解题的关键在于掌握抛物线准线方程的求解方法，为基础题。
8．（3分）等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为（ ）
A．81B．120C．168D．192
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质、通项公式以及前n项和公式即可求解．
【解答】解：∵等比数列{an}，a2＝9，a5＝243，
∴a5＝a2q3＝243，
∴q3＝27，
∴q＝3，
∴a2＝a1q＝9，
∴a1＝3，
∴{an}的前4项和为＝＝120．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的性质、通项公式以及前n项和公式，难度不大．
9．（3分）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．（﹣，0），（，0）B．（0，﹣），（0，）
C．（﹣5，0），（5，0）D．（0，﹣5），（0，5）
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程可得c的值，进而得到答案．
【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，
且，
则焦点坐标为（5，0），（﹣5，0），
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
10．（3分）椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由椭圆方程求得a，c的值，则椭圆离心率可求．
【解答】解：由椭圆，得a2＝25，b2＝9，
则a＝5，c＝．
∴椭圆的离心率是e＝．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，是基础题．
二．填空题（每题4分，共32分）
11．（4分）若a∈R，则“a＝2”是“（a﹣1）（a﹣2）＝0”的 充分不必要 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．
【答案】充分不必要．
【分析】根据充分必要条件即可求解．
【解答】解：∵（a﹣1）（a﹣2）＝0，
∴a＝1或a＝2，
∴“a＝2”是“（a﹣1）（a﹣2）＝0”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查充分必要条件，难度不大．
12．（4分）若数列{an}为等差数列，a5＝4，a8＝19，则数列{an}的前10项和为 65 ．
【答案】65．
【分析】根据数列{an}为等差数列，a5＝4，a8＝19得到并求解a1+4d＝4，a1+7d＝19即可．
【解答】解：∵数列{an}为等差数列，a5＝4，a8＝19，
∴a1+4d＝4，a1+7d＝19，
∴a1＝﹣16，d＝5，
∴a10＝﹣16+5（10﹣1）＝29，
∴数列{an}的前10项和为＝65，
故答案为：65．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
13．（4分）在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，求a11＝ ．
【答案】．
【分析】根据等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6和等比数列的基本性质计算求解即可．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，
∴q2＝，
∴a11＝4×＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查等比数列的基本性质，解题的关键在于掌握等比数列的基本性质，为基础题．
14．（4分）向量＝（1，2），向量＝（2，﹣4）则向量＝ ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【分析】利用平面向量的数量积公式求解即可．
【解答】解：．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查内积的坐标表示，属于基础题．
15．（4分）已知A（3，5），B（1，﹣2），则向量AB的长度为 ．
【答案】．
【分析】由两点间的距离公式得解．
【解答】解：由两点间的距离公式可得，，
故答案为：．
【点评】本题考查两点间的距离公式，属于基础题．
16．（4分）直线l的方程是y＝﹣x+6，则横截距为 6 ．
【答案】6．
【分析】根据题干信息和直线方程的基本性质求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣x+6，y＝0，
∴x＝6，
∴直线l的横截距为6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查直线方程的基本性质，解题的关键在于数值运算，为基础题．
17．（4分）双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】．
【分析】根据双曲线方程直接得出渐近线方程．
【解答】解：双曲线中，a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，
则其渐近线方程为，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
18．（4分）a＝6，c＝1，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 +＝1 ．
【答案】+＝1.
【分析】根据题意可设椭圆的方程为+＝1，由a＝6，c＝1，b2＝a2﹣c2，解得b，即可得出答案.
【解答】解：根据题意可设椭圆的方程为+＝1，
因为a＝6，c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝35，
所以椭圆的方程为+＝1.
故答案为：+＝1.
【点评】本题考查椭圆的方程，属于基础题.
三．解答题（共38分）
19．（6分）在等差数列{an}中，已知d＝2，a6＝11，求a1和S6．
【答案】a1＝1，S6＝36．
【分析】根据等差数列{an}中，已知d＝2，a6＝11和等差数列的基本性质和前n项和公式计算
【解答】解：∵等差数列{an}中，已知d＝2，a6＝11，
∴a1＝11﹣5×2＝1，
∴S6＝＝36．
【点评】本题主要考查等差数列的基本性质和前n项和公式，解题的关键在于数值运算，为基础题．
20．（6分）求顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点（﹣4，﹣4）的抛物线的标准方程．
【答案】y2＝﹣4x．
【分析】分析可知抛物线的焦点在x轴的负半轴，设出抛物线方程，代入点的坐标，即可得出答案．
【解答】解：由于顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点（﹣4，﹣4），
则抛物线的焦点在x轴的负半轴，
设抛物线方程为y2＝﹣2px（p＞0），
则16＝8p，解得p＝2，
则抛物线的标准方程为y2＝﹣4x．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．
21．（6分）已知直线l过点（0，2），且垂直于直线x﹣3y+2＝0，求直线l的方程．
【答案】3x+y﹣2＝0．
【分析】根据题干信息和直线垂直的条件计算求解即可．
【解答】解：∵直线x﹣3y+2＝0的斜率为，
∴过点（0，2），且垂直于直线x﹣3y+2＝0的方程为y﹣2＝x，即3x+y﹣2＝0．
【点评】本题主要考查直线垂直的条件，解题的关键在于数值运算，为基础题．
22．（6分）已知点A（3，8），B（x，2）和向量＝（1，2），且，求x的值．
【答案】x＝0．
【分析】根据点A（3，8），B（x，2）和向量＝（1，2），且和向量的运算法则求解即可．
【解答】解：∵点A（3，8），B（x，2），
∴＝（x﹣3，﹣6），
∵，向量＝（1，2），
∴﹣6＝2x﹣6，
∴x＝0．
【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于数值运算，为基础题．
23．（6分）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程．
【答案】双曲线的标准方程为．
【分析】根据椭圆的焦点为（±，0），顶点坐标为（±4，0）和（0，±3），双曲线以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点求解即可．
【解答】解：∵椭圆的焦点为（±，0），顶点坐标为（±4，0）和（0，±3），双曲线以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，
∴双曲线的顶点为（±，0），焦点为（±4，0），
∵42﹣（±）2＝9，
∴双曲线的标准方程为．
【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，解题的关键在于数值运算，为基础题．
24．（8分）已知点P（1，﹣2）在圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4外，经过点P作圆的切线，求切线的方程．
【答案】x﹣1＝0或3x+4y+5＝0．
【分析】分直线斜率存在和直线不存在两种情况讨论求解即可．
【解答】解：当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，与圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4相切，
当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣1）﹣2，
圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心到直线y＝k（x﹣1）﹣2的距离d＝，
∵直线与圆相切，
∴d＝r＝2，
∴2＝d＝，
∴k＝﹣，
∴切线的方程为3x+4y+5＝0，
∴切线的方程为x﹣1＝0或3x+4y+5＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆相切的性质，解题的关键在于掌握直线与圆相切的性质，为基础题．