数学（二）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略（含答案）

这是一份数学（二）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略（含答案），共285页。试卷主要包含了行列定位法，经纬定位法，方位角和距离定位法，区域定位法，方格定位法，5；，方程组解的几何意义，35　h后两人相遇．等内容，欢迎下载使用。
（二）
平面直角坐标系与函数命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题01
一次函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 49
反比例函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 102
二次函数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 156
函数综合 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 227
平面直角坐标系
平面直角坐标系是初中数学中非常基础且重要的概念，尤其在中考数学中，关于平面直角坐标系的命题通常会涉及以下几个方面：点坐标的基本性质、 函数与坐标系的结合、与几何图形的结合、实际应用问题等。
针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握基本概念、理解函数与坐标系的关系、掌握几何图形的性质、提高解题能力等。
在中考数学中，关于函数的基本知识的命题预测通常会涵盖以下几个方面：函数定义和性质、函数图像、函数的应用等。
针对这些可能的命题方向，给出以下建议：熟练掌握函数的基本概念和性质、学会绘制函数图像、注重函数的应用。

Ⅰ、平面上确定物体位置的方法
1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置.
将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置.
2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置.
3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示.
PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可.
4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准.
5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）.
Ⅱ、平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
1. 平面直角坐标系
平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示：
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同.
2.点的坐标
（1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示：
（2）确定点的坐标的方法：
①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标；
②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标.
③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来.
（3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的.
（4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
（5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.
二、象限的划分与点的坐标特征
1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示：
2.点的坐标特征
点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下：
PS：原点既在x轴上，又在y轴上.
三、图形变换与点的坐标变化
1.对称点的坐标特征
（1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）；
（2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）；
（3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）.
2.图形的变化与坐标特征
对于图形上任意一点A（a，b）
PS：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移.
Ⅲ、函数
一、变量与常量
1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量.
3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示.
二、函数的概念
1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数.
3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应.
4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数.
三、函数的三种常见表示方法
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
四、函数的图像
在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像.
知识点五、函数的自变量与函数值
1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
2.常见函数自变量取值范围的确定：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值.
（1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值.
（2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.
1．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（1，3）C．（4，1）D．（3，2）
【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
2．（2023•滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据化学知识和函数图象的知识，分析几个选项即可．
【解答】解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始pH＞7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，pH值逐渐减小．故选：B．
【点评】本题属于数学与化学知识相结合的题型，难度不大，认真分析图形即可．
3．（2023•南通）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为（ ）
A．54B．52C．50D．48
【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可．
【解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB QUOTE 25，
①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，
此时AD＝x，
∵ED⊥AB，
∴∠DEA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴△CAB∽△EAD，
∴ QUOTE ，
∴AE QUOTE ，
DE QUOTE ，
BE＝25 QUOTE ，
∴y QUOTE BE•DE QUOTE （25 QUOTE ） QUOTE 10x QUOTE ，
当x＝10时，y＝76，
∴a＝76，
②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示，
此时BD＝35﹣x，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠C，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴ QUOTE ，
∴BE QUOTE 28 QUOTE ，
DE QUOTE 21 QUOTE ，
∴y QUOTE DE•BE QUOTE （28 QUOTE ）×（21 QUOTE ）＝（14 QUOTE ）（21 QUOTE ），
当x＝25时，y＝24，
∴b＝24，
∴a﹣b＝76﹣24＝52，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握．
4．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3 QUOTE ，点C为平面内一动点，BC QUOTE ，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ ）
A．（ QUOTE ， QUOTE ）B．（ QUOTE ， QUOTE ）
C．（ QUOTE ， QUOTE ）D．（ QUOTE ， QUOTE ）
【分析】由题意可得点C在以点B为圆心， QUOTE 为半径的⊙B上，在x轴的负半轴上取点D（ QUOTE ，0），连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得 QUOTE ，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD QUOTE ，
∴点C在以点B为圆心， QUOTE 为半径的⊙B上，
在x轴的负半轴上取点D（ QUOTE ，0），
连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，
∵OA＝OB QUOTE ，
∴AD＝OD+OA QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∵CM：MA＝1：2，
∴ QUOTE ，
∵∠OAM＝∠DAC，
∴△OAM∽△DAC，
∴ QUOTE ，
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，
∵OA＝OB QUOTE ，OD QUOTE ，
∴BD QUOTE ，
∴CD＝BC+BD＝9，
∵ QUOTE ，
∴OM＝6，
∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，
∴∠DOB＝∠DFC＝90°，
∵∠BDO＝∠CDF，
∴△BDO∽△CDF，
∴ QUOTE ，即 QUOTE ，
解得CF QUOTE ，
同理可得，△AEM∽△AFC，
∴ QUOTE ，即 QUOTE ，
解得ME QUOTE ，
∴OE QUOTE ，
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（ QUOTE ， QUOTE ），
故选D．
【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
5．（2023•河南）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为 QUOTE ，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6B．3C． QUOTE D． QUOTE
【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO QUOTE ，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为 QUOTE ，可知AO＝OB QUOTE ，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cs30°，进而得出等边三角形ABC的边长．
【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
\
结合图象可知，当点P在AO上运动时， QUOTE ，
∴PB＝PC， QUOTE ，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO＝30°，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为 QUOTE ，
∴OB QUOTE ，即AO＝OB QUOTE ，
∴∠BAO＝∠ABO＝30°，
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD＝BD，则AD＝AO•cs30°＝3，
∴AB＝AD+BD＝6，
即等边三角形ABC的边长为6．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
6．（2023•泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 ．
【分析】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2023在第一象限，求出点A2023的纵坐标为 QUOTE ，得出答案．
【解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分别作x轴的垂线，
∵△A1A2O是边长为2正三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B QUOTE ，
∴点A1横坐标为1，
由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…
因此点A2023横坐标为2023，
∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，
∴点A2023在第一象限，
∴点A2023的纵坐标为 QUOTE ，
即点A2023（2023， QUOTE ），
故答案为：（2023， QUOTE ）．
【点评】本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
7．（2023•烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 ．
【分析】过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ．然后等面积法即可求解．
【解答】解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，
∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3，
在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，
∴AQ QUOTE ，
∵S△ABC QUOTE AB×CG QUOTE AQ×BC，
∴CG QUOTE ．
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
8．（2023•大连）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，直线AB与直线y＝x相交于点C，点P是线段OA上一个动点（不与点A重合），过点P作x轴的垂线与直线AB相交于点D．设点P的横坐标为t．△DPA与△COA重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示（其中0≤t＜m与m≤t＜4时，函数的解析式不同）．
（1）点A的坐标是 ，△COA的面积是 ．
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）从图2知，OA＝4，即点A（4，0），当点D和点B重合时，S＝S△AOC QUOTE ，即可求解；
（2）当 QUOTE t＜4时，，则S QUOTE AP×PD QUOTE AP×PA•tan∠BOA QUOTE （4﹣t）2 QUOTE （t﹣4）2；当0≤t QUOTE 时，，
则S＝S△OCA﹣S△OPH QUOTE PH•OP QUOTE t2，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，设PD交OC于点C，
从图2知，OA＝4，即点A（4，0），
当点D和点B重合时，S＝S△AOC QUOTE ；
故答案为：（4，0）， QUOTE ；
（2）S＝S△AOC QUOTE AO•yC＝2yC，
则yC QUOTE ，
则点C（ QUOTE ， QUOTE ），则m QUOTE ，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y QUOTE x+2，
则点B（0，2）；
由直线AC的表达式知，tan∠BOA QUOTE ；
当 QUOTE t＜4时，
则S QUOTE AP×PD QUOTE AP×PA•tan∠BOA QUOTE （4﹣t）2 QUOTE （t﹣4）2；
当0≤t QUOTE 时，
如图1，则S＝S△OCA﹣S△OPH QUOTE PH•OP QUOTE t2，
则S QUOTE ．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，分类求解和解直角三角形是解题的关键．
1．（2023•武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
2．（2023•拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定成立的是（ ）
A．a＜3B．b＞3C．a＞bD．a＜b
3．（2024•安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023•广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（2023•盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C．17D．5 QUOTE
7．（2023•甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 QUOTE 个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是 ．
1．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C．17D．5 QUOTE
2．（2024•东营区校级一模）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（ ）
A．1cm/sB． QUOTE cm/sC． QUOTE cm/sD． QUOTE cm/s
3．（2024•广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023•肇东市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为 ．
5．（2023•铁锋区三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为 ．
6．（2024•北流市一模）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出m＝ ，a＝ ，b＝ ；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．
7．（2023•七星区校级模拟）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．
（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．
（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．
8．（2023•定远县校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、 QUOTE cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
1．在函数 QUOTE 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≠3
C．x＞﹣1D．x≥﹣1 且x≠3
2．若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜2C．0＜a＜2D．a＜0或a＞2
3．如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中A1（1，0），A2（1，1），A3（0，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，0），⋯，则A2025的坐标是（ ）
A．（23，﹣22）B．（22，﹣22）C．（45，﹣44）D．（44，﹣44）
4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力 QUOTE
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底 QUOTE
5．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（5，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为 ．
6．已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止，设点P运动的时间为t秒，△PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边BC上的高等于 ．
7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 ；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为6时，求输入的x值．
1．（2023•武侯区模拟）若点A（a，a﹣1）在x轴上，则点B（a+1，a﹣2）在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】由点A在x轴上求出a的值，从而得出点B的坐标，继而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，a﹣1）在x轴上，
∴a﹣1＝0，即a＝1，
则点B坐标为（2，﹣1），
∴点B在第四象限，
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点．
2．（2023•拱墅区二模）平面直角坐标系中，已知A（a，3），B（3，b）位置如图所示，则下列关系一定成立的是（ ）
A．a＜3B．b＞3C．a＞bD．a＜b
【分析】根据点的坐标的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：如图：
A、a＜3，故A符合题意；
B、b＜3，故B不符合题意；
C、a与b的大小关系不能确定，故C不符合题意；
D、a与b的大小关系不能确定，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标的意义是解题的关键．
3．（2024•安徽模拟）已知点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由点A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），C（3，m）在同一个函数图象上，可得B与C关于y轴对称；当x＜0时，y随x的增大而减小，继而求得答案．
【解答】解：∵点B（﹣3，m），C（3，m），
∴B与C关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；
∵A（﹣6，m+2），B（﹣3，m），
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
4．（2023•广饶县校级模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2；利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝10；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．
【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝10．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，
设BE的长度为t，
则BA＝t+2，
∴（t+2）2+t2＝100，
即：t2+t﹣48＝0，
∴（t+8）（t﹣6）＝0，
由于t＞0，
∴t+8＞0，
∴t﹣6＝0，
∴t＝6．
∴BC＝2BE＝2t＝2×6＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．
5．（2023•盐城）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），对此，小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1；②当x＞﹣3时，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1）在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①②通过观察函数图象判断即可；
③写出点P所在的函数，并画出其图象，根据它们交点的个数判断即可；
④通过观察函数图象判断即可．
【解答】解：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1或x＞3，
∴①不正确．
②由图象可知，当x＞﹣3时，y有最小值，
∴②正确．
③令x＝m，y＝﹣m﹣1，
∴y＝﹣x﹣1，
∴点P（m，﹣m﹣1）在直线y＝﹣x﹣1上．
y＝﹣x﹣1的函数图象为：
由图象可以看出，它们有三个交点，
∴符合要求的点P有3个，
∴③不正确．
④将函数y的图象向右平移1个单位长度时，原图象上坐标为（﹣1，0）的点过原点；
将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为（﹣3，0）的点过原点；
∴④正确．
综上，只有②④正确．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是本题的关键．
6．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C．17D．5 QUOTE
【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．
【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，
∴AB＝15，
∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；
∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），
∴BC＝2×4＝8；
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；
故选C．
【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．
7．（2023•甘南县一模）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 QUOTE 个单位长度，则第2021秒时，点P的坐标是 ．
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为 QUOTE 2π×1＝π，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 QUOTE 个单位长度，
∴点P每秒走 QUOTE 个半圆，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），
…，
∵2021÷4＝505余1，
∴P的坐标是（2021，1），
故答案为：（2021，1）．
【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
1．（2024•秦州区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C．17D．5 QUOTE
【分析】根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．
【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，
∴AB＝15，
∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；
∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），
∴BC＝2×4＝8；
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；
故选C．
【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB，BC的长是解题的关键．
2．（2024•东营区校级一模）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（ ）
A．1cm/sB． QUOTE cm/sC． QUOTE cm/sD． QUOTE cm/s
【分析】从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为 QUOTE AP＝1，当x＝0时，AP＝AB QUOTE ，故OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝1，走过的了角度为90°，进而求解．
【解答】解：从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为 QUOTE AP＝1，
当x＝0时，AP＝AB QUOTE ，
故OA⊥OB，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，
此时x＝1，走过的了角度为90°，则走过的弧长为 QUOTE 2π×r QUOTE ，
故点P的运动速度是 QUOTE 1 QUOTE （cm/s），
故选：C．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
3．（2024•广平县模拟）如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别延长AE，BF交于点H，则可证得四边形EPFH为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得G为EF的中点，也是PH的中点，所以G的运动轨迹是三角形HCD的中位线，所以点G到直线AB的距离为y是一个定值，问题得解．
【解答】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A＝∠FPB＝60°，
∴AH∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∴G为HP的中点，
∵EF的中点为G，
∴P从点C运动到点D时，G始终为PH的中点，
∴G运动的轨迹是三角形HCD的中位线MN，
又∵MN∥CD，
∴G到直线AB的距离为一定值，
∴y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是一平行于x轴的射线（x≥0）．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，利用到的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
4．（2023•肇东市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为 ．
【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．
【解答】解：（0，1），共1个，
（0，2），（1，2），共2个，
（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，
…，
依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，
1+2+3+…+n QUOTE ，
当n＝13时， QUOTE 91，
所以，第90个点的纵坐标为13，
（13﹣1）÷2＝6，
∴第91个点的坐标为（﹣6，13），
第90个点的坐标为（﹣5，13）．
故答案为：（﹣5，13）．
【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．
5．（2023•铁锋区三模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象，如此下去，则点D2023的坐标为 ．
【分析】根据等边三角形的性质分别求出C1C2，C2C3，C3C4，…，C2020C2021的边长即可解决问题．
【解答】解：∵等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，
∴OC＝1，C1C＝CD QUOTE OC QUOTE ，
∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2018C2019的长分别为1， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ，…， QUOTE ，
OC2023＝OC+CC1+C1C2+C2C3，…+C2022C2023＝1 QUOTE ，
等边△A2023C2022C2023顶点A2023的横坐标 QUOTE ，
等边△A2023C2022C2023顶点A2023的纵坐标 QUOTE ．
∴等边△A2023C2022C2023的边A2023C2023中点D2023横坐标为（ QUOTE ） QUOTE ．
D2023纵坐标为 QUOTE ．
故答案为：（ QUOTE ， QUOTE ）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是An点的横坐标变化规律．
6．（2024•北流市一模）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）求长方形的长；
（2）直接写出m＝ 1 ，a＝ 4 ，b＝ 9 ；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式．
【分析】（1）由图象可知，BC的长度，在5≤x≤7时，S△ABP＝12，求出BC的长；
（2）当x＝a时，S△ABP＝8，从而得出a和m的值，当x＝b时，S△ABP＝4，从而求得b的值；
（3）分0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤4三种情况讨论．
【解答】解：（1）在5≤x≤7时，△ABP的面积不变，
此时：点P在BC上运动，速度为每秒2个单位，
∴AD＝BC＝2×2＝4，
在5≤x≤7时，△ABP的面积为12，
∴ QUOTE 4×BC＝12，
∴BC＝6，
∴长方形的长为6．
（2）当x＝a时，S△ABP QUOTE 4×BP＝8，
∴BP＝4，
∴CP＝2，
∴a＝5﹣（2÷2）＝4，
∴m QUOTE 1，
当x＝b时，S△ABP QUOTE 4×AP＝4，
∴AP＝2，
∴DP＝4，
∴b＝7+（4÷2）＝9；
故答案为：1；4；9；
（3）根据题意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4；
当0≤x≤1时，如图，BP＝3+x，CQ＝x，
∴y QUOTE BP•CQ QUOTE （3+x）•x QUOTE x2 QUOTE x；
当1＜x≤2时，如图，BP＝4+2（x﹣1）＝2x+2，CQ＝x，
y QUOTE BP•CQ QUOTE （2x+2）•x＝x2+x；
当2＜x≤4时，如图，CP＝2（x﹣2），CQ＝x，
∴PQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x，
∴y QUOTE BP•CQ QUOTE （4﹣x）•6＝12﹣3x；
∴y QUOTE ．
【点评】本题是函数综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积公式，学生观察图象的能力，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
7．（2023•七星区校级模拟）如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．
（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．
（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．
【分析】（1）由函数图象可知，CD＝40﹣25＝15，此时S QUOTE DM•AD QUOTE 15×AD＝75，解得AD＝10，即可求解；
（2）由题意得，当Q运动到A停止的时间为 QUOTE ，而点P运动到D的时间为 QUOTE 6，故只能有点P、Q都在AD边上，此时有以PQ为底边，CD为高的三角形CPQ，再分按点P在Q上方、点P在点Q下方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由函数图象可知，CD＝40﹣25＝15，
此时S QUOTE DM•AD QUOTE 15×AD＝75，解得：AD＝10，
∴AD＝10，CD＝15；
（2）由题意得，当Q运动到A停止的时间为 QUOTE ，而点P运动到D的时间为 QUOTE 6，
当点P、Q都在AD边上，此时有以PQ为底边，CD为高的三角形CPQ，
设运动的时间为t，则AP＝2t，DQ＝5t﹣16，而 QUOTE t QUOTE ，
当点P在Q上方时，则PQ＝AD﹣AP﹣QD＝10﹣2t﹣5t+15＝25﹣7t，
△CPQ的面积 QUOTE PQ×CD QUOTE （25﹣7t）×16＝8，解得：t QUOTE （满足条件）；
当点P在点Q下方时，PQ＝DQ﹣（AD﹣AP）＝5t﹣15﹣（10﹣2t）＝7t﹣25，
△CPQ的面积 QUOTE PQ×CD QUOTE （7t﹣25）×16＝8，解得：t QUOTE （满足条件）；
当点P在CD上时，点Q运动到A时， QUOTE （28﹣2t）×12＝8，解得t QUOTE ，
综上，t QUOTE 或 QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】本题考查的是四边形动点问题与一次函数结合，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键．
8．（2023•定远县校级模拟）如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、 QUOTE cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？
【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a；
（2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．
（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．
【解答】解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，
则a秒时，点P在边AB上，则 QUOTE
∴AP＝6
则a＝6
（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6
∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2＝34﹣12 QUOTE
（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，
QUOTE （2x﹣6）＝3
解得x＝10
当P、Q两点相遇后相距3cm时
（2x﹣6）﹣（ QUOTE ）＝3
解得x QUOTE ，
∴当x＝10或 QUOTE 时，P、Q两点相距3cm
【点评】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式．
1．在函数 QUOTE 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1B．x≠3
C．x＞﹣1D．x≥﹣1 且x≠3
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得： QUOTE ，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2．若点G（a，2﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＜2C．0＜a＜2D．a＜0或a＞2
【分析】根据第二象限内点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵点G（a，2﹣a）是第二象限的点，
∴ QUOTE ，
解得a＜0．
故选：A．
【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键．
3．如图，从原点出发的一个动点，按照图示的运动规律在平面直角坐标系内每次移动一个单位长度，其中A1（1，0），A2（1，1），A3（0，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，0），⋯，则A2025的坐标是（ ）
A．（23，﹣22）B．（22，﹣22）C．（45，﹣44）D．（44，﹣44）
【分析】抓住这列点中，点A1，点A9，点A25，…，的坐标规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
点A1的坐标为（1，0）；
点A9的坐标为（2，﹣1）；
点A25的坐标为（3，﹣2）；
…，
由此可见，点 QUOTE 的坐标为（n，﹣n+1）；
当n＝23时，
（2n﹣1）2＝2025，
所以点A2025的坐标为（23，﹣22）．
故选：A．
【点评】本题考查点的坐标变化规律，能抓住点A1，点A9，点A25，…，的坐标规律是解题的关键．
4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝C重力﹣F浮力．）则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数表达式为F拉力 QUOTE
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底 QUOTE
【分析】观察图象，解出6≤x10的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题．
【解答】解：A、由图得，当石块下降3cm时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意；
B、设F＝kx+b，代入（6，4）（10，2.5），得F QUOTE x QUOTE ，故B不符合题意；
C、将x＝8代入F QUOTE x QUOTE ，得F QUOTE ，4 QUOTE ，故C不符合题意；
D、将F＝3代入F QUOTE x QUOTE ，得x QUOTE ，16 QUOTE ，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的应用，对物理常识的掌握及数形结合的思想是解题关键．
5．在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A（2，0），B（5，0），点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB＝60°．当BC最长时，点C的坐标为 （2， QUOTE ） ．
【分析】根据∠ACB＝60°得出点C的运动轨迹，再由BC最长即可解决问题．
【解答】解：因为A（2，0），B（5，0），且∠ACB＝60°，
所以可构造出以∠ACB为圆周角的圆．
如图所示，
当点C在BP的延长线与⊙P的交点处时，
BC取得最大值，即为⊙P的直径．
因为BC为⊙P的直径，
所以∠CAB＝90°，
又∵AB＝5﹣2＝3，且∠ACB＝60°，
在Rt△ABC中，tan∠ACB QUOTE ，
即 QUOTE ，
所以AC QUOTE ，
因此点C的坐标为（2， QUOTE ）．
故答案为：（2， QUOTE ）．
【点评】本题考查坐标与图形性质，能根据∠ACB＝60°得出点C的运动轨迹是解题的关键．
6．已知△ABC，动点P从点A出发，以每秒钟1个单位长度的速度沿A→B→C→A方向运动到点A处停止，设点P运动的时间为t秒，△PAB的面积S关于t的函数图象如图所示，则△ABC的边BC上的高等于 4或 QUOTE ．
【分析】作出三角形ABC，作CH⊥AB于H，由图象得当点P到达点B时的路程为4，即AB＝4，当点P到达点A时的路程为12，即BC+AC＝8，设BC＝x，BH＝y，表示AH＝4﹣y，AC＝8﹣x，在Rt△ACH和BCH中，利用勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式求出BC边高即可．
【解答】解：如图三角形ABC，
由图象得当点P到达点B时的路程为4，即AB＝4，
当点P到达点A时的路程为12，即BC+AC＝8，
作CH⊥AB于H，
∵S△ABC＝6，即 QUOTE AB•CH＝6，
∴CH＝3，
设BC＝x，BH＝y，
∴AH＝4﹣y，AC＝8﹣x，
在Rt△ACH和BCH中，
QUOTE ，
解得，x1＝3，x2＝5，即BC＝3或5，
设BC边的高为h，由 QUOTE BC•h＝6，得h＝4或 QUOTE ，
故答案为：4或 QUOTE ．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合题意分析图形是解题关键．
7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为 ﹣5 ；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为6时，求输入的x值．
【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝2x+1，即可得到结论；
（2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b解方程即可得到结论；
（3）解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）当输入的x值为﹣3时，输出的y值为y＝2x+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（2）将（7，10），（5，4）代入y＝kx+b，
得 QUOTE ，
解得 QUOTE ；
（3）把y＝6代入y＝2x+1，
得2x+1＝6，
解得 QUOTE ，
把y＝6代入y＝3x﹣11，
得3x﹣11＝6，
解得 QUOTE ，
∴输出的y值为6时，输入的x值为 QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
一次函数
一次函数在中考数学中的命题预测可能会涉及以下几个方面：一次函数的图像与性质、一次函数的解析式、一次函数的实际应用、一次函数与几何图形的结合。
针对这些可能的命题方向，建议学生：
熟练掌握一次函数的基本概念和性质，包括图像、解析式、斜率、截距等。
学会根据题目条件求一次函数的解析式，并判断函数的性质。
注重一次函数在实际问题中的应用，学会建立一次函数模型来解决实际问题。
加强一次函数与几何图形的结合，通过几何图形来理解和应用一次函数。

Ⅰ、一次函数
一、一次函数、正比例函数的定义
1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数.
3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.
4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定.
5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数.
二、确定一次函数的表达式
1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值.
2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤：
（1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）；
（2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）；
（3）解：解方程（组），求出k、b的值；
（4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式.
Ⅱ、一次函数的图像
一、一次函数的图像
1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线.
2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线.
3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点.
4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上.
5.通过描点法画出对应一次函数的步骤：
（1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中；
（2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
（3）连线：将所描的点用直线连接起来.
二、一次函数的图像与性质
1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号.
2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓.
三、正比例函数与一次函数图形的关系
1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的.
2.一次函数图像的平移规律
（1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减）
（2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）.
3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下：
Ⅲ、用一次函数解决问题
一、一次函数的应用
应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题.
1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤：
（1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
（2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像；
（3）观察图像特征，判断函数的类型.
2.建立一次函数表达式的常用方法
（1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式；
（2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式；
用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
二、一次函数图像的应用
1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
Ⅳ、一次函数与二元一次方程
一、一次函数与二元一次方程的关系
1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上.
2.二元一次方程与一次函数的区别：
（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；
（2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系.
3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）.
二、一次函数与二元一次方程组
1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解.
2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.
3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.
4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立.
5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
6.方程组解的几何意义
（1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标；
（2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（）
（3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
（4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数.
Ⅴ、一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
一、一次函数与一元一次方程
1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值.
3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.
二、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下：
1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；
2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围；
3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围；
4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围；
5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围；
6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围.
1．（2023•通辽）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数y＝2x﹣3中的k、b的符号确定其函数图象所经过的象限，即可判断．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴一次函数y＝2x﹣3的图象经过第一、三、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
2．（2023•荆州）如图，直线y QUOTE x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5）B．（3，5）C．（5，2）D．（ QUOTE ，2）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y QUOTE x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
当y＝0时， QUOTE x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（5，2）．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的性质及旋转的性质，熟知图形旋转后对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
3．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项．
【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，
故A不符合题意；
修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），
故B不符合题意；
车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），
故C不符合题意；
900÷600＝1.5，
∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键．
4．（2023•苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ﹣6 ．
【分析】利用待定系数法即可解得．
【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴ QUOTE ，
另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
QUOTE ，
∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了待定系数法，二元一次方程组，熟练掌握待定系数法是解题关键．
5．（2023•东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 ﹣1 ．
【分析】点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），求出A'B的解析式为：y＝2x+1，再根据反射后经过点C（m，n），2m+1＝n，即可求出答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），
∴反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），
设A'B的解析式为：y＝kx+1，过点A′（2，5），
∴5＝2k+1，
∴k＝2，
∴A'B的解析式为：y＝2x+1，
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m+1＝n，
∴2m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出A'B的解析式．
6．（2023•济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 0.35 h后两人相遇．
【分析】用待定系数法求出l1和l2的函数解析式，再令S1＝S2解方程即可．
【解答】解：设l1的函数解析式为y1＝kx+b，
则 QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴l1的函数解析式为S1＝5t+3.5；
设l2的函数解析式为S2＝mt，
则0.4m＝6，
解得m＝15，
∴l2的函数解析式为S2＝15t；
令S1＝S2，即5t+3.5＝15t，
解得t＝0.35，
∴出发0.35小时后两人相遇．
故答案为：0.35．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
7．（2023•齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， QUOTE 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 60 千米，a＝ 1 ；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【分析】（1）用货车的速度乘以时间可得A，B两地之间的距离是60千米；根据货车到达B地填装货物耗时15分钟，即得a QUOTE 1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法可得线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120；
（3）求出线段CD的解析式为y＝25x+25 QUOTE 25x+10（0≤x≤2），分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵80 QUOTE 60（千米），
∴A，B两地之间的距离是60千米；
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴a QUOTE 1，
故答案为：60，1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：
QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120；
（3）巡逻车速度为60÷（2 QUOTE ）＝25（千米/小时），
∴线段CD的解析式为y＝25x+25 QUOTE 25x+10（0≤x≤2），
当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15，
解得x QUOTE ；
当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，
解得x QUOTE ；
当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，
解得x QUOTE ；
综上所述，货车出发 QUOTE 小时或 QUOTE 小时或 QUOTE 小时，两车相距15千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
8．（2023•扬州）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【分析】（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，列一元一次不等式，求出m取值范围，再表示出w与m的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，甲种头盔购买数量，进一步求出最小费用即可．
【解答】解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得 QUOTE ，
解得 QUOTE ，
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，
根据题意，得m QUOTE （40﹣m），
解得m QUOTE ，
w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，
∵4＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝14时，w取得最小值，
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×4+1920＝1976（元），
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
1．（2023•随县模拟）甲、乙两车沿相同路线以各自的速度从A地去往B地，如图表示其行驶过程中路程y（千米）随时间t（小时）的变化图象，下列说法：
①乙车比甲车先出发2小时；
②乙车速度为40千米/时；
③A、B两地相距200千米；
④甲车出发80分钟追上乙车．
其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2024•龙马潭区一模）如图，直线 QUOTE 经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（3， QUOTE ）B．（ QUOTE ， QUOTE ）C．（3， QUOTE ）D．（ QUOTE ， QUOTE ）
3．（2024•丰县一模）甲、乙两地相距540km，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离s（km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（ ）
A．100km/hB．120km/hC．80km/hD．60km/h
4．（2023•阳谷县二模）已知关于x，y的方程组 QUOTE 的解是 QUOTE ，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣3x+2的交点坐标是 ．
5．（2023•城中区模拟）如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
6．（2023•自流井区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ ．
7．（2023•天宁区校级一模）已知购买1千克甲种水果和3千克乙种水果共需52元，购买2千克甲种水果和1千克乙种水果共需44元．
（1）求每千克甲种水果和每千克乙种水果的售价；
（2）如果购买甲、乙两种水果共20千克，且甲种水果的重量不少于乙种水果的重量．则购买多少千克甲种水果，总费用最少，最少总费用是多少？
8．（2023•兴庆区二模）如图：一次函数 QUOTE 的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数 QUOTE 图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP．
（1）当△OPM为等腰直角三角形时，试确定点P的坐标；
（2）当△AOB与△OPM相似时，试确定点P的坐标；
（3）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值．
1．（2023•蚌山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y QUOTE x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6B．4 QUOTE C．8D．6 QUOTE
2．（2023•青山区一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 QUOTE ，则a的值是（ ）
A．2 QUOTE B．2 QUOTE C．2 QUOTE D．2 QUOTE
3．（2023•南召县模拟）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①③④C．②④D．①②③
4．（2024•营山县一模）七年级某班因需要购买一种笔记本，已知总费用m（单位：元）和购买笔记本总数n（单位：本）的关系为m QUOTE ，如果需要100本笔记本，怎样购买能省钱？此时总费用最少m的值为 ．
5．（2023•新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
6．（2024•商河县一模）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸．
7．（2024•镇海区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C是y轴负半轴上一点，连结BC，将线段BC绕着点B逆时针旋转90°得到线段BD，连结AD交x轴于点E，若点E横坐标为3．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）在x轴和直线AD上分别找点P，Q，使得B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，直接写出点P坐标．
8．（2024•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b经过点A（﹣2，6），且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与直线l2：y＝2x相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）点P（a，0）是x轴上的一个动点，过点P与x轴垂直的直线MN与直线l1、l2分别相交于点E、F，且点E和点F关于x轴对称，求点P的坐标；
（3）若直线l3：y＝mx+m与线段CD有交点（包括线段CD的两个端点），直接写出m的取值范围．
1．在同一平面直角坐标系中，直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，与直线y＝x+4的交点可能是（ ）
A．（1，﹣3）B．（2，6）C．（1，5）D．（0，3）
2．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k＞0B．y随x增大而增大
C．x＝4时，y＝0D．x＞0时，y＞2
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
4．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
5．根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是 ．
6．小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小聪与小明出发 min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 m/min．
7．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个，且B种粽子的单价（元/个）是A种粽子单价（元/个）的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y（元）与购买A种粽子数量a（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？
8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1，y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2，y＝mx﹣m+4（m≠﹣1）与x轴、y轴分别交于点C、D，点P（2，n）在直线l2上．
（1）直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4）吗？ （填“过”或“不过”）．
（2）若点B、O关于点D对称，求此时直线l2的解析式；
（3）若直线l2将△AOB的面积分为1：4两部分，请求出m的值；
（4）当m＝1时，将点P（2，n）向右平移2.5个单位得到点N，当线段PN沿直线y＝mx﹣m+4向下平移时，请直接写出线段PN扫过△AOB内部（不包括边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）的坐标．
1．（2023•随县模拟）甲、乙两车沿相同路线以各自的速度从A地去往B地，如图表示其行驶过程中路程y（千米）随时间t（小时）的变化图象，下列说法：
①乙车比甲车先出发2小时；
②乙车速度为40千米/时；
③A、B两地相距200千米；
④甲车出发80分钟追上乙车．
其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】观察图象，该函数图象表示的是路程与时间之间的函数关系，可知乙出发2小时后甲再出发，根据路程除以时间等于速度进行分析．
【解答】解：①乙车比甲车先出发2小时，正确；
②乙车速度为80÷2＝40千米/时，正确；
③A、B两地相距40×5＝200千米，正确；
④甲的速度为200÷2＝100千米/小时，
设甲车出发x小时追上乙车，可得：100x＝40（x+2）
解得：x QUOTE ，
QUOTE 小时＝80分钟，故正确，
故选：D．
【点评】本题考查学生观察图象的能力，关键是根据s﹣t图象可得出路程除以时间等于速度．
2．（2024•龙马潭区一模）如图，直线 QUOTE 经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（3， QUOTE ）B．（ QUOTE ， QUOTE ）C．（3， QUOTE ）D．（ QUOTE ， QUOTE ）
【分析】过C作CE⊥x轴于E，则∠BEC＝90°，由旋转可得，BC＝AB QUOTE ，OB＝DB，∠DBO＝60°，∠DBC＝90°，再根据CE与OE的长，即可得到点C的坐标为（ QUOTE ， QUOTE ）．
【解答】解：如图，过C作CE⊥x轴于E，则∠BEC＝90°，
∵点B的坐标为（1，0），直线 QUOTE 经过点A，AB⊥x轴，
∴OB＝1，AB QUOTE ，∠ABO＝90°，
由旋转可得，BC＝AB QUOTE ，OB＝DB，∠DBO＝60°，∠DBC＝90°，
∴△BDO是等边三角形，
∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE QUOTE BC QUOTE ，BE QUOTE CE QUOTE ，
∴OE＝1 QUOTE ，
∴点C的坐标为（ QUOTE ， QUOTE ），
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变换，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
3．（2024•丰县一模）甲、乙两地相距540km，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，两车之间的距离s（km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（ ）
A．100km/hB．120km/hC．80km/hD．60km/h
【分析】由题意可知，当t＝4.5时，快车到达乙地，根据“速度＝路程÷时间”求出快车的速度；设慢车的速度为v km/h，当x＝3时，两车相遇，根据此时两车行驶的总路程为540km列方程并求解即可．
【解答】解：根据题意可知，当t＝4.5时，快车到达乙地，
540÷4.5＝120（km/h），
∴快车的速度为120km/h．
设慢车的速度为v km/h．
当x＝3时，两车相遇，此时两车行驶的总路程为540km，得3（v+120）＝540，
解得v＝60，
∴慢车的速度为60km/h．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，判断快车到达乙地的时间并熟练掌握路程、速度、时间三者的关系是解题的关键．
4．（2023•阳谷县二模）已知关于x，y的方程组 QUOTE 的解是 QUOTE ，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣3x+2的交点坐标是 （﹣1，5） ．
【分析】依据题意，由两个一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的解的意义：两个一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标对应二元一次方程组的解，从而可以得解．
【解答】解：由题意，由由两个一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的解的意义：两个一次函数图象的交点的横坐标与纵坐标对应二元一次方程组的解，
∵关于x，y的方程组 QUOTE 的解是 QUOTE ，
∴3×（﹣1）+m﹣2＝0．
∴m＝5．
∴方程组 QUOTE 的解是 QUOTE ．
∴直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣3x+2的交点坐标是（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程的意义，解题时要能熟练掌握并理解．
5．（2023•城中区模拟）如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞2 ．
【分析】根据两图象的交点，求出图象中y1在y2上面的部分中x的范围即可，当x＜﹣1时，y1的图象在y2的上面；同理当x＞2时，y1的图象在y2的上面．
【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点，
∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系的应用，主要培养学生观察图形的能力，能理解一次函数与一元一次不等式的关系是解此题的关键，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
6．（2023•自流井区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ QUOTE 或 QUOTE ．
【分析】本题分两种情况分别讨论：如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，求出m，也就求出正方形的边长；如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，根据一次函数与坐标轴的特点求出45°角，再根据正方形的性质用x表示出边长，根据线段之和求出x的值，从而求出正方形的边长．
【解答】解：①如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，
∴CD＝DE，
设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，
得m＝﹣m+3，
m QUOTE ，
∴D（ QUOTE ， QUOTE ）
∴正方形的边长是 QUOTE ；
②如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，
令x＝0，y＝3，y＝0，x＝3，
∴OB＝OA，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD＝DE＝FE，CF∥BA，
∴∠OCF＝∠OBA＝45°，∠CFO＝∠OAB＝45°，
设OF＝x，则CF QUOTE x，
∴EF QUOTE x，
在Rt△FEA中，sin45° QUOTE ，
∴AF＝2x，
∵OF+AF＝OA，
∴x+2x＝3，
解得x＝1．
∴EF QUOTE ，
∴正方形的边长是 QUOTE ；
综上所述：正方形的边长是 QUOTE 或 QUOTE ．
故答案为： QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】本题考查了过定点的直线、一次函数性质、正方形性质，掌握这几个知识点的综合应用，分情况讨论是解题关键．
7．（2023•天宁区校级一模）已知购买1千克甲种水果和3千克乙种水果共需52元，购买2千克甲种水果和1千克乙种水果共需44元．
（1）求每千克甲种水果和每千克乙种水果的售价；
（2）如果购买甲、乙两种水果共20千克，且甲种水果的重量不少于乙种水果的重量．则购买多少千克甲种水果，总费用最少，最少总费用是多少？
【分析】（1）设甲种水果的售价为x元/千克，乙种水果的售价为y元/千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据总费用＝售价×销售量，可以写出费用与购买的甲种水果重量的函数关系式，然后根据甲种水果的重量不少于乙种水果重量，即可得到甲种水果重量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总费用的最小值．
【解答】解：（1）设甲种水果的售价为x元/千克，乙种水果的售价为y元/千克，
由题意可得： QUOTE ，
解得 QUOTE ，
答：甲种水果的售价为16元/千克，则乙种水果的售价为12元/千克．
（2）设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果（20﹣m）千克，总费用为w元，
由题意可得：w＝16m+12（20﹣m）＝4m+240，
∴w随m的增大而增大，
∵甲种水果的重量不少于乙种水果的重量，
∴m≥20﹣m，
解得m≥10，
∴当m＝10时，w取得最小，此时w＝280，20﹣m＝10，
答：购进甲种水果10千克，乙种水果10千克能使费用最少，最少费用为280元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
8．（2023•兴庆区二模）如图：一次函数 QUOTE 的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数 QUOTE 图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP．
（1）当△OPM为等腰直角三角形时，试确定点P的坐标；
（2）当△AOB与△OPM相似时，试确定点P的坐标；
（3）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值．
【分析】（1）设P（m， QUOTE ），由OM＝PM可得m QUOTE ，解方程即可．
（2）设P（a， QUOTE ），求出A（0，6），B（8，0），则OA＝6，OB＝8，然后分两种情况利用三角形相似的性质建立方程求解即可．
（3）设P（n， QUOTE ），则OM＝n，PM QUOTE ，即可得S△OPM QUOTE ，由此利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解（1）设P（m， QUOTE ），
∵△OPM为等腰直角三角形，
∴OM＝PM，
∴m QUOTE ，
解得m QUOTE ，
∴P（ QUOTE ， QUOTE ）．
（2）设P（a， QUOTE ），
∵一次函数 QUOTE 的图象与坐标轴交于A、B两点，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
当△PMO∽△AOB时，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE
解得a＝4，
∴点P的坐标为（4，3），
当△PMO∽△BOA时，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得a QUOTE ，
∴点P的坐标为（ QUOTE ， QUOTE ），
综上所述，点P的坐标为（4，3）或（ QUOTE ， QUOTE ），
（3）设（n， QUOTE ），
∴OM＝n，PM QUOTE ，
∴S△OPM QUOTE
QUOTE
QUOTE ，
∵ QUOTE 0，
∴当n＝4时，S△OPM有最大值6，
∴此时点P的坐标为（4，3），
∴AP QUOTE 5，
∴当AP＝5时，△OPM的面积最大，最大值为6．
【点评】本题主要考查一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，相似三角形的性质，勾股定理等，灵活运用所学知识解题是关键．
1．（2023•蚌山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y QUOTE x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6B．4 QUOTE C．8D．6 QUOTE
【分析】根据点Q的运动先证明点P在直线PM是运动，再根据轴对称最值问题，作点P关于直线PM的对称点B，连接AB，求出AB的长即可．
【解答】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，
由直线y QUOTE x可知，∠MOA＝60°，
∴∠MOA＝∠OAM＝60°，
∴△OAM是等边三角形，
∴OA＝OM，
∵△APQ是等边三角形，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴∠OAQ＝∠MAP，
∴△OAQ≌△MAP（SAS），
∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，
∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，
过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，
此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，
∴∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝8．
故选：C．
【点评】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点P在直线PM是运动．
2．（2023•青山区一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 QUOTE ，则a的值是（ ）
A．2 QUOTE B．2 QUOTE C．2 QUOTE D．2 QUOTE
【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．
【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB＝2 QUOTE ，半径为2，
∴AE QUOTE AB QUOTE ，PA＝2，
根据勾股定理得：PE QUOTE 1，
∵点A在直线y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD QUOTE ．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴a＝PD+DC＝2 QUOTE ．
故选：B．
【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y＝x与x轴的夹角是45°．
3．（2023•南召县模拟）等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，定义（x，y）为这个三角形的坐标．如图所示，直线y＝2x，y＝3x，y＝4x将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，
①对于任意等腰三角形ABC，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；
②对于任意等腰三角形ABC，其坐标可能位于区域Ⅳ中；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；
④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①③④C．②④D．①②③
【分析】设BC＝z，则y＝2x+z．根据z＞0，利用不等式的性质得出y＞2x，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出2x＞z，利用不等式的性质得到y＜4x，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出3x＜y＜4x，即可判断③；分别求出点M、点N所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④．
【解答】解：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记AB＝x，周长为y，
设BC＝z，则y＝2x+z，x＞0，z＞0．
①∵BC＝z＞0，
∴y＝2x+z＞2x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝2x的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，
∴2x＞z，即z＜2x，
∴y＝2x+z＜4x，
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标位于直线y＝4x的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；
③若三角形ABC是等腰直角三角形，则z QUOTE x，
∵1 QUOTE 2，AB＝x＞0，
∴x QUOTE x＜2x，
∴3x＜2x QUOTE x＜4x，
即3x＜y＜4x，
∴若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中，故结论③正确；
④由图可知，点M位于区域Ⅲ中，此时3x＜y＜4x，
∴3x＜2x+z＜4x，
∴x＜z＜2x；
点N位于区域Ⅱ中，此时2x＜y＜3x，
∴2x＜2x+z＜3x，
∴0＜z＜x；
∵点M所对应等腰三角形的周长比点N所对应等腰三角形的周长短，
∴图中无法得到点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长，故结论④错误．
故选：A．
【点评】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键．
4．（2024•营山县一模）七年级某班因需要购买一种笔记本，已知总费用m（单位：元）和购买笔记本总数n（单位：本）的关系为m QUOTE ，如果需要100本笔记本，怎样购买能省钱？此时总费用最少m的值为 222.2元 ．
【分析】如果买100本，则m＝2.4n＝240，如果买101本，则m＝2.2n＝2.2×101＝222.2＜240，即可求解．
【解答】解：如果买100本，则m＝2.4n＝240，
如果买101本，则m＝2.2n＝2.2×101＝222.2＜240，
故买101本省钱，总费用最少m的值为222.2元，
故答案为：222.2元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键．
5．（2023•新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 y QUOTE x﹣2 ．
【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（0，﹣k），因为OB＝2OA求得k＝2，所以一次函数的解析式为y＝2x﹣2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，求得F（3，﹣1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，
∴B（0，﹣k），A（1，0），
∵OB＝2OA，
∴A（1，0），B（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，
∴F（3，﹣1），
∴ QUOTE
∴ QUOTE
∴直线BC的函数表达式为：y QUOTE x﹣2，
故答案为：y QUOTE x﹣2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2024•商河县一模）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了3分钟后沿原路按原速骑车返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过 QUOTE 分钟在返回途中追上爸爸．
【分析】由题意得点B的坐标为（12，2400），小明骑车返回用时也是10分钟，因此点D的坐标为（22，0），小明的爸爸返回的时间为2400÷96＝25分，点F的坐标（25，0）因此可以求出BD、EF的函数关系式，由关系式求出交点的横坐标即可．
【解答】解：由题意得点B的坐标为（13，2400），
小明骑车返回用时也是10分钟，因此点D的坐标为（23，0），
小明的爸爸返回的时间为2400÷96＝25分，点F的坐标（25，0），
设直线BD、EF的关系式分别为s1＝k1t+b1，s2＝k2t+b2，
把B（13，2400），D（23，0），F（25，0），E（0，2400）代入相应的关系式得：
QUOTE ， QUOTE ，
解得： QUOTE ， QUOTE ，
直线BD、EF的关系式分别为s1＝﹣240t+5520，s2＝﹣96t+2400，
当s1＝s2时，即：﹣240t+5520＝﹣96t+2400，
解得：t QUOTE ，
故答案为： QUOTE ．
【点评】考查一次函数的图象和性质、二元一次方程组的应用等知识，正确的识图，得出点的坐标求出直线的关系式是解决问题的首要问题．
7．（2024•镇海区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C是y轴负半轴上一点，连结BC，将线段BC绕着点B逆时针旋转90°得到线段BD，连结AD交x轴于点E，若点E横坐标为3．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）在x轴和直线AD上分别找点P，Q，使得B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，直接写出点P坐标．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（0，4），B（4，0）代入y＝kx+b之中求出k，b即可得直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥x轴于F，先证△OCB和△FBD全等得OC＝BF，OB＝FD＝OA＝4，进而证△OAE和△FDE全等得OE＝EF＝3，由此可得OC＝BF＝2，由此可得点C的坐标；
（3）先求出直线AD的解析式为 QUOTE ，可设点Q QUOTE ，再设点P（p，0），根据点B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，因此有以下两种情况：
①当BC为平行四边形的一边时，又有两种情况：（ⅰ）当点Q在BC的上方时，连接CQ交x轴于T，则点T是CQ和PB的中点，对于P（p，0），B（4，0），则点T QUOTE ，对于C（0，﹣2），Q QUOTE ，则T QUOTE ，由此得 QUOTE ，据此解出p可得点P的坐标；（ⅱ）当点Q在BC的下方时，连接PC，BQ交于点T，则点T是BQ和PC的中点，对于P（p，0），C（0，﹣2），则点T QUOTE ，对于B（4，0），Q QUOTE ，则T QUOTE ，由此得 QUOTE ，据此解出p可得点P的坐标；
②当BC为平行四边形的对角线时，连接PQ交BC于T，则点T是BC和PQ的中点，对于B（4，0），C（0，﹣2），则点T（2，﹣1），对于P（p，0），Q QUOTE ，则T QUOTE ，由此得 QUOTE ，据此解出p可得点P的坐标，综上所述即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
将A（0，4），B（4，0）代入y＝kx+b，得： QUOTE ，解得： QUOTE ，
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）过点D作DF⊥x轴于F，如图1所示：

∵A（0，4），B（4，0），点E是AD与x轴的交点，且横坐标为3，
∴OA＝OB＝4，OE＝3，BE＝4﹣3＝1，
∵DF⊥x轴于F，
∠COB＝∠BFD＝90°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
由旋转的性质得：BC＝DB，∠CBD＝90°，
∴∠OBC+∠FBD＝90°，
∴∠OCB＝∠FBD，
在△OCB和△FBD中，
QUOTE ，
∴△OCB≌△FBD（AAS），
∴OC＝BF，OB＝FD＝4，
∴OA＝FD＝4，
在△OAE和△FDE中，
QUOTE ，
∴△OAE≌△FDE（AAS），
∴OE＝EF＝3，
∴BF＝EF﹣BE＝3﹣1＝2，
∴OC＝BF＝2，
∴点C的坐标为（0，﹣2）；
（3）设直线AD的解析式为：y＝mx+n，
将A（0，4），E（3，0）代入y＝mx+n，得： QUOTE ，解得： QUOTE ，
∴直线AD的解析式为： QUOTE ，
∵点Q在直线AD上，
∴设点Q QUOTE ，
∵点P在x轴上，
∴设点P（p，0），
∵点B、C、P、Q构成的四边形是平行四边形，
∴有以下两种情况：
①当BC为平行四边形的一边时，又有两种情况：
（ⅰ）当点Q在BC的上方时，连接CQ交x轴于T，如图2所示：

根据平行四边形的性质得，点T是CQ和PB的中点，
对于P（p，0），B（4，0），则点T QUOTE ，
对于C（0，﹣2），Q QUOTE ），则T QUOTE
∴ QUOTE ，
由 QUOTE ，解得q＝1.5，
将q＝1.5代入 QUOTE ，得：p＝﹣2.5，
∴点P（﹣2.5，0）；
（ⅱ）当点Q在BC的下方时，连接PC，BQ交于点T，如图3所示：
根据平行四边形的性质得，点T是BQ和PC的中点，
对于P（p，0），C（0，﹣2），则点T QUOTE ，
对于B（4，0），Q QUOTE ，则T QUOTE ，
∴ QUOTE ，
由 QUOTE ，解得：q＝4.5，
将q＝4.5代入 QUOTE ，得p＝8.5，
∴点P（8.5，0）；
②当BC为平行四边形的对角线时，连接PQ交BC于T，如图4所示：

根据平行四边形的性质得，点T是BC和PQ的中点，
对于B（4，0），C（0，﹣2），则点T（2，﹣1），
对于P（p，0），Q QUOTE ，则T QUOTE ，
∴ QUOTE ，
由 QUOTE ，解得：q＝4.5，
将q＝4.5代入 QUOTE ，得：p＝﹣0.5，
∴点P（﹣0.5，0）．
综上所述：点P的坐标为（﹣2.5，0）或P（8.5，0）或（﹣0.5，0）．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，理解平行四边形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．
8．（2024•河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b经过点A（﹣2，6），且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与直线l2：y＝2x相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）点P（a，0）是x轴上的一个动点，过点P与x轴垂直的直线MN与直线l1、l2分别相交于点E、F，且点E和点F关于x轴对称，求点P的坐标；
（3）若直线l3：y＝mx+m与线段CD有交点（包括线段CD的两个端点），直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线l1的解析式；
（2）将x＝a分别代入直线y QUOTE x QUOTE ，y＝2x，可得点E、F的坐标，根据点E与F关于x轴对称即可求解；
（3）求出点D（0， QUOTE ）．将C、D的坐标分别代入y＝mx+m求出m的值，即可得m的取值范围．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝2x＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
将A（﹣2，6）、C（1，2）代入y＝kx+b，
∴ QUOTE ，解得 QUOTE ，
∴直线l1的解析式为y QUOTE x QUOTE ；
（2）∵点P（a，0），直线l2：y＝2x，直线l1的解析式为y QUOTE x QUOTE ，
∴E（a， QUOTE a QUOTE ）与F（a，2a），
∵E（a， QUOTE a QUOTE ，）与F（a，2a）关于x轴对称，
∴ QUOTE a QUOTE 2a＝0，
解得a＝﹣5，
∴点P的坐标为（﹣5，0）；
（3）∵一次函数y QUOTE x QUOTE 与y轴交于点D，
∴D（0， QUOTE ）．
直线y＝mx+m经过C（1，2）时，
m+m＝2，解得m＝1，
直线y＝mx+m经过D（0， QUOTE ）时，m QUOTE ，
∴直线y＝mx+m与线段CD有交点时，m的取值范围为1≤m QUOTE ．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，关于x轴对称的点的坐标特点，两直线相交问题，熟练掌握一次函数的相关性质是解题的关键．
1．在同一平面直角坐标系中，直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，与直线y＝x+4的交点可能是（ ）
A．（1，﹣3）B．（2，6）C．（1，5）D．（0，3）
【分析】两直线的交点满足两条直线的解析式，据此即可判断．
【解答】解：直线y＝3x向上平移m（m＞0）个单位后，得到y＝3x+m，
把x＝1代入y＝x+4得，y＝5，
∴交点不可能是（1，﹣3），故A不合题意；
把x＝2代入y＝x+4得，y＝6，
把（2，6）代入y＝3x+m，求得m＝0，故B不合题意；
把x＝1代入y＝x+4得，y＝5，
把（1，5）代入y＝3x+m，求得m＝2，故C符合题意；
把x＝0代入y＝x+4得，y＝4，
∴交点不可能是（0，3），故D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点满足两条直线的解析式是解题的关键．
2．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．k＞0B．y随x增大而增大
C．x＝4时，y＝0D．x＞0时，y＞2
【分析】直接利用一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特点得出答案．
【解答】解：如图所示：A、图象经过第一、二、四象限，则k＜0，故此选项不符合题意；
B、k＜0，y随x的增大而减小，故此选项不符合题意；
C、图象与x轴交于点（4，0），故x＝4时，y＝0，故此选项符合题意；
D、观察图象，x＞0时，y＜2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝10．动点M，N分别从A，C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为t，点M，C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【解答】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC﹣AM＝5﹣t，
即y＝5﹣t，
∴S QUOTE MC•CN＝5t﹣t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
4．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 20 分钟时，两仓库快递件数相同．
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立 QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：20
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
5．根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是 x＞1 ．
【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可答案．
【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．
6．小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．
（1）小聪与小明出发 25 min相遇；
（2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 100 m/min．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以直接写出小聪与小明出发多长时间相遇；
（2）根据题意可知，小聪晚到达乙地，则小聪用的时间为56.25min，根据速度＝路程÷时间，可以计算出小聪的速度，再根据25min时两人相遇，即可计算出小明的速度．
【解答】解：（1）由图象可得，
小聪与小明出发25min相遇，
故答案为：25；
（2）由图象可得，
小聪的速度为：4500÷56.25＝80（m/min），
则小明的速度为：4500÷25﹣80＝180﹣80＝100（m/min），
故答案为：100．
【点评】本题考查一次函数的应用，从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键．
7．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”、“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A、B两种粽子进行销售，据了解，用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个，且B种粽子的单价（元/个）是A种粽子单价（元/个）的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若商场计划购进这两种粽子共2200个销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y（元）与购买A种粽子数量a（个）之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？
【分析】（1）设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个，由“用3000元购买A种粽子的数量（个）比用3360元购买B种粽子的数量（个）多40个”列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种粽子a个，则购进B种粽子（2200﹣a）个，先由题意得不等式5a≤6（2200﹣a），解得a≤1200，再由题意得w＝﹣a+13200，然后由一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得： QUOTE 40，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，
∴1.2x＝6；
答：A种粽子单价为5元/个，则B种粽子单价为6元/个；
（2）设购进A种粽子a个，则购进B种粽子（2200﹣a）个，
依题意，得：5a≤6（2200﹣a），
解得：a≤1200，
由题意得：y＝5a+6（2200﹣a）＝﹣a+13200，
当a＝1200时，y最小＝12000，
2200﹣1200＝1000，
答：购进A种粽子1200个，购进B种粽子1000个，总费用最低，最低是12000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线l1，y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2，y＝mx﹣m+4（m≠﹣1）与x轴、y轴分别交于点C、D，点P（2，n）在直线l2上．
（1）直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4）吗？ 过 （填“过”或“不过”）．
（2）若点B、O关于点D对称，求此时直线l2的解析式；
（3）若直线l2将△AOB的面积分为1：4两部分，请求出m的值；
（4）当m＝1时，将点P（2，n）向右平移2.5个单位得到点N，当线段PN沿直线y＝mx﹣m+4向下平移时，请直接写出线段PN扫过△AOB内部（不包括边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）的坐标．
【分析】（1）根据直线l2的解析式，即可判定；
（2）首先可求得点B的坐标，再根据求线段中点坐标公式，即可求解；
（3）首先求得点A、B、M的坐标，再分两种情况，根据三角形的面积公式，即可分别求得点D、C的坐标，据此即可求解；
（4）首先可求得直线l2的解析式为y＝x+3，及线段PN的长，再由△AOB内部（不包括边界）的整点有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），即可一一判定．
【解答】解：（1）∵y＝mx﹣m+4＝m（x﹣1）+4（m≠0），
∴当x＝1时，y＝4，
∴直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4），
故答案为：过；
（2）在y＝﹣x+5中，令x＝0，则y＝5，
∴B（0，5），
∵点B、O关于点D对称，
∴ QUOTE ，
将点D的坐标代入y＝mx﹣m+4，得 QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴直线l2的解析式： QUOTE ；
（3）在y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5，
∴A（5，0），OA＝5，
∵B（0，5），
∴OB＝5，
∴ QUOTE ，
∵直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4），直线y＝﹣x+5过点M（1，4），
∴两直线的交点为M（1，4），点M到y轴的距离为1，到x轴的距离为4，
①当 QUOTE 时， QUOTE ，
解得BD＝5．
∵OB＝5，
∴D（0，0），
∴﹣m+4＝0，
解得m＝4；
②当 QUOTE 时， QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∵ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得 QUOTE ，
综上，m的值为4或 QUOTE ；
（4）当m＝1时，直线l2的解析式为y＝x+3，
∵将点P（2，5）向右平移2.5个单位得到点N，
∴PN＝2.5，
△AOB内部（不包括边界）的整点有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），
在y＝x+3中，当y＝1时，x＝﹣2，
∵1+2＝3＞2.5，2+2＝4＞2.5，3+2＝5＞2.5，
∴当线段PN沿直线y＝x+3向下平移时，线段PN不扫过△AOB内部（不包括边界）的整点：（1，1），（2，1），（3，1）；
在y＝x+3中，当y＝2时，x＝﹣1，
∵1+1＝2＜2.5，2+1＝3＞2.5，
∴当线段PN沿直线y＝x+3向下平移时，线段PN扫过△AOB内部（不包括边界）的整点（1，2），不扫过（2，2），
在y＝x+3中，当y＝3时，x＝0，
∵1+0＝1＜2.5，
∴当线段PN沿直线y＝x+3向下平移时，线段PN扫过△AOB内部（不包括边界）的整点（1，3），
综上，当线段PN沿直线y＝x+3向下平移时，线段PN扫过△AOB内部（不包括边界）的整点有（1，2），（1，3）．
【点评】本题考查了一次函数的综合，坐标与图形，中点坐标公式，三角形的面积公式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
反比例函数
在中考数学中，反比例函数的命题可能会从以下几个方面来考察：
反比例函数的图像和性质：可能会考察反比例函数的图像是双曲线，以及当k的值大于0或小于0时，双曲线的位置和增减性等性质。
反比例函数的解析式确定：通过给出图像上一点的坐标或x、y的对应值，来考察如何确定反比例函数的解析式。
反比例函数与其他函数的综合考察：可能会考察反比例函数与一次函数、二次函数等其他函数的图像交点、面积等问题。
反比例函数的实际应用：可能会通过一些实际问题，比如速度、时间、工作量等，来考察如何利用反比例函数来建立数学模型，并解决实际问题。
总之，反比例函数在中考数学中的命题可能会从多个角度来考察，需要同学们掌握反比例函数的图像、性质、解析式确定以及实际应用等方面的知识。同时，也需要注重与其他知识点的综合应用，提高自己的解题能力。

Ⅰ、反比例函数
一、反比例函数的定义
一般地，形如（为常数，）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
1.反比例函数（为常数，）也可以写成（为常数，）或（为常数，）的形式；
2.反比例函数中，x、y、k均不能为0；
3.成反比例关系的式子不一定是反比例函数，但是成反比例函数（为常数，）的两个变量一定成反比例关系.
二、反比例函数表达式的确定
1.确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x、y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式；
2.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：
（1）设：设所求的反比例函数为：；
（2）列：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解：解方程求出待定系数k的值；
（4）代：把求得的k值代回所设的函数关系式 中.
三、列反比例函数表达式
对于一个实际问题，应根据已知条件或数量关系列出函数表达式，判断其中的两个变量是否为反比例函数关系，实际问题中的函数自变量的取值范围，除了要使函数表达式有意义，还要使得实际问题有意义.
Ⅱ、反比例函数的图像和性质
一、反比例函数的图像及画法
1.反比例函数的图像
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与 轴、 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
2.用描点法画反比例函数图像的一般步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
PS：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
二、反比例函数的图像和性质
三、反比例函数中比例系数k的几何意义
1.如图所示，过双曲线上任意一点分别向两坐标轴作垂线，所得矩形PAOB的面积 ，；
2.如图所示，过双曲线任意一点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为M，连接QO，则.
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
Ⅲ、用反比例函数解决问题
反比例函数在实际问题中的应用
1.用反比例函数解决问题的两种思路：
（1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式；
（2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题.
2.列反比例函数解决问题的步骤：
（1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式；
（3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值；
（4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围；
（5）运用函数的图像和性质解决问题.
PS：①在实际问题中，反比例函数的自变量与函数值的取值范围不再是非零实数，一般为正数或正整数；
②平面直角坐标系中的横轴和纵轴的单位长度要根据实际问题来确定，横轴和纵轴上的单位长度可以不一致，但同一横轴（或纵轴）上的单位长度要一致
1．（2023•襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y QUOTE 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，可分为两种情况进行讨论：①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；据此可得出答案．
【解答】解：分两种情况进行讨论：
①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；
∴一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝k/x的图象可能是A．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，熟练掌握一次函数得图象、反比例函数图象与系数的关系是解答此题的关键．
2．（2023•宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
【分析】根据反比例函数经过点（﹣2，3）求出其解析式，然后把x＝﹣3，x＝1，x＝2分别代入解析式，求出函数值，进行比较即可得出答案．
【解答】解：设反比例函数的解析式为 QUOTE （k≠0），
∵它的图象经过点（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的解析式 QUOTE ，
当x＝﹣3时， QUOTE ，
当x＝1时， QUOTE ，
当x＝2时， QUOTE ，
∴y2＜y3＜y1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
3．（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y QUOTE （k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A．（4，4）B．（2，2）C．（2，4）D．（4，2）
【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a， QUOTE ），再由正方形ADEF，建立关于a的方程，进而得解．
【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y QUOTE 图象上，
∴4 QUOTE ．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y QUOTE ．
∵点E在反比例函数图象上，
∴可设（a， QUOTE ）．
∴AD＝a﹣2＝ED QUOTE ．
∴a1＝4，a2＝﹣2．
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要理解并能灵活运用．
4．（2023•攀枝花）如图，在直角△ABO中，AO QUOTE ，AB＝1，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，点E是OB′的中点，且点E在反比例函数y QUOTE 的图象上，则k的值为 ．
【分析】依据题意，在Rt△BAO中，AO QUOTE ，AB＝1，从而BO QUOTE 2，可得∠AOB＝30°，又结合题意，∠BOB'＝105°，进而∠BOX＝45°，故可得E点坐标，代入解析式可以得解．
【解答】解：如图，作EH⊥x轴，垂足为H．
由题意，在Rt△BAO中，AO QUOTE ，AB＝1，
∴BO QUOTE 2．
∴AB QUOTE BO．
∴∠AOB＝30°．
又△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A′B′O的位置，
∴∠BOB'＝105°．
∴∠B'OX＝45°．
又点E是OB′的中点，
∴OE QUOTE BO＝1．
在Rt△EOH中，
∵∠B'OX＝45°，
∴EH＝OH QUOTE OE QUOTE ．
∴E（ QUOTE ， QUOTE ）．
又E在y QUOTE 上，
∴k QUOTE ．
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
5．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y QUOTE （k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 ．
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r，则AC＝AB＝r，BC＝2r，设AE＝a，则点C的坐标为（a，2r），据此可得k＝2ar，然后再根据△ACD的面积为6可求出ar＝12，据此可得此题的答案．
【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AC＝AB＝r，BC＝2r，
设AE＝a，
则点C的坐标为（a，2r），
∴k＝2ar，
∵ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
即：ar＝12，
∴k＝2ar＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积计算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
6．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，BA＝BC，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数 QUOTE 的图象交AC于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若点E为AC的中点，BD＝2AD，BF﹣CF＝3，则k的值为 ．
【分析】过点A作AH⊥x轴于H，先证EF为△AHF的中位线得AH＝2EF，CF＝HF，再根据BF﹣CF＝3得出BH＝3，然后根据AH⊥x轴，BD＝2AD得OB＝2OH，进而可求出OH＝1，OB＝2，BH＝3，设CF＝HF＝a，EF＝b，则AH＝2EF＝2b，CH＝2a，点A（1，2b），点E（1+a，b），进而可得k＝1×2b＝（1+a）×b，由此可得a＝1，则CH＝2a＝2，BA＝BC＝5，最后在Rt△ABH中由勾股定理得AH＝4，由此得点A（1，4），进而可求出k的值．
【解答】解：过点A作AH⊥x轴于H，如图：
∵EF⊥x轴，
∴EF∥AH，
又点E为AC的中点，
∴EF为△AHF的中位线，
∴AH＝2EF，CF＝HF，
∵BF﹣CF＝3，
∴BF﹣HF＝3，即：BH＝3，
∵AH⊥x轴，
∴AH∥OD，
∴BD：AD＝OB：OH，
∵BD＝2AD，
∴OB＝2OH，
∴BH＝OB+OH＝3OH＝3，
∴OH＝1，OB＝2，BH＝3，
设CF＝HF＝a，EF＝b，则AH＝2EF＝2b，CH＝2a，
∴点A的坐标为（1，2b），点E的坐标为（1+a，b），
∵点A，E在反比例函数y＝k/x（x＞0）的图象上，
∴k＝1×2b＝（1+a）×b，
解得：a＝1，
∴CH＝2a＝2，
∴BA＝BC＝BH+CH＝3+2＝5，
在Rt△ABH中，BH＝3，BA＝5，
由勾股定理得： QUOTE ，
∴点A的坐标为（1，4），
∴k＝1×4＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的中位线定理，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
7．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线 QUOTE 为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线 QUOTE 上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式 QUOTE 的解集．
【分析】（1）依据题意，将B点代入双曲线解析式可求得m，再将A点代入求出a，最后由A、B两点代入直线解析式可以得解；
（2）由题意，分成两种情形：一种是M、N在双曲线的同一支上，一种是M、N在双曲线的两一支上，然后根据图象可以得解；
（3）依据图象，由一次函数值大于反比例函数值可以得解．
【解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y QUOTE ，
∴2 QUOTE ．
∴m＝﹣2．
∴双曲线为y QUOTE ．
又A（2，a）在双曲线上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
将A、B代入一次函数解析式得 QUOTE ，
∴ QUOTE ．
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．
（2）由题意，可分成两种情形．
①M、N在双曲线的同一支上，
由双曲线y QUOTE ，在同一支上时函数值随x的增大而增大，
∴当x1＜x2时，y1＜y2．
②M、N在双曲线的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此时由图象可得y1＞0＞y2，
即此时当x1＜x2时，y1＞y2．
（3）依据图象， QUOTE 即一次函数值大于反比例函数值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式 QUOTE 的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，解不等式．利用数形结合思想是解题的关键．
8．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y QUOTE （k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式 QUOTE ax+b的解集．
【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形面积的和差，可得答案；
（3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解．
【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 QUOTE 的图象上，
∴ QUOTE ．
∴k＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 y QUOTE ．
∵A（﹣m，3m）在反比例函数 y QUOTE 的图象上，
∴ QUOTE ．
∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）．
∴点A的坐标为（﹣2，6）．
∵点A，B在一次函数y＝ax+b的图象上，把点 A（﹣2，6），B（4，﹣3）分别代入，得 QUOTE ，
∴ QUOTE ．
∴一次函数的表达式为y QUOTE ．
（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
QUOTE •OC•|xA| QUOTE •OC•|xB|
QUOTE 3×2 QUOTE 3×4
＝9．
（3）由题意得，x＜﹣2或0＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式．
1．（2024•汕头校级模拟）对于反比例函数 QUOTE ，下列说法中错误的是（ ）
A．图象分布在一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
2．（2024•道里区模拟）若反比例函数y QUOTE （k≠0）的图象经过点（﹣2，5），则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．（﹣2，﹣5）B．（﹣5，﹣2）C．（1，10）D．（10，﹣1）
3．（2024•荔湾区一模）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数 QUOTE 的图象交于点A（1，2），B（﹣2，﹣1）．则关于x的不等式 QUOTE 的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1D．﹣1＜x＜0或x＞2
4．（2024•石峰区一模）若函数y＝（m+1）xm2﹣4m﹣6是y关于x的反比例函数，则m＝ ．
5．（2023•霞山区校级一模）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC QUOTE ，反比例函数 QUOTE 的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于 ．
6．（2024•南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y QUOTE （x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 ．
7．（2024•青海一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝2x和反比例函数y QUOTE 的图象交于A，B两点，AC⊥x轴，垂足是C．求：
（1）反比例函数y QUOTE 的解析式；
（2）△ABC的面积．
8．（2024•铁东区校级模拟）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离为4cm，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过3cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
1．（2023•十堰二模）方程x2+4x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+4的图象与函数 QUOTE 的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在（ ）范围内．
A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜3
2．（2024•全州县校级一模）如图，点A是反比例函数 QUOTE 在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数 QUOTE 在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
3．（2023•泗水县四模）如图，动点P在函数 QUOTE 的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值是（ ）
A．4B．2C．1D． QUOTE
4．（2024•凉州区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y QUOTE （k1＞0）与直线y＝k2x（k2≠0）交于A、B两点，点H是双曲线第一象限上的动点（在点A左侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA＝a•HP，HB＝b•HQ，则a﹣b的值为 ．
5．（2024•南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y QUOTE （x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 ．
6．（2023•浙江模拟）如图，点P是反比例函数y1 QUOTE （x＞0）上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数 QUOTE 的图象于点A、B，若OP＝2AB，∠OBA＝90°，则点P的坐标为 ．
7．（2024•临沂一模）如图，直线AC与函数y QUOTE 的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y QUOTE 的图象上，求点D的坐标．
8．（2024•河南模拟）如图所示，在平面直角坐标系中的y轴正半轴上取点A（0，3），x轴正半轴上取点B（a，0），以AB为边构造等腰直角△ABC，点P为AC的中点，反比例函数 QUOTE 过P，C两点．
（1）求a的值及反比例函数的解析式；
（2）设直线AC为y＝mx+n，请依据图形直接写出不等式 QUOTE 的解集．
1．已知点（2，﹣6）在函数y QUOTE 的图象上，则下列有关函数y QUOTE 的说法正确的是（ ）
A．该函数的图象经过点（﹣3，﹣4）
B．该函数的图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y的值随x的增大增大
D．当x＞﹣1时，y＞4
2．从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在反比例函数 QUOTE 图象上的概率为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
3．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y QUOTE （k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10B．4 QUOTE C．3 QUOTE D．5
4．如图，已知双曲线 QUOTE 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为 ．
5．如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y QUOTE 的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若S△ABC＝12，则b＝ ．
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数 QUOTE 的图象上，且y1＞y2，请你写出一个符合要求的k的值 ．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 QUOTE 的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝5，BC∥x轴，且BC＝8，点A的坐标为（6，10）．
（1）若反比例函数 QUOTE 的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点恰好同时落在反比例函数 QUOTE 图象上，求m的值．
8．如图，已知反比例函数 QUOTE 的图象与直线y2＝k2x+b相交于A（﹣1，3），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＞y2时，对应的x的取值范围．
1．（2024•汕头校级模拟）对于反比例函数 QUOTE ，下列说法中错误的是（ ）
A．图象分布在一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点
D．若点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
【分析】依据题意，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法即可判断．
【解答】解：∵反比例函数y QUOTE ，
∴该函数图象在第一、三象限，故选项A正确，不符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误，符合题意；
反比例函数图象坐标轴无交点，故选项C正确，不符合题意；
点P（m，n）在它的图象上，
∴mn＝4．
∴m QUOTE ．
∴点Q（n，m）也在它的图象上，故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2．（2024•道里区模拟）若反比例函数y QUOTE （k≠0）的图象经过点（﹣2，5），则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．（﹣2，﹣5）B．（﹣5，﹣2）C．（1，10）D．（10，﹣1）
【分析】依据题意，将（﹣2，5）代入y QUOTE （k≠0）即可求出k的值，再根据k＝x进行判断即可得解．
【解答】解：∵反比例函数y QUOTE （k≠0）的图象经过点（﹣2，5），
∴k＝﹣2×5＝﹣10．
A、﹣2×（﹣5）＝10≠﹣10，故A不正确，不符合题意；
B、（﹣5）×（﹣2）＝10≠﹣10，故B不正确，不符合题意；
C、1×10＝10≠﹣10，故C不正确，不符合题意；
D、10×（﹣1）＝﹣10，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要能根据反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数进行判断是关键．
3．（2024•荔湾区一模）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数 QUOTE 的图象交于点A（1，2），B（﹣2，﹣1）．则关于x的不等式 QUOTE 的解集是（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞1D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】依据题意，直接利用图象法由一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量即为所求，进而得解．
【解答】解：由题意，∵点A（1，2），B（﹣2，1），
∴不等式ax+b QUOTE 的解集是一次函数y＝ax+b的图象在反比例函数y QUOTE 图象上方的部分对应的自变量的取值范围．
∴结合图象，﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题时要能根据图象找到对应的自变量是关键．
4．（2024•石峰区一模）若函数y＝（m+1）xm2﹣4m﹣6是y关于x的反比例函数，则m＝ 5 ．
【分析】根据反比例函数的定义作答即可．
【解答】解：根据反比例函数的定义，得m2﹣4m﹣6＝﹣1，且m+1≠0，
解得m＝5或m＝﹣1（舍去），
∴m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是本题的关键．
5．（2023•霞山区校级一模）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC QUOTE ，反比例函数 QUOTE 的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于 ﹣36 ．
【分析】易证S菱形ABCO＝2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，代入反比例函数即可解题．
【解答】解：如图，过点D作DE∥AO过点C作，CF⊥AO，设CF＝4x，
∵四边形OABC为菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DE∥AO，
∴S△ADO＝S△DEO，
同理S△BCD＝S△CDE，
∵S菱形ABCO＝S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，
∴S菱形ABCO＝2（S△DEO+S△CDE）＝2S△CDO＝60，
∵tan∠AOC QUOTE ，
∴OF＝3x，
∴OC＝5x，
∴OA＝OC＝5x，
∵S菱形ABCO＝AO•CF＝20x2，
解得：x QUOTE ，
∴OF＝3 QUOTE ，CF＝4 QUOTE ，
∴点C坐标为（﹣3 QUOTE ，4 QUOTE ），
∵反比例函数 QUOTE 的图象经过点C，
∴代入点C得：k＝﹣36，
故答案为：﹣36．
【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，菱形的性质，三角函数值，以及菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO＝2S△CDO是解题的关键．
6．（2024•南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y QUOTE （x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 QUOTE ．
【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，由等腰三角形的判定与性质得出OA＝BA，∠OAB＝90°，证出∠AOM＝∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN，OM＝AN，即可得到求出B的坐标，代入反比例函数即可得出一元二次方程，解方程即可得到k的值．
【解答】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，
则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵∠AOB＝∠OBA＝45°，
∴OA＝BA，∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∴∠AOM＝∠BAN，
∴△AOM≌△BAN，
∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝k，
∴OD＝1+k，BD＝OM﹣BN＝k﹣1
∴B（1+k，k﹣1），
∵双曲线y QUOTE （x＞0）经过点B，
∴（1+k）•（k﹣1）＝k，
整理得：k2﹣k﹣1＝0，
解得：k QUOTE （负值已舍去），
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
7．（2024•青海一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝2x和反比例函数y QUOTE 的图象交于A，B两点，AC⊥x轴，垂足是C．求：
（1）反比例函数y QUOTE 的解析式；
（2）△ABC的面积．
【分析】（1）依据题意，由正比例函数 y＝2x的图象与反比例函数 QUOTE 的图象交点A的纵坐标为2，则2x＝2，可得x＝1，再把x＝1，y＝2 代入 QUOTE ，得k＝2，即可得解；
（2）依据题意，由C（1，0），再结合（1）得A（1，2），又点A和点B关于原点对称，进而B（﹣1，﹣2），从而可得 QUOTE ．， QUOTE ，最后由S△ABC＝S△AOC+S△BOC进行计算可以得解．
【解答】解：（1）∵正比例函数 y＝2x的图象与反比例函数 QUOTE 的图象交点A的纵坐标为2，
∴2x＝2．
∴x＝1．
把x＝1，y＝2 代入 QUOTE ，得k＝2．
∴反比例函数解析式为： QUOTE ．
（2）∵AC⊥x轴，垂足是C，
∴C（1，0）．
由（1）得A（1，2），
∴点A和点B关于原点对称．
∴B（﹣1，﹣2）．
∴ QUOTE ．，
QUOTE ．
∴S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝1+1＝2．
∴△ABC的面积是2．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
8．（2024•铁东区校级模拟）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离为4cm，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过3cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
【分析】（1）根据题意可设y QUOTE ，然后把x＝6，y＝2代入y QUOTE 中得：2 QUOTE ，从而进行计算即可解答；
（2）把x＝4代入y QUOTE 中，进行计算即可解答；
（3）利用（2）的结论进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）设y QUOTE ，
把x＝6，y＝2代入y QUOTE 中得：2 QUOTE ，
解得：k＝12，
∴y关于x的函数表达式为：y QUOTE ；
（2）把x＝4代入y QUOTE 中得：y QUOTE 3，
∴火焰的像高为3cm；
（3）由（2）可得：当火焰的像高为3cm，小孔到蜡烛的距离为4cm，
∴火焰的像高不得超过3cm，小孔到蜡烛的距离至少是4cm．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
1．（2023•十堰二模）方程x2+4x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+4的图象与函数 QUOTE 的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在（ ）范围内．
A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜3
【分析】根据题意方程x3+mx﹣1＝0的根可视为函数y＝x2+m的图象与函数 QUOTE 的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象过第一、二象限，函数 QUOTE 的图象分别在第一、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数 QUOTE 的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m＝0时，y＝x2与 QUOTE 的交点A的坐标为（1，1），于是得到
当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
【解答】解：∵方程x3+mx﹣1＝0变形为x2+m QUOTE 0，
∴方程x3+mx﹣1＝0的根可视为函数y＝x2+m的图象与函数 QUOTE 的图象交点的横坐标，
∵当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象过第一、二象限，函数 QUOTE 的图象分别在第一、三象限，
∴它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数，
∵当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数 QUOTE 的图象的交点的横坐标越大，
当m＝0时，y＝x2与 QUOTE 的交点A的坐标为（1，1），
∴当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．也考查了阅读理解能力以及数形结合的思想．
2．（2024•全州县校级一模）如图，点A是反比例函数 QUOTE 在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数 QUOTE 在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【分析】分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC＝BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD＝OE＝a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE求解．
【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC＝CB，
∴OD＝OE，
设A（﹣a， QUOTE ），则B（a， QUOTE ），
故S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE QUOTE （ QUOTE ）×2a QUOTE a QUOTE a QUOTE 3．
解法二：过A，B两点作y轴的垂线，由AC＝BC求两个三角形全等，再求面积，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据AC＝BC，得出OC为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解．
3．（2023•泗水县四模）如图，动点P在函数 QUOTE 的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y＝﹣x+1交于点E、F，则AF•BE的值是（ ）
A．4B．2C．1D． QUOTE
【分析】由于P的坐标为（a， QUOTE ），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．
【解答】解：作FG⊥x轴，
∵P的坐标为（a， QUOTE ），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0， QUOTE ），M点的坐标为（a，0），
∴BN＝1 QUOTE ，
在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°，
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∴OB＝OA＝1，
∴NF＝BN＝1 QUOTE ，
∴F点的坐标为（1 QUOTE ， QUOTE ），
同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），
∴AF2＝（1﹣1 QUOTE ）2+（ QUOTE ）2 QUOTE ，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，
∴AF2•BE2 QUOTE •2a2＝1，即AF•BE＝1．
故选：C．
【点评】本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．
4．（2024•凉州区一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y QUOTE （k1＞0）与直线y＝k2x（k2≠0）交于A、B两点，点H是双曲线第一象限上的动点（在点A左侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA＝a•HP，HB＝b•HQ，则a﹣b的值为 ﹣2 ．
【分析】作HC⊥y轴，AD⊥y轴，BE⊥y轴分别于点C、D、E，则CH∥AD∥BE，OD＝OE，根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【解答】解：作HC⊥y轴，AD⊥y轴，BE⊥y轴分别于点C、D、E，则CH∥AD∥BE．
∵反比例函数是中心对称图形，
∴AD＝BE．
∵CH∥AD∥BE，HA＝a•HP，HB＝b•HQ，
∴ QUOTE ， QUOTE ，
即 QUOTE a+1， QUOTE b﹣1，
∴a+1＝b﹣1，
∴a﹣b＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和一次函数与反比例函数的应用，关键是根据平行线分线段成比例定理得出比例式，题目比较好，但有一定的难度．
5．（2024•南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y QUOTE （x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 QUOTE ．
【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，由等腰三角形的判定与性质得出OA＝BA，∠OAB＝90°，证出∠AOM＝∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN，OM＝AN，即可得到求出B的坐标，代入反比例函数即可得出一元二次方程，解方程即可得到k的值．
【解答】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，
则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵∠AOB＝∠OBA＝45°，
∴OA＝BA，∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∴∠AOM＝∠BAN，
∴△AOM≌△BAN，
∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝k，
∴OD＝1+k，BD＝OM﹣BN＝k﹣1
∴B（1+k，k﹣1），
∵双曲线y QUOTE （x＞0）经过点B，
∴（1+k）•（k﹣1）＝k，
整理得：k2﹣k﹣1＝0，
解得：k QUOTE （负值已舍去），
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
6．（2023•浙江模拟）如图，点P是反比例函数y1 QUOTE （x＞0）上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数 QUOTE 的图象于点A、B，若OP＝2AB，∠OBA＝90°，则点P的坐标为 （ QUOTE ， QUOTE ） ．
【分析】延长PA交x轴于C，延长PB交y轴于D，设点P（a，b），可表示出A和B两点坐标，计算得出 QUOTE ，从而得出△PAB∽△PCD，进而推出AB∥CD，根据OP＝2AB，进而得出AB是△PCD的中位线，再证得△PAB∽△DBO，从而得出a，b的关系式，结合a•b＝3 QUOTE ，从而求得a，b的值，进而得出结果．
【解答】解：如图，延长PA交x轴于C，延长PB交y轴于点D，
设点P（a，b），
∴A（a， QUOTE ），B（ QUOTE ，b），a•b＝3 QUOTE ，
∵ QUOTE ， QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∵∠APB＝∠CPD，
∴△PAB∽△PCD，
∴∠PAB＝∠PCD，
∴AB∥CD，
∴△PBA∽△PDC，
∴ QUOTE ，
∵∠PDO＝∠COD＝∠PCO＝90°，
∴四边形CODP是矩形，
∴AP＝CD，
∴ QUOTE ，
∴B（ QUOTE ，b），A（a， QUOTE ），
∵∠APB＝∠BDO＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝90°，
∴∠ABO＝90°，
∴∠DBO+∠ABP＝90°，
∴∠BOD＝∠ABP，
∴△BOD∽△ABP，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴b2 QUOTE ，
∵a•b＝3 QUOTE ，
∴a QUOTE ，b QUOTE ，
故答案为：（ QUOTE ， QUOTE ）．
【点评】本题结合反比例函数的知识，考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，发现和构造相似三角形．
7．（2024•临沂一模）如图，直线AC与函数y QUOTE 的图象相交于点A（﹣1，m），与x轴交于点C（5，0）．
（1）求m的值及直线AC的解析式；
（2）直线AE在直线AC的上方，满足∠CAE＝∠CAO，求直线AE的解析式；
（3）若D是线段AC上一点将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，点D'恰好落在函数y QUOTE 的图象上，求点D的坐标．
【分析】（1）将x＝﹣1代入反比例函数解析式即可求出m，再根据A、C两点坐标即可求出直线AC的解析式；
（2）根据∠CAE＝∠CAO，构造三角形全等，在AE上找到令一点的坐标即可求出直线AE的解析式；
（3）根据题意数形结合，利用三角形全等表示出D和D'的坐标再代入反比例函数解析式中即可求出D点坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，m）代入函数y QUOTE 中得：
m QUOTE 6，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），经过A（﹣1，6），C（5，0）两点，将其代入得：
QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）在AE上截取AF，使得AF＝AO，则：
在△ACO和△ACF中，
QUOTE ，
∴△ACO≌△ACF（SAS），
∴AF＝AO QUOTE ，
在y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5，
∴OC＝CF＝5
设F（a，b），
∴AF QUOTE ，FC QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得： QUOTE 或 QUOTE （舍去），
∴点F坐标为（5，5），
设直线AE的解析式为：y＝k'x+b'（k'≠0），经过点F（5，5），点A（﹣1，6），将其代入得：
QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴直线AE的解析式：y QUOTE ，
解法二：∵直线AC的解析式为：y＝﹣x+5；
∴∠ACO＝45°，
∴△ACO≌△ACF，
∴OC＝CF＝5，∠ACF＝∠ACO＝45°，
∴∠OCF＝90°，
∴F坐标为（5，5），
接下来同上．
（3）设OD绕点O逆时针旋转90°得到OD'，则∠DOD'＝90°，过点D作DN⊥x轴交于点N，过点D'作D'M⊥x轴交于点M，
∵∠D'OM+∠DON＝90°，∠D'OM+∠OD'M＝90°，
在△D'OM和△ODN中，
QUOTE ，
∴△D'OM≌△ODN（AAS），
∴DN＝OM，NO＝D'M，
设D（d，﹣d+5），则：DN＝OM＝﹣d+5，NO＝D'M＝d，
∵点D'在第二象限，
∴D'（d﹣5，d）且在y QUOTE 上，
∴d QUOTE ，
解得：d1＝2，d2＝3，
经检验符合题意，
∴D坐标为（2，3）或（3，2）．
【点评】本题考查反比例函数的综合性质，熟练反比例函数性质，数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．
8．（2024•河南模拟）如图所示，在平面直角坐标系中的y轴正半轴上取点A（0，3），x轴正半轴上取点B（a，0），以AB为边构造等腰直角△ABC，点P为AC的中点，反比例函数 QUOTE 过P，C两点．
（1）求a的值及反比例函数的解析式；
（2）设直线AC为y＝mx+n，请依据图形直接写出不等式 QUOTE 的解集．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥CE于点F，先证明△AOB≌△BDC，继而用a的代数式表示出点C坐标，再根据点P为中点，通过△CFP∽△CEA表示出点P坐标，最后代入 QUOTE 求解即可；
（2） QUOTE 转化为直线AC在反比例函数图象上方，所对应点的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，过点P作PF⊥CE于点F，
∴∠CDB＝90°，
∵等腰直角△ABC，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠O＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠2+∠3+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠2，
又∵∠O＝∠CDB＝90°，BA＝BC，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝AO＝3，OB＝CD＝a，
∴点C（a+3，a），
∵CE⊥PF，CE⊥AO，
∴PF∥AE，
∴△CFP∽△CEA，而P为AC的中点，
∴ QUOTE ，
而AE＝3﹣a，
∴ QUOTE ， QUOTE ，
∴点 QUOTE
将C（a+3，a）， QUOTE 分别代入 QUOTE 得：
QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴反比例函数的解析式为 QUOTE ，a＝1；
（2）∵a＝1，
∴P（2，2），C（4，1），
∵ QUOTE ，
∴直线AC：y＝mx+n在反比例函数图象上方，
∴2＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及反比例函数图象上的点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等，熟练掌握每一个知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
1．已知点（2，﹣6）在函数y QUOTE 的图象上，则下列有关函数y QUOTE 的说法正确的是（ ）
A．该函数的图象经过点（﹣3，﹣4）
B．该函数的图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y的值随x的增大增大
D．当x＞﹣1时，y＞4
【分析】由于点（2，﹣6）在函数y QUOTE 的图象上，则k＝﹣12＜0，图象位于二、四象限，根据反比例函数的性质即可判断．
【解答】解：∵点（2，﹣6）在函数y QUOTE 的图象上，
∴k＝2×（﹣6）＝﹣12＜0，
∴函数y QUOTE 位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的增大增大，
∵﹣3×（﹣4）＝12≠﹣12，
∴该函数的图象不经过点（﹣3，﹣4），
把x＝﹣1代入y QUOTE 求得y＝12，∴当x＞﹣1时，y＞12
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是能够利用待定系数法确定反比例函数的解析式，难度不大．
2．从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在反比例函数 QUOTE 图象上的概率为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
【分析】画树状图可得所有mn的积的等可能结果，由点（m，n）在反比例函数 QUOTE 图象上可得mn＝6，进而求解．
【解答】解：画树状图如下，
2×3＝6，3×2＝6，
∵共有6种等可能的结果，点P在反比例函数y QUOTE 的图象上的有2种情况，
∴点（m，n）在反比例函数 QUOTE 图象上的概率为 QUOTE ，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法．
3．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y QUOTE （k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（ ）
A．10B．4 QUOTE C．3 QUOTE D．5
【分析】设A点的坐标为（ QUOTE ）则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：（ QUOTE ），即（ QUOTE ），进而可得出BC的长度．然后将坐标代入函数解析式即可求出k的值．
【解答】解：设 A（ QUOTE ），
∴AB QUOTE ，
∵矩形的面积为10，
∴BC QUOTE ，
∴矩形对称中心的坐标为：（ QUOTE ），即（ QUOTE ）
∵对称中心在 QUOTE 的图象上，
∴ QUOTE ，
∴mk﹣5m＝0，
∴m（k﹣5）＝0，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或k＝5，
故选：D．
法二：解：连接BE，作EH⊥AB于H．
设 A（ QUOTE ），
∴AB QUOTE ，
∴E（2m， QUOTE ），
∵矩形ABCD的面积为10，
∴△ABE的面积为 QUOTE ，
∴ QUOTE ，
即 QUOTE （2m﹣m） QUOTE ，
∴k＝5．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．
4．如图，已知双曲线 QUOTE 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为 9 ．
【分析】要求△AOC的面积，已知OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），可得点D的坐标为（﹣3，2），代入双曲线 QUOTE 可得k，又AB⊥OB，所以C点的横坐标为﹣6，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积．
【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4），
∴点D的坐标为（﹣3，2），
把（﹣3，2）代入双曲线 QUOTE ，
可得k＝﹣6，
即双曲线解析式为y QUOTE ，
∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4），
∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y QUOTE ，
y＝1，
即点C坐标为（﹣6，1），
∴AC＝3，
又∵OB＝6，
∴S△AOC QUOTE AC×OB＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想．
5．如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y QUOTE 的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若S△ABC＝12，则b＝ 6 ．
【分析】先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于b的方程，解方程即可．
【解答】解：设A点坐标为（m， QUOTE ），则B点坐标为（﹣m， QUOTE ），
∴C点坐标为（m， QUOTE ），
∴AC QUOTE ，BC＝2m，
∴△ABC的面积 QUOTE AC•BC QUOTE •2m• QUOTE 12，
∴b＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、B、C的坐标是解题的关键．
6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数 QUOTE 的图象上，且y1＞y2，请你写出一个符合要求的k的值 ﹣1（答案不唯一） ．
【分析】根据点的坐标特点得出反比例函数 QUOTE 的图象在二、四象限，根据反比例函数的性质得出k＜0．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数 QUOTE 的图象上，且y1＞y2，
∴点A（﹣1，y1）在第二象限，点B（2，y2）在第四象限，
∴反比例函数 QUOTE 的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k的值可以为﹣1．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 QUOTE 的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝5，BC∥x轴，且BC＝8，点A的坐标为（6，10）．
（1）若反比例函数 QUOTE 的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点恰好同时落在反比例函数 QUOTE 图象上，求m的值．
【分析】（1）根据已知求出B与C点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，点A（6，10）．
∴ QUOTE ，∠ADB＝90°，
∴AD＝3，
∵BC∥x，
∴AD⊥x
∴D（6，7），B（2，7），C（10，7），
若反比例函数 QUOTE 的图象经过点B，则 QUOTE ，解得，k＝14，
∴反比例函数的解析式为 QUOTE ；
（2）∵点A（6，10）．C（10，7），
将△ABC向下平移m个单位长度，
∴A（6，10﹣m），C（10，7﹣m），
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴k＝6（10﹣m）＝10（7﹣m），
∴ QUOTE ．
【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，等腰三角形的性质及反比例函数的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．
8．如图，已知反比例函数 QUOTE 的图象与直线y2＝k2x+b相交于A（﹣1，3），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＞y2时，对应的x的取值范围．
【分析】（1）反比例函数 QUOTE 的图象过点A（﹣1，3）得k1＝﹣3，即可得反比例函数为 QUOTE ，根据反比例函数 QUOTE 的图象过点B（3，n）得n＝﹣1，则B（3，﹣1），根据直线y2＝k2x+b过点A（﹣1，3），B（3，﹣1）得 QUOTE ，进行计算即可得；
（2）令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，令y＝0，即C（0，2），令y＝0，则﹣x+2＝0，计算得x＝2，即D（2，0），根据S△AOB＝S△AOC+S△COD+S△ODB进行计算即可得；
（3）观察函数图象即可得；
【解答】解：（1）∵反比例函数 QUOTE 的图象过点A（﹣1，3），
∴k1＝（﹣1）×3＝﹣3，
∴反比例函数为 QUOTE ，
∵反比例函数 QUOTE 的图象过点B（3，n），
∴ QUOTE ，
∴B（3，﹣1），
∵直线y2＝k2x+b过点A（﹣1，3），B（3，﹣1），
∴ QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴一次函数的解析式y2＝﹣x+2；
（2）如图所示，令一次函数与y轴交于点C，与x轴交于点D，
在y2＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2，令y＝0，即C（0，2），
令y＝0，则﹣x+2＝0，
x＝2，
即D（2，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△COD+S△ODB
QUOTE
＝4；
（3）根据函数图象得，当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键．
二次函数
预测二次函数在中考中会有以下几种命题趋势：
销售问题：这种题型一般会涉及到成本、售价、销售量、利润等概念，并且需要建立二次函数模型来求解最值问题。比如预测题中提到的那种，通过给定的销售量和销售单价的关系，来求解最大销售利润。
图象与性质：这是二次函数的核心考点，包括图象的开口方向、与坐标轴的交点、顶点的位置和对称轴等。这些性质都是决定函数图像在平面直角坐标系中位置的重要信息，对于求解最值、交点等问题至关重要。
大小比较：二次函数大小的比较，一般会通过两种方法进行比较，一是直接求出函数值进行比较，二是通过数形结合，观察点在图像上的位置来进行比较。
解析式：二次函数的解析式主要有三种形式，这是基础中的基础，对于后续的求解和应用都非常重要。
图像与系数的关系：这是深入考察二次函数性质的重要考点，需要理解系数对图像的影响，进而求解相关问题。

Ⅰ、二次函数
一、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.
1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的一般式.
2.在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数.
3.二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
二、实际问题中的二次函数及自变量的取值范围
一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义.
Ⅱ、二次函数的图像和性质
一、画函数y＝ax2（a≠0）的图像
1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线.
2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况.
3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值.
4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像.
二、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质
二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的.
四、二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质
1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质
2.二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质
五、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系
六、二次函数图像的平移规律
平移规律：上加下减，左加右减.
1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m.
2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k.
Ⅲ、用待定系数法确定二次函数表达式
一、二次函数解析式的三种形式
1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）；
2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）；
3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）.
二、待定系数法求二次函数表达式
在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式.
1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解.
2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k.
3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
Ⅳ、二次函数与一元二次方程
一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
③当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题.
二、利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根
1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下：
（1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像；
（2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点；
（3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围；
（4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值.
2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值.
3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间.
三、二次函数与不等式的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）：
抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号.
Ⅴ、用二次函数解决问题
一、建立二次函数模型求生活中的最值问题
在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下：
1.找：找等量，分析题目中的数量关系；
2.列：列出函数表达式；
3.求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值.
二、建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题.
1．（2023•杭州）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【分析】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
【解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：直线 QUOTE ，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当 QUOTE 时，y最小，
即 QUOTE ，
当k＝2时，函数y的最小值为 QUOTE ；
当k＝4时，函数y的最小值为 QUOTE ，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
2．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y QUOTE x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1•x2＝﹣4．
②y1+y2＝4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
【解答】解：由题意，联列方程组 QUOTE
∴可得得x1，x2满足方程 QUOTE x2﹣kx﹣1＝0；y1，y2满足方程y2﹣（2+4k2）y+1＝0．
依据根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，y1+y2＝4k2+2，y1•y2＝1，
∴①、②正确．
由两点间距离公式得，AB QUOTE 4（k2+1）．
∴当k＝0时，AB最小值为4．
∴S△AOB QUOTE 1×AB＝2．
∴③正确．
由题意，kAN QUOTE ，kBN QUOTE ，
∴kAN•kBN QUOTE • QUOTE k2﹣1．
∴当k＝0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与一次函数图象的交点问题，解题时要能将问题转化成一元二次方程问题解决是关键．
3．（2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x＝﹣2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c﹣3a的符号．
③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
【解答】解：①因图象开口向下，可知：a＜0；
又∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴ QUOTE 2，整理得：b＝4a，即a、b同号．
由图象可知，当x＝4时，y＜0，
又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正确．
②由①得：b＝4a．
代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0．
即：a•（﹣1）2+4a•（﹣1）+c＞0，
整理得：c﹣3a＞0，故②正确．
③设4a2﹣2ab≥at（at+b）
则4a﹣2b≤at•t﹣bt，
两边+c得到4a﹣2b+c≤at•t﹣bt+c，
左侧为x＝﹣2时的函数值，右侧为x＝t时的函数值，
显然不成立，
故③错误．
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x＝﹣2对称，
∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，
即当﹣5＜m＜﹣2时，满足题设，故④正确．
故本题选：C．
【点评】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．
4．（2023•镇江）二次函数y＝﹣2x2+9的最大值等于 9 ．
【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，开口向下，结合解析式可以得解．
【解答】解：由题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y＝﹣2x2+9的a＝﹣2＜0，开口向下，
∴二次函数y＝﹣2x2+9有最大值为9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并理解是关键．
5．（2023•广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1 ＜ y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
【分析】依据题意，求出抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向下，故当x＞0时y随x的增大而减小，进而判断得解．
【解答】解：由题意得抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0，
又a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2﹣3开口向上．
∴当x＞0时y随x的增大而增大．
∴对于A、B当0＜x1＜x2时，y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．
6．（2023•无锡）二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a QUOTE ）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M（3，1）的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为 QUOTE 或 QUOTE 或 QUOTE ．
【分析】由题意可得，A（1，0），B（5，0），C（0，5a），所以直线BM解析式为y QUOTE x QUOTE ，与y轴交于（0， QUOTE ），因为a QUOTE ，所以5a QUOTE ，则点M必在△ABC内部．根据题意可分为两大部分：当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，则过点M的直线必为中线；当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，则必有“A”型相似，且相似比为1： QUOTE ．再画出图形分别求解即可．
【解答】解：令y＝0，解得x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
令x＝0，则y＝5a，
∴C（0，5a），
∴直线BM解析式为y QUOTE x QUOTE ，与y轴交于（0， QUOTE ），
∵a QUOTE ，
∴5a QUOTE ，
∴点M必在△ABC内部．
一、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，则过点M的直线必为中线；
①如图1，直线AM过BC中点，
∵A（1，0），M（3，1），
∴直线AM的解析式为y QUOTE x QUOTE ，
∵BC中点坐标为（ QUOTE ， QUOTE a），
代入直线求得a QUOTE ，不成立；
②如图2，直线BM过AC中点（ QUOTE ， QUOTE a），
∴直线BM解析式为y QUOTE x QUOTE ，
将AC中点坐标（ QUOTE ， QUOTE a）代入直线求得a QUOTE ；
③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为（3，0），
∴直线MB与y轴平行，不成立；
二、当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，
∴必有“A”型相似，
∵平分面积，
∴相似比为1： QUOTE ．
④如图4，直线ME∥AB，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得a QUOTE ；
⑤如图5，直线ME∥AC，
∴ QUOTE ，
∵AB＝4，
∴BE＝2 QUOTE ，
∵BN＝5﹣3＝2＜2 QUOTE ，
∴不成立；
⑤如图6，直线ME∥BC，
∴ QUOTE ，∠MEN＝∠CBO，
∴AE＝2 QUOTE ，NE＝2 QUOTE 2，tan∠MEN＝tan∠CBO，
∴ QUOTE ，
解得a QUOTE ．
故答案为： QUOTE 或 QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，一次函数的性质等相关知识，涉及分类讨论思想等知识，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．
7．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴ QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则 QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，
则DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M QUOTE ，
∴MH+DH的最小值为 QUOTE ；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，n），
当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，
∴ QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴Q（1，3）；
当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，
∴ QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴Q（1，1）；
当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，
∴ QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．
8．（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设直线l1：y＝kx+k QUOTE 交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y QUOTE 上总存在一点E，使得∠MEN为直角．
【分析】（1）运用待定系数法，将A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣8，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，则F（t，﹣2t﹣8），进而可得S△PAC＝S△PAF+S△PCF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）由直线l1：y＝kx+k QUOTE 交抛物线于点M、N，可得x2+（2﹣k）x QUOTE k＝0，利用根与系数关系可得xM+xN＝k﹣2，xMxN QUOTE k，利用两点间距离公式可得MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）2，设MN的中点为O′，过点O′作O′E⊥直线l2，垂足为E，O′E QUOTE MN，以MN为直径的⊙O′一定经过点E，所以∠MEN＝90°，即证得结论．
【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴ QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8，
∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）；
（2）解：∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C，
∴C（0，﹣8），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，则 QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，
设P（t，t2+2t﹣8），
过点P作PF∥y轴，交AC于点F，如图，
则F（t，﹣2t﹣8），
∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，
∴S△PAC＝S△PAF+S△PCF QUOTE PF•（t+4） QUOTE PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴当t＝﹣2时，S△PAC的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣8）；
（3）证明：∵直线l1：y＝kx+k QUOTE 交抛物线于点M、N，
∴x2+2x﹣8＝kx+k QUOTE ，
整理得：x2+（2﹣k）x QUOTE k＝0，
∴xM+xN＝k﹣2，xMxN QUOTE k，
∵yM＝kxM+k QUOTE ，yN＝kxN+k QUOTE ，
∴yM﹣yN＝k（xM﹣xN），
∴MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）（xM﹣xN）2＝（1+k2）[（xM+xN）2﹣4xMxN]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（ QUOTE k）]＝（1+k2）2，
∵设MN的中点为O′，
∴O′（ QUOTE ， QUOTE k2 QUOTE ），
过点O′作O′E⊥直线l2：y QUOTE ，垂足为E，如图，
∴E（ QUOTE ， QUOTE ），
∴O′E QUOTE k2 QUOTE （ QUOTE ） QUOTE （1+k2），
∴O′E QUOTE MN，
∴以MN为直径的⊙O′一定经过点E，
∴∠MEN＝90°，
∴在直线l2：y QUOTE 上总存在一点E，使得∠MEN为直角．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得O′E QUOTE MN，得出以MN为直径的⊙O′一定经过点E．
1．（2024•同安区模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1过四个点（0，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
2．（2024•滨海新区一模）抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向上，对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（不包括这两个点）．有下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③方程ax2+bx﹣b＝0没有实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．（2024•西安校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．若点P在抛物线的对称轴上，线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）
C．（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）D．（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）
4．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中， QUOTE ，∠B＝60°，∠D＝120°，当四边形ABCD面积最大时，作AE平分该四边形ABCD面积交BC于点E，则此时线段BE的长为 ．
5．（2024•南宁模拟）如图，已知正方形ABCD的顶点A，C在二次函数 QUOTE 第一象限的图象上，当点B在y轴上时，设点A，C的横坐标分别为m，n，且m＜n，则m，n满足的等量关系式是 （用含m的式子表示n）．
6．（2024•水磨沟区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 ．（填序号）
7．（2024•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（2+m）x+2m的对称轴为直线x＝t．
（1）求t的值（用含m的代数式表示）；
（2）点A（﹣t，y1），B（t，y2），C（t+1，y3）在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为（x0，0），其中0＜x0＜2，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
8．（2024•秀峰区校级模拟）二次函数解析式为y＝ax2﹣2x﹣3a．
（1）判断该函数图象与x轴交点的个数；
（2）如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，点C的坐标是（3，0），求直线CD的解析式；
（3）请你作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线CD于点R．若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且r＜m≤n，求m+n+r的取值范围．
1．（2024•长沙模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足：（1）当x＝﹣1时，y＝0，（2）对一切x的值有 QUOTE 成立．则该二次函数的解析式为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
2．（2024•苏州一模）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＜0；③若（﹣2，y1）与 QUOTE 是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024•广平县模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y QUOTE 是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（ QUOTE ，1），（ QUOTE ，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或 QUOTE B．﹣3＜n＜﹣1或 QUOTE
C．n≤﹣1或 QUOTE D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
4．（2024•武侯区校级一模）如图，二次函数y QUOTE 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．现有一长为3的线段DE在直线y QUOTE 上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是 ．
5．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数 QUOTE 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝ °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，AM交BC于点N，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 ．
6．（2023•青羊区校级模拟）如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若 QUOTE ，则点A的坐标是 ．
7．（2024•官渡区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）的顶点在x轴上方，且到x轴的距离为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数y＝ax2﹣2a﹣3a（x≥0）的图象记为T1，将T1关于原点对称的图象记为T2，T1与T2合起来得到的图象记为T，完成以下问题：
①在网格中画出函数T的图象；
②若对于函数T上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x1≤﹣2，t≤x2≤t+1时，总有y1＞y2，求出t的取值范围．
8．（2024•高青县一模）如图，已知直线l：y＝kx+4与抛物线y＝ax2+bx+2交于点A，B（1，3），且点A在x轴上，P是y轴上一点，连接PA，PB．
（1）求k，a，b的值；
（2）当PA+PB取得最小值时，求点P的坐标；
（3）若直线x＝m交直线l于点C（点C在线段AB上，不与端点重合），交抛物线于点D，连接OC．设w＝OC2+CD，求w关于m的函数表达式，并求出w的最小值．
1．抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
则下列结论：①a＞0；②c＝3；③抛物线的对称轴为直线x＝2；④方程ax2+ax+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4B．3C．2D．1
3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①④⑤
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
5．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ ．
6．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 ．
7．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是BE的中点．
（1）求m的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
（1）求抛物线表达式；
（2）点 QUOTE ，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形．
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求 QUOTE 的最小值．
1．（2024•同安区模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1过四个点（0，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
【分析】依据题意，可得抛物线的对称轴是直线x QUOTE 1，又当x＝0时，y＝﹣1，从而y1＝﹣1，且当x＝1+1＝2时，y＝﹣1，故y2＝﹣1，然后分a＞0和a＜0两种情形讨论，结合y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，即可判断得解．
【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线x QUOTE 1．
又当x＝0时，y＝﹣1，
∴y1＝﹣1，且当x＝1+1＝2时，y＝﹣1．
∴y2＝﹣1．
①若a＞0，
则当x＞1时，y随x的增大而增大．
∵3＜4，
∴y3＜y4．
∵y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，
又y1＝y2＝﹣1＜0，
∴y3＜0，y4＞0．
∴ QUOTE ．
∴ QUOTE a QUOTE ．
②若a＜0，
则当x＞1时，y随x的增大而减小．
∵2＜3＜4，
∴y1＝y2＝﹣1＞y3＞y4．
∴y1，y2，y3，y4四个数中没有一个大于0，不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
2．（2024•滨海新区一模）抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向上，对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（不包括这两个点）．有下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③方程ax2+bx﹣b＝0没有实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】依据题意，由抛物线开口向上，从而a＞0，又对称轴是直线x QUOTE 1，故b＝﹣2a＜0，再结合抛物线与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，进而a﹣b+c＜0，则c＜b﹣a＜0，进而可以判断①；由a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，从而a+2a+c＝3a+c＜0，故可判断②；又对方程ax2+bx﹣b＝0的判别式Δ＝b2+4ab，再结合b＝﹣2a，a＞0，则Δ＝b2+4ab＝4a2﹣8a2＝﹣4a2＜0，故可判断③．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
又对称轴是直线x QUOTE 1，
∴b＝﹣2a＜0．
又∵与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴a﹣b+c＜0．
∴c＜b﹣a＜0．
∴abc＞0，故①正确．
∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝3a+c＜0，故②正确．
对方程ax2+bx﹣b＝0的判别式Δ＝b2+4ab，
又b＝﹣2a，a＞0，
∴Δ＝b2+4ab＝4a2﹣8a2＝﹣4a2＜0．
∴方程没有实数根，故③正确．
故正确的有3个．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
3．（2024•西安校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．若点P在抛物线的对称轴上，线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）
C．（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）D．（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）
【分析】依据题意，把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，求出a，b可得解析式，再由抛物线的对称轴为x＝﹣1，当P点在x轴上方时，过点A'作A'M⊥x＝﹣1交于点M，证明△MPC≌△QAP（AAS），则PQ＝1，求得P（﹣1，1）；当P点在x轴下方时，△APA'为等腰直角三角形，求得AQ＝2，则P（﹣1，﹣2）．
【解答】解：由题意，把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得 QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．
∴对称轴是直线x＝﹣1．
当P点在x轴上方时，如图1，
过点A'作A'M⊥x＝﹣1交于点M，
∵∠APA'＝90°，
∴∠MPA'+∠MCP＝90°，∠MPC+∠APQ＝90°，
∴∠MCP＝∠APQ，
∵AP＝A'P，
∴△MPA'≌△QAP（AAS），
∴MP＝AQ＝2，MA'＝PQ，
设PQ＝m，则MA'＝m，MQ＝m+2，
∴A'（﹣1+m，m+2），
∵A'在抛物线上，
∴﹣（﹣1+m）2＝2（﹣1+m）+3＝m+2，
∴m＝﹣2（舍）或m＝1，
∴P（﹣1，1），此时点A'与点C重合；
当P点在x轴下方时，如图2，
∵AP＝A'P，∠APA'＝90°，
∴△APA'为等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∴PQ＝AQ＝2，
∴P（﹣1，﹣2）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法及图形旋转的性质是关键．
4．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中， QUOTE ，∠B＝60°，∠D＝120°，当四边形ABCD面积最大时，作AE平分该四边形ABCD面积交BC于点E，则此时线段BE的长为 QUOTE ．
【分析】依据题意，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，由AB＝BC＝4 QUOTE ，∠B＝60°，得出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质求出AC＝4 QUOTE ，BF＝2 QUOTE ，当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，过点D作DG⊥AC于点G，则AG＝2 QUOTE ，进而求出S△ADC＝4 QUOTE ，S△ABE＝3BE，S△AEC＝3（BC﹣BE），由AE平分四边形ABCD的面积，得出3BE＝3（4 QUOTE BE）+4 QUOTE ，即可求出BE值．
【解答】解：如图，连接AC，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝BC＝4 QUOTE ，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝4 QUOTE ，BF QUOTE BC＝2 QUOTE ．
当AD＝CD时，△ADC的面积最大，此时，四边形ABCD的面积最大，
过点D作DG⊥AC于点G，则AG QUOTE AC＝2 QUOTE ．
∵∠D＝120°，
∴∠DAG＝30°．
∴DG QUOTE 2．
∴S△ADC QUOTE •AC•DG QUOTE 4 QUOTE 2＝4 QUOTE ．
∵sinB QUOTE ，
∴AF＝AB•sin60°＝4 QUOTE 6．
∴S△ABE QUOTE •BE•AF QUOTE BE×6＝3BE．
S△AEC QUOTE •EC•AF QUOTE （BC﹣BE）×6＝3（4 QUOTE BE）．
∵AE平分四边形ABCD的面积，
∴S△ABE＝S△AEC+S△ADC．
∴3BE＝3（4 QUOTE BE）+4 QUOTE ．
∴BE QUOTE ．
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题主要考查了勾股定理，掌握等边三角形判定的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形等知识是解决问题的关键．
5．（2024•南宁模拟）如图，已知正方形ABCD的顶点A，C在二次函数 QUOTE 第一象限的图象上，当点B在y轴上时，设点A，C的横坐标分别为m，n，且m＜n，则m，n满足的等量关系式是 n＝m+2 （用含m的式子表示n）．
【分析】依据题意，连接AC、BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点D作DN⊥MN于点N，先证明△AMB≌△DNA，得A（m， QUOTE m2），C（n， QUOTE n2），从而E（ QUOTE ， QUOTE ），M（0， QUOTE m2），设B（0，b），则D（m+n， QUOTE ），N（m+n， QUOTE m2），又AM＝ND，BM＝AN，故b QUOTE m2＝n，m QUOTE n2﹣b，则 QUOTE （n+m）（n﹣m）＝m+n，再结合m+n≠0，进而可以判断得解．
【解答】解：如图，连接AC、BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点D作DN⊥MN于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC、BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，
∴∠BAM＝∠ADN．
∵∠BMA＝∠AND＝90°，BA＝AD，
∴△AMB≌△DNA（AAS）．
∴AM＝ND，BM＝AN．
∵点A、C的横坐标分别为m、n，
∴A（m， QUOTE m2），C（n， QUOTE n2）．
∴E（ QUOTE ， QUOTE ），M（0， QUOTE m2），
设B（0，b），则D（m+n， QUOTE ），N（m+n， QUOTE m2），
∴BM＝b QUOTE m2，AN＝n，AM＝m，DN QUOTE n2﹣b．
又AM＝ND，BM＝AN，
∴b QUOTE m2＝n，m QUOTE n2﹣b．
∴b QUOTE n2﹣m．
∴ QUOTE n2﹣m QUOTE m2＝n．
∴ QUOTE （n+m）（n﹣m）＝m+n．
∵点A、C在y轴的同侧，且点A在点C的左侧，
∴m+n≠0．
∴n﹣m＝2．
∴n＝m+2．
故答案为：n＝m+2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
6．（2024•水磨沟区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：①2a+b＝0；②b2﹣4ac＜2a；③对任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a；④M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．其中正确的结论有 ①③④ ．（填序号）
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标判断系数a、b、c之间的关系、二次函数图象的特点，进而对所得结论进行推断．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），
∴ QUOTE ，
∴2a+b＝0．
故①正确．
②：由①分析知： QUOTE ，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a）＝16a2，
∴若b2﹣4ac＜2a，即16a2＜2a，
∴ QUOTE ．
根据题目已有条件，无法推断出a QUOTE ，
∴②无法定论．
③∵对于任意实数x，﹣ax2﹣bx≤a成立，
即对于任意实数x，﹣ax2﹣bx﹣a≤0成立．
令g＝﹣ax2﹣bx﹣a（﹣a≠0）．
∵a＞0，
∴﹣a＜0，
∴关于实数x的二次函数g＝﹣ax2﹣bx﹣a图象开口向下．
若对于任意x，g＝﹣ax2﹣bx﹣a≤0，故需判断△＝（﹣b）2﹣4•（﹣a）•（﹣a）与0的数量关系．
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴△＝（2a）2﹣4a2＝0，
∴对于任意实数x，g≤0．
故③正确．
④ QUOTE ，
∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）．
∵b＝﹣2a，
∴y1﹣y2＝a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2a（x1﹣x2）＝a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）．
∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＞2，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＞0，
∴a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0，
∴y1﹣y2＜0，
∴y1＜y2．
故④正确．
⑤：经分析，AC≠BC，AB＝4．
若△ABC为等腰三角形，则AC＝AB或AB＝BC．
∵OA＝1，OC＝c＝﹣3a，OB＝3，
∴AC QUOTE ，BC QUOTE ．
当AC＝AB＝4时，则 QUOTE ，
∴ QUOTE （不合题意，舍去）．
当AB＝BC＝4时，则 QUOTE ，
∴ QUOTE （不合题意，舍去）．
综上所述：a值有两个．
故⑤不正确．
故答案为①③④．
【点评】主要考查抛物线的顶点坐标、根与二次函数系数的关系、二次函数图象特点以及等腰三角形的定义．
7．（2024•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（2+m）x+2m的对称轴为直线x＝t．
（1）求t的值（用含m的代数式表示）；
（2）点A（﹣t，y1），B（t，y2），C（t+1，y3）在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为（x0，0），其中0＜x0＜2，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）依据题意，抛物线为x QUOTE ，从而可得t QUOTE ；
（2）依据题意，抛物线为y＝x2﹣（2+m）x+2m＝（x﹣m）（x﹣2），从而令y＝0，可得x＝m或x＝2，再结合抛物线与x轴的一个交点为（x0，0），其中0＜x0＜2，可得0＜m＝x0＜2，又t QUOTE ，则m＝2t﹣2，再由抛物线开口向上，故当抛物线上的点离对称轴越近函数的值就越小，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，抛物线为x QUOTE ．
∴t QUOTE ．
（2）∵抛物线为y＝x2﹣（2+m）x+2m＝（x﹣m）（x﹣2），
∴令y＝0，可得x＝m或x＝2．
又抛物线与x轴的一个交点为（x0，0），其中0＜x0＜2，
∴0＜m＝x0＜2．
又t QUOTE ，
∴m＝2t﹣2．
∴0＜2t﹣2＜2．
∴1＜t＜2．
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数的值就越小．
又t﹣（﹣t）＝2t，t﹣t＝0，t+1﹣t＝1，而2＜2t＜4，
∴对于A（﹣t，y1），B（t，y2），C（t+1，y3），则y2＜y3＜y1．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
8．（2024•秀峰区校级模拟）二次函数解析式为y＝ax2﹣2x﹣3a．
（1）判断该函数图象与x轴交点的个数；
（2）如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，点C的坐标是（3，0），求直线CD的解析式；
（3）请你作一条平行于x轴的直线交二次函数的图象于点M，N，与直线CD于点R．若点M，N，R的横坐标分别为m，n，r，且r＜m≤n，求m+n+r的取值范围．
【分析】（1）依据题意，可得a≠0，又Δ＝4+12a2，进而可以判断Δ＞0，故可以得解；
（2）依据题意，将（3，0）代入抛物线为y＝ax2﹣2x﹣3a上，求出a可得解析式，再分别令x＝0和y＝0从而可以求出C、D的坐标，然后设直线CD为y＝kx+b，建立方程组即可求出k，b后得解；
（3）依据题意，由r＜m≤n，从而直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解．
【解答】解：（1）由题意可得，a≠0．
∴a2＞0．
∴Δ＝4+12a2＞4＞0．
∴该函数图象与x轴交点的个数为2．
（2）由题意，∵（3，0）在抛物线为y＝ax2﹣2x﹣3a上，
∴9a﹣6﹣3a＝0．
∴a＝1．
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3．
∴令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0．
∴x＝﹣1或x＝3．
∴C（3，0）．
又令x＝0，则y＝﹣3，
∴D（0，﹣3）．
又设CD的解析式为y＝kx+b，
∴ QUOTE ．
∴k＝1，b＝﹣3．
∴直线CD为y＝x﹣3．
（3）∵r＜m≤n，
∴直线在点D的下方、点A的上方（不能过点D，可以过点A），
当y＝﹣4时，即x﹣3＝﹣4，解得x＝﹣1，
∴﹣1≤r＜0，
由抛物线的对称性知，点M、N关于抛物线的对称轴对称，故（m+n）＝2，
∴1≤m+n+r＜2．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
1．（2024•长沙模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足：（1）当x＝﹣1时，y＝0，（2）对一切x的值有 QUOTE 成立．则该二次函数的解析式为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
【分析】证明x＝1时，y＝1，而当x＝1时，y＝1，当x＝﹣1时，y＝0得到a+b+c＝1，a﹣b+c＝0，而ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，即ax2 QUOTE x+c≥0，即可求解．
【解答】解：∴当x＝1时，y≤（ QUOTE ）2＝1，
∵y≥x，
∴当x＝1时，y≥1，
即1≤y≤1，
∴x＝1时，y＝1；
当x＝1时，y＝1，当x＝﹣1时，y＝0，
即a+b+c＝1，a﹣b+c＝0，
解得：b QUOTE ，c QUOTE a，
∵对任意实数x，恒有y≥x，
∴ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，即ax2 QUOTE x+c≥0，
∴Δ＝（ QUOTE ）2﹣4ac QUOTE 4a（ QUOTE a）≤0，即（a QUOTE ）2≤0，
解得：a QUOTE ，
故抛物线的表达式为：y QUOTE x2 QUOTE x QUOTE ，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等，题目综合性强，难度较大．
2．（2024•苏州一模）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＜0；③若（﹣2，y1）与 QUOTE 是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴ QUOTE 1，
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），
∵a＜0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵ QUOTE 0＞﹣1，
∴y1＞y2．
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝a QUOTE a，
∵a＜0，
∴当x QUOTE 时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式是解题的关键．
3．（2024•广平县模拟）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y QUOTE 是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（ QUOTE ，1），（ QUOTE ，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3＜n≤﹣1或 QUOTE B．﹣3＜n＜﹣1或 QUOTE
C．n≤﹣1或 QUOTE D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1．
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（ QUOTE ，1），
∴ QUOTE 2﹣n＝1，解得：n QUOTE ．
∴1＜n QUOTE 时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n QUOTE ，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
4．（2024•武侯区校级一模）如图，二次函数y QUOTE 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．现有一长为3的线段DE在直线y QUOTE 上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是 QUOTE t≤2 ．
【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，分三种情况讨论，由两点间距离公式和三角形三边关系可求解．
【解答】解：（1）∵y QUOTE 的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C．
∴点A（1，0），点B（3，0），点C（0， QUOTE ），对称轴为x＝2，
如图2，
∵线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等，
∴PA＝PB，或PB＝PC，或PC＝PA，
∵DE在直线y QUOTE 上移动，
∴点P的纵坐标为 QUOTE ，
设点P（x， QUOTE ），
若PA＝PC，
∴（x）2+（ QUOTE ）2＝（x﹣1）2+（ QUOTE ）2，
∴x QUOTE ，
∴点P（ QUOTE ， QUOTE ），
∴PA＝PC＝1，PC QUOTE ，
∵PA+PB QUOTE ，
∴不合题意舍去；
若PB＝PC，
∴（x）2+（ QUOTE ）2＝（x﹣3）2+（ QUOTE ）2，
∴x QUOTE ，
∴点P（ QUOTE ， QUOTE ），
∴PB＝PC QUOTE ，PA＝1，
∵PA+PB＞PC，
∴PA，PB，PC能组成三角形；
若PA＝PB，
∴（x﹣1）2+（ QUOTE ）2＝（x﹣3）2+（ QUOTE ）2，
∴x＝2，
∴点P（2， QUOTE ），
∴PA＝PB QUOTE ，PC QUOTE ，
∵PA+PB＞PC，
∴PA，PB，PC能组成三角形；
∵点P在长为3的线段DE上，
∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为： QUOTE 3≤t≤2，
∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为： QUOTE t≤2，
故答案为： QUOTE t≤2．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，两点距离公式，轴对称的性质，三角形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
5．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数 QUOTE 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝ 90 °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，AM交BC于点N，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 5 QUOTE 或 QUOTE ．
【分析】由y QUOTE x2 QUOTE x﹣4可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），即得AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，故AB2＝AC2+BC2，从而∠ACB＝90°；当NQ＝MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，可证△AHN≌△ACN（AAS），即得AH＝AC QUOTE 2 QUOTE ，NC＝HN，有BH＝AB﹣AH＝10﹣2 QUOTE ，由△BHN∽△BCA，得 QUOTE ，求出HN＝5 QUOTE ，故NC＝5 QUOTE ；当NQ＝NM时，过N作NT⊥y轴于T，可证△AOK∽△COA，得 QUOTE ，OK＝1，CK＝OC﹣OK＝3，AK QUOTE ，求出TK＝CT QUOTE CK QUOTE ，由△AOK∽△NTK，可得 QUOTE ，求得NK QUOTE ，故NC QUOTE ．
【解答】解：在y QUOTE x2 QUOTE x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），
∴AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°；
当NQ＝MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，如图：
∴∠QMN＝∠QNM＝∠ANC，
∵QM∥y轴，
∴∠QMN＝∠NKC＝∠AKO，
∴∠ANC＝∠AKO，
∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠ANC＝∠CAN，
∵∠AHN＝90°＝∠ACN，AN＝AN，
∴△AHN≌△ACN（AAS），
∴AH＝AC QUOTE 2 QUOTE ，NC＝HN，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣2 QUOTE ，
∵∠HBN＝∠CBA，∠NHB＝90°＝∠ACB，
∴△BHN∽△BCA，
∴ QUOTE ，即 QUOTE ，
∴HN＝5 QUOTE ，
∴NC＝5 QUOTE ；
当NQ＝NM时，过N作NT⊥y轴于T，如图：
∴∠NQM＝∠NMQ，
∵QM∥y轴，
∴∠NKC＝∠NCK，
∴NK＝NC，
∵∠AKO＝∠NKC，
∴∠AKO＝∠NCK，
∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠NCK＝∠ACO，
∵∠AOK＝90°＝∠COA，
∴△AOK∽△COA，
∴ QUOTE ，即 QUOTE ，
∴OK＝1，
∴CK＝OC﹣OK＝4﹣1＝3，AK QUOTE ，
∴TK＝CT QUOTE CK QUOTE ，
∵∠AKO＝∠TKN，∠AOK＝90°＝∠NTK，
∴△AOK∽△NTK，
∴ QUOTE 即 QUOTE ，
∴NK QUOTE ，
∴NC QUOTE ，
∴线段NC的长为5 QUOTE 或 QUOTE ．
故答案为：90，5 QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用，相似三角形判定及性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理．
6．（2023•青羊区校级模拟）如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若 QUOTE ，则点A的坐标是 （﹣2，2）或（1，5） ．
【分析】根据对称性，表示A、B两点的坐标，利用平面内两点间的距离公式，代入求值即可．
【解答】解：如图，
过点A作AD⊥x轴，交x轴于点E，交直线y＝x于点D，连接BD，
∵A、B关于直线y＝x对称，
设A（a，b），
∴△ABD是等腰直角三角形，四边形OEDF是正方形，
∴B（b，a），
∵ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
（4 QUOTE ）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，
32＝2（b﹣a）2，
（b﹣a）2＝16，
b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），
∴b＝a+4，
又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，
∴b＝﹣a2+6，
即a+4＝﹣a2+6，
整理得，a2+a﹣2＝0，
解得，a1＝﹣2，a2＝1，
∴当a1＝﹣2时，b＝a+4＝﹣2+4＝2，
点A的坐标为（﹣2，2）；
当a2＝1时，b＝a+4＝1+4＝5，
点A的坐标为（1，5）．
故答案为：（﹣2，2）或（1，5）．
【点评】本题考查的是二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设一个点的坐标，表示对称点的坐标．两点间的距离公式要理解并熟记．
7．（2024•官渡区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）的顶点在x轴上方，且到x轴的距离为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数y＝ax2﹣2a﹣3a（x≥0）的图象记为T1，将T1关于原点对称的图象记为T2，T1与T2合起来得到的图象记为T，完成以下问题：
①在网格中画出函数T的图象；
②若对于函数T上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x1≤﹣2，t≤x2≤t+1时，总有y1＞y2，求出t的取值范围．
【分析】（1）根据二次函数的顶点在x轴上方，且到x轴的距离为4，可得二次函数顶点的纵坐标为4，进而可得a的值，即可求得二次函数的解析式；
（2）①分别得到T1与y轴的交点，顶点坐标及与x轴正半轴的交点，画出相关函数图象；同理得到T2与y轴的交点，顶点坐标及与x轴负半轴的交点，画出相关函数图象；
②分点Q在y轴的左侧和右侧两种情况探讨y1＞y2的情况时x2的取值，即可得到t的取值范围．
【解答】解（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）的顶点在x轴上方，且到x轴的距离为4．
∴ QUOTE 4．
解得：a＝﹣1．
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵二次函数y＝﹣x2+2x+3（x≥0）的图象记为T1，
∴图象与y轴的交点为（0，3），顶点坐标为（1，4），与x轴正半轴的交点为（3，0）．
∴T1关于原点对称的图象T2，与y轴的交点为（0，﹣3），顶点坐标为（﹣1，﹣4），与x轴负半轴的交点为（﹣3，0）．
②Ⅰ、当点Q在y轴的左侧和点M（﹣2，﹣3）之间时，总有y1＞y2．
∴﹣2＜x2＜0．
∵t≤x2≤t+1，
∴﹣2＜t＜﹣1；
Ⅱ、当点Q在y轴的右侧时，点Q在点N的右边时，总有y1＞y2．
当y＝﹣3时，﹣3＝﹣x2+2x+3．
解得：x1 QUOTE 1（不合题意，舍去），x2 QUOTE 1．
∴t QUOTE 1时，总有y1＞y2．
综上：﹣2＜t＜﹣1或t QUOTE 1时，总有y1＞y2．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质．用到的知识点为：二次函数的顶点的纵坐标为 QUOTE ．本题主要采用数形结合的方法判断出y1＞y2时相对应的自变量的取值．
8．（2024•高青县一模）如图，已知直线l：y＝kx+4与抛物线y＝ax2+bx+2交于点A，B（1，3），且点A在x轴上，P是y轴上一点，连接PA，PB．
（1）求k，a，b的值；
（2）当PA+PB取得最小值时，求点P的坐标；
（3）若直线x＝m交直线l于点C（点C在线段AB上，不与端点重合），交抛物线于点D，连接OC．设w＝OC2+CD，求w关于m的函数表达式，并求出w的最小值．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）取点A关于y轴的对称点R（﹣4，0），连接BR交y轴于点P，则此时PA+PB＝PR+PB＝BR最小，即可求解；
（3）由w＝OC2+CD＝m2+（﹣m+4）2+（ QUOTE m2 QUOTE m+2+m﹣4） QUOTE m2 QUOTE m+14 QUOTE （m QUOTE ）2 QUOTE ，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得： QUOTE ，
解得： QUOTE ，
则抛物线的表达式为：y QUOTE x2 QUOTE x+2；
将点B的坐标代入一次函数表达式得：3＝k+4，
解得：k＝﹣1，
则一次函数的表达式为：y＝﹣x+4，
故k＝﹣1，a QUOTE ，b QUOTE ；
（2）取点A关于y轴的对称点R（﹣4，0），连接BR交y轴于点P，
则此时PA+PB＝PR+PB＝BR最小，
由点B、R的坐标得：直线BR的表达式为：y QUOTE （x+4），
则点P（0， QUOTE ）；
（3）设点C（m，﹣m+4），则点D（m， QUOTE m2 QUOTE m+2），
则w＝OC2+CD＝m2+（﹣m+4）2+（ QUOTE m2 QUOTE m+2+m﹣4） QUOTE m2 QUOTE m+14 QUOTE （m QUOTE ）2 QUOTE ，
故w的最小值为 QUOTE ．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
1．抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
则下列结论：①a＞0；②c＝3；③抛物线的对称轴为直线x＝2；④方程ax2+ax+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据表格中x，y的值的变化，判断①；令x＝0，y＝3，即可判断②；再根据当x＝1和x＝3时，y的值相等，求出对称轴判断③；最后根据表格知当x＝1或x＝3时，y＝0，判断④，即可得出答案．
【解答】解：由表格可知当x逐渐增大时，y的值先减小后增大，
∴抛物线开口向上，即a＞0，故①正确；
由表格知当x＝0时，y＝3，即c＝3，故②正确；
由表格知当x＝1和x＝3时，y的值相等，
∴抛物线的对称轴为直线 QUOTE ，故③正确；
由表格知当x＝1或x＝3时，y＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根满足x1＝1，x2＝3，故④正确．
可知正确的有4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
2．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4B．3C．2D．1
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故选：A．
【点评】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y＝|ax2+bx+c|与二次函数y＝ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①④⑤
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴ QUOTE 1，b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③错误；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+2a
＝at2﹣2at+a
＝a（t2﹣2t+1）
＝a（t﹣1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，灵活运用二次函数图象的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是 a≤﹣1或 QUOTE a QUOTE ．
【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+2①．
观察图象可知，当a＜0时，x＝﹣1时，y≤2时，且 QUOTE ，满足条件，可得a≤﹣1；
当a＞0时，x＝2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且 QUOTE 2满足条件，
∴a QUOTE ，
∵直线MN的解析式为y QUOTE x QUOTE ②，
联立①②并整理得：3ax2﹣2x+1＝0，
∵Δ＞0，
∴a QUOTE ，
∴ QUOTE a QUOTE 满足条件，
综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣1或 QUOTE a QUOTE ，
故答案为a≤﹣1或 QUOTE a QUOTE ．
【点评】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 3 ．
【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到 QUOTE ，解得x1+x2＝3．
【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，
∴P、Q关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x QUOTE ，
∴x1+x2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
6．如图，抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y＝x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 （﹣2，5）或（1，﹣4） ．
【分析】由于抛物线y＝x2﹣2x+k与y轴交于点C（0，﹣3），代入解析式中即可求出k，而△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，所以有两种情况：
①若QC⊥BC与C，设经过C点和Q点的直线可以表示为y＝mx﹣3，而直线BC的解析式利用待定系数法可以求出，然后利用QC⊥BC与C可以求出m，联立直线CB、CQ的解析式组成方程组即可求出交点Q的坐标；
②若点B为直角定点，那么利用同样的方法也可以求出Q的坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
∴y＝x2﹣2x﹣3，B点坐标为（3，0），
假设存在一点Q，则QC⊥BC与C，
设经过C点和Q点的直线可以表示为：y＝mx﹣3，
而直线BC可以表示为：y＝x﹣3，
∵QC⊥BC，
∴m＝﹣1
∴直线CQ解析式为：y＝﹣x﹣3，
联立方程组： QUOTE ，
解得x＝0或者x＝1，
舍去x＝0（与点C重合，应舍去）的解，
从而可得点Q为（1，﹣4）；
同理如果点B为直角定点，同样得到两点（3，0）（同理舍去）和（﹣2，5），
从而可得：点Q的坐标为：（1，﹣4）和（﹣2，5）．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，也利用了待定系数法求直线的解析式，解题的关键是利用直线解析式组成方程组求出Q的坐标．
7．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是BE的中点．
（1）求m的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点D 和点E 坐标，再根据中点坐标公式，即可求出m；
（2）易得B（﹣2，3），根据二次函数的对称性得出A（4，0），设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+bx+c，把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入，求出a、b、c的值，即可得出抛物线对应的函数关系式为．
（3）连接CD，易得C（2，0），则BC＝CE，进而得出CD是BE的垂直平分线，用待定系数法求出CD所在直线的函数表达式为 QUOTE ，与二次函数表达式联立求解即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x﹣1＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
当x＝2时，y＝﹣2x﹣1＝﹣2×2﹣1＝﹣5，
∴E（2，﹣5），
∵B（﹣2，m），点D是BE的中点，
∴m﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣（﹣5），
解得：m＝3．
（2）∵m＝3，
∴B（﹣2，3），
∵该抛物线经过原点O，对称轴x＝2，
∴A（4，0），
设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+bx+c，
把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入得：
QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴抛物线对应的函数关系式为 QUOTE ．
（3）连接CD，
∵对称轴x＝2与x轴交于点C，
∴C（2，0），
∵B（﹣2，3），E（2，﹣5），
∴ QUOTE ，
∴BC＝CE，
∴点C在BE的垂直平分线上，
∵点D是BE的中点，
∴CD是BE的垂直平分线，
设CD所在直线的函数表达式为y＝kx+t，
把D（0，﹣1），C（2，0）代入得：
QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴CD所在直线的函数表达式为 QUOTE ，
联立得： QUOTE ，
解得： QUOTE ， QUOTE ，
∴ QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴，中点坐标公式，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．
（1）求抛物线表达式；
（2）点 QUOTE ，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形．
①求点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求 QUOTE 的最小值．
【分析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；
（2）①由Q坐标求出BQ解析式，然后根据四边形ANEM是平行四边形和△BME≌△AOM得出BM＝OA＝4，再分类讨论求得M和E的坐标；
②求出AM解析式，交点为P，再求出H坐标，然后由两点间距离公式求出BP和BH长度，因为旋转不改变长度，所以BP1长度不变，当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，所以此时OH1等于BO﹣BH，然后代入计算即可．
【解答】解：（1）①抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），
∴ QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴抛物线的表达式为 QUOTE ；
（2）∵抛物线的表达式为 QUOTE ，
∴OA＝4，
设直线BQ的解析式为y＝kx+b1，
∵B（﹣6，0）， QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴直线BQ的解析式为 QUOTE ，
∵N为BQ与y轴交点，
∴N（0，2），
∴AN＝2，
∵四边形ANEM是平行四边形，
∴AN∥EM且EM＝AN＝2，且点E在点M下方，
∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM，
∴BM＝OA＝4，
∵B（﹣6，0），
∴M（﹣2，0）或（﹣10，0），
若M为（﹣2，0），
∵∠BME＝∠AOM＝90°，
故E（﹣2，﹣2），
若M为（﹣10，0），
∵OM＝ME＝2，此时OM＝10，（矛盾，舍去），
综上，点E的坐标为（﹣2，﹣2）；
②如图，设AM的解析式为y＝kx+b，
∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，
∴点A的坐标为（0，4），
将点A（0，4）、M（﹣2，0）的坐标代入y＝kx+b得：
QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴AM的解析式为y＝2x+4，
AM与BQ相交于点P，
∴ QUOTE ，
解得 QUOTE ，
所以点P的坐标为 QUOTE ，
设直线BE的解析式为y＝mx+n，
将点B、E的坐标代入直线BE的解析式得：
QUOTE ，
解得 QUOTE ，
所以直线BE的解析式为 QUOTE ，
BE与AM相交于点H，
∴ QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∴点H的坐标为 QUOTE ，
∴BP QUOTE ，
BH QUOTE ，
∴ QUOTE ，
当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，
∴OH1＝BO﹣BH QUOTE ，
∴ QUOTE ；
方法二：提示：可证△BHP是等腰直角三角形 则等腰Rt△BH1P1，
取F（0，6），则等腰Rt△BOF，△BH1O与△BP1F相似，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE BP1+FP1≥BF，
即 QUOTE 1≥6 QUOTE ，
故 QUOTE 的最小值 QUOTE ．
【点评】本题考查了抛物线的综合运用，利用待定系数法求函数的解析式，找出相关点坐标，逐步分析求解是解题的关键．
函数综合
1．（2023•绍兴）已知点M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由点N（﹣2，a），P（2，a）关于y轴对称，可排除选项A、C，再根据M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，从而排除选项D．
【解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C不符合题意；
由M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项B符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD QUOTE AB，反比例函数y QUOTE （k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（ QUOTE ， QUOTE ），确定D（ QUOTE ，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可．
【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），
∵矩形OABC的对称中心M，
∴延长OM恰好经过点B，M（ QUOTE ， QUOTE ），
∵点D在AB上，且 AD QUOTE AB，
∴D（ QUOTE ，b），
∴BD QUOTE a，
∴S△BDM QUOTE BD•h QUOTE a×（b QUOTE ） QUOTE ab，
∵D在反比例函数的图象上，
∴ QUOTE ab＝k，
∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM QUOTE ab QUOTE k QUOTE ab＝3，
∴ab＝16，
∴k QUOTE ab＝4，
解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，
∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，
则三角形DBO的面积为6，
∵AD＝1/4AB，
∴AD：DB＝1：3，
∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，
即三角形ADO的面积为2，
∴K＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
3．（2023•金华）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数 QUOTE 的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b QUOTE 的解是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2D．﹣3＜x＜0或x＞3
【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函数上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
结合图象，
∴当ax+b QUOTE 时，﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质，通过图象直接得出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
4．（2023•达州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y QUOTE 的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y QUOTE 的图象过点C，则k的值为 ．
【分析】依据题意，点C在AB的垂直平分线上，可得直线OC为y QUOTE ，故可设C（a， QUOTE ），再由AC＝AB求出a的值代入y QUOTE 即可求解．
【解答】解：由题意，建立方程组 QUOTE ，
∴ QUOTE 或 QUOTE ．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y QUOTE ．
∴可设C（a， QUOTE ）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得： QUOTE ．
∴a＝±2 QUOTE ．
∴C（2 QUOTE ， QUOTE ）或（﹣2 QUOTE ， QUOTE ）．
将点C代入y QUOTE 得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点的坐标特征，解题时需要熟悉图象，理解题意．
5．（2023•青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④k QUOTE a．其中正确的是 .（只填写序号）
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a＞0，c＜0，再结合对称轴x＝﹣1，同时令ax2+bx+c＝kx，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【解答】解：由图象可得，a＞0，c＜0，又 QUOTE 1，
∴b＞0．
∴abc＜0．
∴①正确．
由题意，令ax2+bx+c＝kx，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．
又二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的两根之和为﹣3+2＝﹣1，两根之积为﹣3×2＝﹣6．
∴ QUOTE 1， QUOTE 6．
∴6a+c＝0．
又b＝2a，
∴3b+c＝0．
∴3b+2c＝c＜0．
∴②错误，③正确．
∵ QUOTE 1，b＝2a，
∴k＝a．
∴④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
6．（2023•黄石）如图，点A（a， QUOTE ） 和B（b， QUOTE ）在反比例函数y QUOTE （k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为 QUOTE ，则 QUOTE ．
【分析】由A点的坐标可得出k的值，再结合k的几何意义即可求出△AOC的面积．过点B作x轴的垂线，将△AOB的面积转化为梯形的面积，即可求出 QUOTE 的值．
【解答】解：因为点A（a， QUOTE ）在反比例函数y QUOTE 的图象上，
则 QUOTE ，又a＞0，
解得k＝5．
根据k的几何意义可知，
QUOTE ．
过点B作x轴的垂线，垂足为D，
则S△OBD+S梯形ACDB＝S△AOC+S△AOB，
又根据k的几何意义可知，
S△OBD＝S△AOC，
则S梯形ACDB＝S△AOB．
又△AOB的面积为 QUOTE ，且A（a， QUOTE ），B（b， QUOTE ），
所以 QUOTE ，
即 QUOTE ．
解得 QUOTE ．
又a＞b＞0，
所以 QUOTE ．
故答案为： QUOTE ，2．
【点评】本题考查反比例函数中系数k的几何意义，熟知k的几何意义及将△AOB的面积转化为梯形的面积是解题的关键．
7．（2023•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y QUOTE （x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【分析】（1）根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；
（2）分2n+2 QUOTE 2、2n+2 QUOTE 2两种情况，计算即可．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
则﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直线l的解析式为y＝2x+2，
∵点C在直线l上，点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标为2×2+2＝6，
∴点C的坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n， QUOTE ），
∴DE＝|2n+2 QUOTE |，
∵OB∥DE，
∴当OB＝DE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∵直线y＝2x+2与y轴交于点B，
∴OB＝2，
∴|2n+2 QUOTE |＝2，
当2n+2 QUOTE 2时，n1 QUOTE ，n2 QUOTE （舍去），
此时，点D的坐标为（ QUOTE ，2 QUOTE 2），
当2n+2 QUOTE 2时，n1 QUOTE 1，n2 QUOTE 1（舍去），
此时，点D的坐标为（ QUOTE 1，2 QUOTE ），
综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（ QUOTE ，2 QUOTE 2）或（ QUOTE 1，2 QUOTE ）．
【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
8．（2023•眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当 QUOTE 的值最大时，求点P的坐标及 QUOTE 的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由PE∥x轴，得△EPD∽△ABD，进而得出 QUOTE （t QUOTE ）2 QUOTE ，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）设点P的坐标，则点M的坐标可表示，PM长度可表示，利用翻折推出PM＝CM，列方程求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴ QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则 QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵PE∥x轴，
∴△EPD∽△ABD，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE （t QUOTE ）2 QUOTE ，
∵ QUOTE 0，
∴当t QUOTE 时， QUOTE 的值最大，最大值为 QUOTE ，此时点P的坐标为（ QUOTE ， QUOTE ）；
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则M（m，m+3），
∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，
CM QUOTE |m|，
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，
∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，
∴∠PCM′＝∠MPC，
∴∠PCM＝∠MPC，
∴PM＝CM，
∴|m2+3m| QUOTE |m|，
当m2+3m QUOTE m时，
解得：m1＝0（舍去），m2 QUOTE 3，
此时点M（ QUOTE 3， QUOTE ）；
当m2+3m QUOTE m时，
解得：m1＝0（舍去），m2 QUOTE 3，
此时点M（ QUOTE 3， QUOTE ）；
综上，点M的坐标为（ QUOTE 3， QUOTE ）或（ QUOTE 3， QUOTE ）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，几何图形与二次函数结合的问题，相似三角形的判定和性质，翻折变换的性质等，最后一问推出PM＝CM为解题关键．
1．（2023•东莞市三模）如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠A＝60°，动点P沿A﹣B﹣C﹣D匀速运动，运动速度为2cm/s，同时动点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为1cm/s，点Q到点D时两点同时停止运动，设点Q走过的路程为x（s），△APQ的面积为y（cm2），能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024•江阳区模拟）已知关于x的方程ax2＝|x|﹣1有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，设x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论不正确的是（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝0
B．x2＜﹣1
C．x1•x2•x3•x4＞17
D．若﹣1＜m＜x3，则am2＞|m|﹣1
3．（2024•镇海区校级二模）如图，点A在反比例函数 QUOTE 的图象上，点B在反比例函数 QUOTE 的图象上，且OA⊥OB，连结AB交 QUOTE 图象于点C，若C是AB的中点，则△AOB的面积是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
4．（2023•庆云县模拟）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式y QUOTE 中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
④如图中，曲线表示y是x的函数．
5．（2024•绵阳模拟）如图，A、B是反比例函数 QUOTE 图象上的两点，过点A、B分别作x轴的平行线交y轴于点C、D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标是4，CD＝3AC， QUOTE ，则A点的坐标是 ．
6．（2024•安徽模拟）如图，△ABC和△BOC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠OBC＝90°，反比例函数y QUOTE （x＞0）经过点A，且AB＝2 QUOTE ．
（1）k＝ ；
（2）连接OA，则S△ODC﹣S△ABD＝ ．
7．（2024•龙泉驿区模拟）某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于45元/千克．经市场调查发现每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
8．（2024•潮州一模）如图所示，直线y＝kx+b与抛物线y＝（x+1）2+m交于点B（1，0）和D（n，﹣3），点D在第三象限．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）抛物线y＝（x+1）2+m与x轴另一交点为A，直线y＝kx+b交抛物线对称轴于点E，求△ADE的面积．
1．（2024•广陵区一模）如图，抛物线y QUOTE （x﹣t）（x﹣t+6）与直线y＝x﹣1有两个交点，这两个交点的纵坐标为m、n．双曲线y QUOTE 的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（ ）
A．t＜0B．0＜t＜6C．1＜t＜7D．t＜1或t＞6
2．（2024•扶沟县一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式 QUOTE ，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
3．（2023•香洲区校级一模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2+（b QUOTE ）x+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2024•广西模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线 QUOTE （k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则sin∠AMP的值为 ．
5．（2023•天山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（﹣1，2）、（1，1）．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为﹣2．在抛物线移动过程中，a﹣b+c的最小值是 ．
6．（2024•武威一模）如图，A、B是函数y QUOTE 上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 ．（填序号）
7．（2024•市中区一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点 QUOTE ，B（点A在B左边），交y轴于C，点 QUOTE 是抛物线上一点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）在对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP＝45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2024•双流区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+1与y轴交于点A，与双曲线 QUOTE 的交点为B（p，3），且△AOB的面积为 QUOTE ．
（1）求a，k的值；
（2）直线y＝mx﹣8m+1与双曲线 QUOTE 的交点为C，D（C在D的左边）．
①连接AC，AD，若△ACD的面积为24，求点C的坐标；
②直线y＝7与直线y＝mx﹣8m+1交于点E，过点D作DF⊥DE，交直线y＝7于点F，G为线段DF上一点，且 QUOTE ，连接AG，求 QUOTE 的最小值．
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y QUOTE 的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数y QUOTE （x＜0）和y QUOTE （x＞0）的图象上，则k﹣2的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣4D．4
3．如图，直线y＝﹣x+b与直线y＝2x交于点A的横坐标为﹣1，则不等式﹣x+b＞2x的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．x＜﹣1C．﹣2＜x＜﹣1D．﹣1＜x＜2
4．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为 ．
5．如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y QUOTE （k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC QUOTE ，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y QUOTE （k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 ．
6．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．
（1）当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为 ；
（2）当△ABC是直角三角形时，a的值为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线CD：y＝﹣x﹣2与y轴交于点D，与反比例函数y QUOTE 在第二象限内的图象相交于点C（﹣4，a）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当﹣6≤x≤﹣1时，求y QUOTE 的函数值的取值范围；
（3）将直线CD向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且△ACD的面积为18，求平移后直线的关系式．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，EP∥y轴，当线段PE的长度最大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．
1．（2023•东莞市三模）如图，▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠A＝60°，动点P沿A﹣B﹣C﹣D匀速运动，运动速度为2cm/s，同时动点Q从点A向点D匀速运动，运动速度为1cm/s，点Q到点D时两点同时停止运动，设点Q走过的路程为x（s），△APQ的面积为y（cm2），能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分段函数，只要求出0≤x≤2时的函数图象即可判断．
【解答】解：当0≤x≤2时，
y QUOTE x• QUOTE ，
∴0≤x≤2时，y随着x的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A，B、C错误．
故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．（2024•江阳区模拟）已知关于x的方程ax2＝|x|﹣1有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，设x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论不正确的是（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝0
B．x2＜﹣1
C．x1•x2•x3•x4＞17
D．若﹣1＜m＜x3，则am2＞|m|﹣1
【分析】依据题意，将x1，x2看作是直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2交点的横坐标，将x3，x4看作是直线y＝x﹣1与抛物线y＝ax2交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得解．
【解答】解：由题意，∵关于x的方程ax2＝|x|﹣1有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，
∴y＝ax2与y QUOTE 的交点有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4．
如图所示，画出y＝ax2与y QUOTE 的图象，易得a＞0．
∵y＝ax2与y QUOTE 的图象都关于y轴对称，
∴x2＝﹣x3，x1＝﹣x4．
∴x1+x2+x3+x4＝0，故A正确，不合题意．
∵y QUOTE 与x轴交点为（1，0），（﹣1，0），
∴x2＜﹣1，故B正确，不合题意．
当x＞0时，y＝ax2与y＝﹣x﹣1的交点横坐标为x3，x4，
即方程ax2﹣x+1＝0有两个大于0的解，
∴x QUOTE 0．
∴ QUOTE ．
∴0＜a QUOTE ．
即x3x4 QUOTE ，x1•x2•x3•x4 QUOTE 16，故C错误，符合题意．
由图象，当﹣1＜m＜x3，显然am2＞|m|﹣1，故D正确，不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
3．（2024•镇海区校级二模）如图，点A在反比例函数 QUOTE 的图象上，点B在反比例函数 QUOTE 的图象上，且OA⊥OB，连结AB交 QUOTE 图象于点C，若C是AB的中点，则△AOB的面积是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
【分析】依据题意，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，可证得△AOD∽△OBE，根据反比例函数系数的几何意义可得 QUOTE ，即可得出 QUOTE ，设A（m， QUOTE ），则B（ QUOTE ， QUOTE m），运用中点坐标公式可得C（ QUOTE ， QUOTE ），代入y QUOTE ，可得 QUOTE • QUOTE 1，从而可得出m2 QUOTE 2 QUOTE ，进而可得OA2＝m2 QUOTE 4，最后结合面积公式可以得解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∴∠ADO＝∠BEO＝90°．
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°．
∴∠AOD+∠BOE＝∠AOD+∠OAD＝90°．
∴∠OAD＝∠BOE．
∴△AOD∽△OBE．
∴ QUOTE （ QUOTE ）2．
∵ QUOTE ，
∴ QUOTE ．
设A（m， QUOTE ），则B（ QUOTE ， QUOTE m），
∵点C为AB的中点，
∴C（ QUOTE ， QUOTE ）．
∵点C也恰好在反比例函数y QUOTE （x＞0）的图象上，
∴ QUOTE • QUOTE 1．
∴m2 QUOTE 2 QUOTE ．
∴m2 QUOTE 4．
∴S△AOB QUOTE OA•OB QUOTE OA• QUOTE OA QUOTE OA2 QUOTE （m2 QUOTE ）＝2 QUOTE ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，乘法公式等知识点，熟练掌握反比例函数系数的运用及乘法公式恒等变形是解题关键．
4．（2023•庆云县模拟）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ①②③ ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式y QUOTE 中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
④如图中，曲线表示y是x的函数．
【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【解答】解：①C＝2πr，圆的周长C是半径r的函数，故①正确；
②表达式y QUOTE 中，y是x的函数，故②正确；
③如表中，n是m的函数，故③正确；
④如图中，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故④不正确；
所以，上列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
5．（2024•绵阳模拟）如图，A、B是反比例函数 QUOTE 图象上的两点，过点A、B分别作x轴的平行线交y轴于点C、D，直线AB交y轴正半轴于点E．若点B的横坐标是4，CD＝3AC， QUOTE ，则A点的坐标是 （ QUOTE ，3） ．
【分析】依据题意，由cs∠BED QUOTE ，则设DE＝3a，BE＝5a，则BD＝4a＝4，即可求得a＝1；设AC＝b，则CD＝3b，由AC∥BD，求出b的值；再设A（ QUOTE ， QUOTE n）、B（4，n），将点A、B的值，代入反比例函数表达式即可求解．
【解答】解：∵BD∥x轴，
∴∠EDB＝90°，
∵cs∠BED QUOTE ，
∴设DE＝3a，BE＝5a，
∴BD QUOTE 4a，
∵点B的横坐标为4，
∴4a＝4，则a＝1．
∴DE＝3．
设AC＝b，则CD＝3b，
∵AC∥BD，
∴ QUOTE ．
∴EC QUOTE b．
∴ED＝3b QUOTE b QUOTE b．
∴ QUOTE b＝3，则b QUOTE ．
∴AC QUOTE ，CD QUOTE ．
设B点的纵坐标为n，
∴OD＝n，则OC＝CD+OD QUOTE n．
∵A（ QUOTE ， QUOTE n），B（4，n），
∴A、B是反比例函数y QUOTE （k＞0，x＞0）图象上的两点．
∴k QUOTE （ QUOTE n）＝4n．
∴n QUOTE ．
∴A（ QUOTE ，3）．
故答案为（ QUOTE ，3）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
6．（2024•安徽模拟）如图，△ABC和△BOC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠OBC＝90°，反比例函数y QUOTE （x＞0）经过点A，且AB＝2 QUOTE ．
（1）k＝ 12 ；
（2）连接OA，则S△ODC﹣S△ABD＝ 4 ．
【分析】（1）依据题意，作AH⊥x轴于H，交BC于点E，结合△BAC是等腰直角三角形，可得AE＝BE＝2，又△BOC是等腰直角三角形，可得AH＝AE+BO＝2+4＝6，从而A（2，6），代入解析式可以得解；
（2）依据题意得，BC∥OH，从而 QUOTE ，进而可得BD、CD的值，故可得S△ODC，S△ABD，最后计算可以得解．
【解答】解：（1）作AH⊥x轴于H，交BC于点E．
由题意得，AH⊥BE，
又△BAC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴BC QUOTE AB QUOTE 4＝2AE．
∴AE＝BE＝2．
又△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝90°，
∴BO＝BC＝4．
∴AH＝AE+BO＝2+4＝6．
∴A（2，6）．
又点A在反比例函数y QUOTE 上，
∴k＝2×6＝12．
故答案为：12．
（2）由题意得，BC∥OH，
∴ QUOTE ．
又OH＝BE＝2，
∴DE QUOTE ．
∴BD＝BE﹣DE＝2 QUOTE ，CD＝BC﹣BD＝4 QUOTE ．
∴S△ODC QUOTE ，S△ABD QUOTE ．
∴S△ODC﹣S△ABD QUOTE ．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
7．（2024•龙泉驿区模拟）某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于45元/千克．经市场调查发现每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
【分析】（1）依据题意，由待定系数法进行计算可以得解；
（2）依据题意，设利润为w元，由22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣（x﹣45）2+625，再结合二次函数的性质可以判断此时的w最值，又30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2（x﹣35）2+450，又当 x＝35时，w取得最大值为450，再由450＞400，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，当22≤x≤30时，设y＝kx+b，
又过（22，48），（30，40），
∴ QUOTE ．
∴ QUOTE ．
∴此时，y＝﹣x+70．
当30＜x≤45时，设y＝mx+n，
又由（30，40），（45，10），
∴ QUOTE ．
∴ QUOTE ．
∴此时，y＝﹣2x+100．
综上，y QUOTE ．
（2）由题意，设利润为w元，
当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）
＝﹣x2+90x﹣1400
＝﹣（x﹣45）2+625，
又∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当 x＝30时，w取得最大值为 400．
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）
＝﹣2x2+140x﹣2000
＝﹣2（x﹣35）2+450，
∴当 x＝35时，w取得最大值为450．
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg 时，利润最大为450元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题时要能熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键．
8．（2024•潮州一模）如图所示，直线y＝kx+b与抛物线y＝（x+1）2+m交于点B（1，0）和D（n，﹣3），点D在第三象限．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）抛物线y＝（x+1）2+m与x轴另一交点为A，直线y＝kx+b交抛物线对称轴于点E，求△ADE的面积．
【分析】（1）依据题意，将B（1，0）代入抛物线y＝（x+1）2+m，从而求出m可以抛物线的解析式；又D（n，﹣3）在抛物线上，且在第三象限，故可得D的坐标，再将B、D代入直线y＝kx+b得，可得直线的解析式；
（2）依据题意，由抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且B（1，0），从而可得A（﹣3，0），又直线BD为y＝x﹣1，且E在对称轴上，则E（﹣1，﹣2），再结合S△ADE＝S△ABD﹣S△ABE可以计算得解．
【解答】解：（1）由题意，将B（1，0）代入抛物线y＝（x+1）2+m，
∴4+m＝0．
∴m＝﹣4．
∴抛物线为y＝（x+1）2﹣4．
又D（n，﹣3）在抛物线上，
∴（n+1）2﹣4＝﹣3．
∴n＝0或n＝﹣2．
又D（n，﹣3）在第三象限，
∴n＝﹣2．
∴D（﹣2，﹣3）．
将B、D代入直线y＝kx+b得，
QUOTE ，
∴ QUOTE ．
∴直线为y＝x﹣1．
（2）由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，且B（1，0），
∴A（﹣3，0）．
又直线BD为y＝x﹣1，且E在对称轴上，
∴E（﹣1，﹣2）．
∵S△ABD QUOTE AB•|yD| QUOTE （1+3）×3＝6，S△ABE QUOTE AB•|yE| QUOTE （1+3）×2＝4，
∴S△ADE＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
1．（2024•广陵区一模）如图，抛物线y QUOTE （x﹣t）（x﹣t+6）与直线y＝x﹣1有两个交点，这两个交点的纵坐标为m、n．双曲线y QUOTE 的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（ ）
A．t＜0B．0＜t＜6C．1＜t＜7D．t＜1或t＞6
【分析】根据mn＜0，确定点A、B、M、N在图象的大致位置，利用点A′在点M之上，点B′在点N之上，列出不等式求解即可．
【解答】解：双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则mn＜0，
设抛物线与直线的两个交点为M、N，其纵坐标分别为m、n，则两个交点的位置如图所示，
设抛物线交x轴于点A、B，则点A、B的坐标分别为：（t﹣6，0）、（t，0），
分别过点A、B作y轴的平行线，分别交直线于点A′、B′，
则点A′、B′的坐标分别为：（t﹣6，t﹣7）、（t，t﹣1），
从图象看，点A′在点M之上，点B′在点N之上，
即t﹣7＞m，t﹣1＞n，
则7﹣t＜﹣m，1﹣t＜﹣n，
故（7﹣t）（1﹣t）＜mn＜0，
解得：1＜t＜7，
故选：C．
【点评】本题综合考查一次函数、二次函数的性质，题目的关键是确定几个交点的大致位置，这是一道难度中等的题目．
2．（2024•扶沟县一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式 QUOTE ，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
【分析】由图3可以直接判断A；根据欧姆定律计算当报警器刚好开始报警时通过电路的电阻，根据串联电路电阻规律计算此时压敏电阻的阻值，根据F＝pS计算压敏电阻受到的压力即可判断B，根据液体压公式计算水箱中水的深度即可判断C；根据液体压强公式计算水深为1m时压敏电阻受到的压强，根据F＝pS计算此时压敏电阻受到的压力，由乙图可知此时压敏电阻的阻值，由B知当报警器刚好开始报警时电路总电阻，根据串联电路电阻规律计算选用的定值电阻的阻值．
【解答】解：A、由图3可知，水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa，
故A正确，不符合题意；
B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R QUOTE 20（Ω），
比时压敏电阻的阻值：R2＝R﹣R1＝20Q﹣10Q＝10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N，
故B不正确，符合题意；
C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P QUOTE 8000（Pa），
则水箱的深度为h QUOTE 0.8（m），
故C正确，不符合题意；
D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：P＝ρgh＝1.0×103×10×l＝10000（Pa），
此时压敏电阻受到的压力：F＝PS＝10000×0.01＝100（N），
由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω，
由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q，
根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R1＝R﹣R2＝20﹣8＝12．
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数，关键串联电路特点、欧姆定律、液体压强公式、压强定义公式的灵活运用．
3．（2023•香洲区校级一模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2+（b QUOTE ）x+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；
②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；
③根据抛物线的对称性即可求解；
④根据抛物线的平移即可求解；
⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【解答】解：①因为抛物线的对称轴为x＝1，
即 QUOTE 1，所以b＝﹣2a，
所以①错误；
②当x＝1时，y＝n，
所以a+b+c＝n，因为b＝﹣2a，
所以﹣a+c＝n，
所以②正确；
③因为抛物线的顶点坐标为（1，n），
即对称轴为x＝1，
且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
所以抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
所以③正确；
④因为ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx＜﹣2x，
根据图象可知：
把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象，
所以当x＜0时，ax2+bx＜﹣2x，
即ax2+（b+2）x＜0．
所以④正确；
⑤一元二次方程ax2+（b QUOTE ）x+c＝0，
Δ＝（b QUOTE ）2﹣4ac，
因为根据图象可知：a＜0，c＞0，
所以﹣4ac＞0，
所以Δ＝（b QUOTE ）2﹣4ac＞0，
所以一元二次方程ax2+（b QUOTE ）x+c＝0有两个不相等的实数根．
所以⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
4．（2024•广西模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线 QUOTE （k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则sin∠AMP的值为 QUOTE ．
【分析】先求出A、B点坐标，过点B作BH⊥OA于H交OM于J，利用全等三角形的性质证明OJ＝PB，JH＝PH，JM＝PM即可得∠AMP＝∠BMK，再证明∴△OHJ∽△OKP，求得PK，解Rt△BMk便可得出结果．
【解答】解：由 QUOTE 消去y得到，x2﹣2ax+k＝0，
∵直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线 QUOTE （k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即4a2﹣4k＝0，
∴k＝a2，
解方程组得到， QUOTE ，
∴B（a，a），
令y＝0，得y＝﹣x+2a＝0．
解得x＝2a，
∴A（2a，0），
过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．
由题意，B（a，a），A（2a，0），
∴OH＝BH＝AH＝a，
∵OM⊥PB，BH⊥OA，
∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，
∵∠OJH＝∠BJK，
∴∠HOJ＝∠HBP，
∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，
∴△OHJ≌△BHP（ASA），
∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，
AP＝BJ，
∵∠AHB＝90°，HB＝HA，
∴∠PAM＝∠JBM＝45°，
∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，
∴∠BJM＝∠APM，
∴△BJM≌△APM（ASA），
∴BM＝AM，∠BMJ＝∠AMP，
∴M（ QUOTE a， QUOTE a），
∴BM QUOTE ，
设直线OM的解析式为：y＝kx，则 QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴直线OM的解析式为：y QUOTE x，
∴J（a， QUOTE a），
∴JH＝PH QUOTE a，
∴BP＝OJ QUOTE ，
∵∠OHJ＝∠OKP＝90°，∠HOJ＝∠KOP，
∴△OHJ∽△OKP，
∴ QUOTE ，即 QUOTE ，
∴KP QUOTE ，
∴BK＝BP﹣KP QUOTE ，
∴sin∠AMP＝sin∠BMK QUOTE ．
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
5．（2023•天山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（﹣1，2）、（1，1）．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为﹣2．在抛物线移动过程中，a﹣b+c的最小值是 ﹣7 ．
【分析】x＝﹣1时，y1＝a﹣b+c，当顶点在点B时，y1最小，此时点C（﹣2，0），即可求解．
【解答】解：点C横坐标最小时，顶点在A点，
则函数的表达式为：y＝a（x+1）2+2，
此时点C（﹣2，0），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣2，
当顶点在B处时，a﹣b+c值最小，
则抛物线的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）2+1，
当x＝﹣1时，y1＝a﹣b+c＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题关键在于确定a﹣b+c的最小值时，抛物线所在的位置，进而求解．
6．（2024•武威一模）如图，A、B是函数y QUOTE 上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 ②③④ ．（填序号）
【分析】根据点P是动点，得到BP与AP不一定相等，判断出①错误；设出点P的坐标，得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确；利用角平分线定理的逆定理判断出③正确；求出矩形OMPN＝2，进而得出mn＝2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．
【解答】解：点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①错误；
设P（m，n），
∴BP∥y轴，
∴B（m， QUOTE ），
∴BP＝| QUOTE n|，
∴S△BOP QUOTE | QUOTE n|×|m|＝|3 QUOTE mn|，
∵PA∥x轴，
∴A（ QUOTE ，n）
∴AP＝| QUOTE m|，
∴S△AOP QUOTE | QUOTE m|×|n|＝|3 QUOTE mn|，
∴S△AOP＝S△BOP，②正确；
如图1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∵S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，
∴PE＝PF，
∵PE＝PF，PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB，③正确；
如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，
∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON＝90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y QUOTE 上，
∴S△AMO＝S△BNO＝3，
∵S△BOP＝2，
∴S△PMO＝S△PNO＝1，
∴S矩形OMPN＝2，
∴mn＝2，
∴m QUOTE ，
∴BP＝| QUOTE n|＝|3n﹣n|＝2|n|，
AP＝| QUOTE m|＝| QUOTE |，
∴S△ABP QUOTE 2|n|×| QUOTE |＝4，④正确；
故答案为②③④．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键．
7．（2024•市中区一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点 QUOTE ，B（点A在B左边），交y轴于C，点 QUOTE 是抛物线上一点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）在对称轴上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）如图2，抛物线上是否存在点Q，使∠QCP＝45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）由对称可得，直线BC与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线BC的关系式和对称轴，求出交点坐标即可；
（3）分两种情况：当Q在PC下方或当Q在PC上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可．
【解答】解：（1）将点 QUOTE ， QUOTE 代入y＝ax2+bx+2，
得： QUOTE ，
解得： QUOTE
∴抛物线的解析式为 QUOTE ；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴点C（0，2），
当y＝0时，有 QUOTE ，
解得： QUOTE ，x2＝4，
∴点B（4，0），
∴抛物线的对称轴为：直线 QUOTE ，
设直线BC的关系式为y＝kx+2，把点B坐标代入，
得：0＝4k+2，解得， QUOTE ，
∴直线BC的关系式为 QUOTE ，
由对称可得，直线BC与对称轴交点就是所求的点M，
当 QUOTE 时， QUOTE ，
∴ QUOTE 时，MA+MC最小；
（3）当Q在PC下方时，如图，过P作PH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过P作PN⊥MH于N，
∴∠PHC＝∠CMH＝∠HNP＝90°，
∵∠QCP＝45°，
∴△PHC是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，
∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HPN，
∴△CHM≌△HPN（AAS），
∴CM＝HN，MH＝PN，
∵H（m，n），
∵C（0，2）， QUOTE ，
∴ QUOTE ，解得 QUOTE ，
∴ QUOTE ，
设直线CH的解析式为 y＝px+q，
∴ QUOTE ，解得 QUOTE ，
∴直线CH的解析式为 QUOTE ，
联立直线CH与抛物线解析式得 QUOTE ，
解得 QUOTE 或 QUOTE ，
∴ QUOTE ；
②当Q在PC上方时，如图，过P作．PH⊥CQ于H，过H作．MN⊥y轴，交y轴于M，过P作PN⊥MH于N，

同理得 QUOTE ．
综上，存在，点Q的坐标为 QUOTE 或 QUOTE ．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键．
8．（2024•双流区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+1与y轴交于点A，与双曲线 QUOTE 的交点为B（p，3），且△AOB的面积为 QUOTE ．
（1）求a，k的值；
（2）直线y＝mx﹣8m+1与双曲线 QUOTE 的交点为C，D（C在D的左边）．
①连接AC，AD，若△ACD的面积为24，求点C的坐标；
②直线y＝7与直线y＝mx﹣8m+1交于点E，过点D作DF⊥DE，交直线y＝7于点F，G为线段DF上一点，且 QUOTE ，连接AG，求 QUOTE 的最小值．
【分析】（1）利用面积求出p的值，从而确定B点坐标，将B点代入y＝ax+1求a的值，将B点代入y QUOTE 中求k的值；
（2）①设直线y＝mx﹣8m+1交y轴于点L，直线与反比例函数联立可求C（ QUOTE ，﹣8m），D（8，1），根据S△ADL﹣S△ACL＝24，求出m的值，即可求C（ QUOTE ，7）；
②设直线y＝7与直线AB交H点，则H（8，7），连接HD，HG，则HD⊥AD，HD＝6，先证明△ADE∽△HDG，再证明△QAE∽△HPG，可得HP QUOTE AQ QUOTE ，从而得到点G的运动轨迹是直线PG，作点H关于直线PG的对称点L，则HG＝GL，当A、G、L三点共线时，AG+HG的值最小，最小值为AL，即 QUOTE AG+AE QUOTE （AG+HG） QUOTE AL，求出AL即可求解．
【解答】解：（1）在函数y＝ax+1中，当x＝0时，y＝1，
∴A（0，1），
∵△AOB的面积为 QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得：p QUOTE ，
∴B（ QUOTE ，3），
将B（ QUOTE ，3）坐标代入y＝ax+1中，得： QUOTE ，
解得：a QUOTE ，
将B（ QUOTE ，3）坐标代入y QUOTE 中，得：k QUOTE 8．
∴a QUOTE ，k＝8．
（2）①设直线y＝mx﹣8m+1交y轴于点L，
由题意得： QUOTE ，
解得： QUOTE ， QUOTE ，
∴C（ QUOTE ，﹣8m），D（8，1），
在y＝mx﹣8m+1中，令x＝0，得y＝﹣8m+1，
∴L（0，﹣8m+1），
∵S△ACD＝24，
∴S△ADL﹣S△ACL＝24，
∴ QUOTE AL•xD QUOTE AL•xC＝24，
即 QUOTE （﹣8m+1﹣1）×8 QUOTE （﹣8m+1﹣1）×（ QUOTE ）＝24，
解得：m QUOTE ，
∴C（ QUOTE ，7）；
②设直线y＝7与直线AB交H点，则H（8，7），连接HD，HG，则HD⊥AD，HD＝6，
∴∠ADH＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠HDG，
∵DG QUOTE DE，AD＝8，HD＝6，
∴ QUOTE ，
∴△ADE∽△HDG，
∴AE QUOTE HG，∠EAD＝∠GHD，
∵∠QAD＝∠PHD＝90°，
∴△QAE∽△HPG，
∴ QUOTE ，
∴HP QUOTE AQ QUOTE ，
∴点G的运动轨迹是直线PG，
作点H关于直线PG的对称点L，则HG＝GL，
∴当A、G、L三点共线时，AG+HG的值最小，最小值为AL，
∴ QUOTE AG+AE QUOTE AG QUOTE HG QUOTE （AG+HG），
∴ QUOTE AG+AE的最小值为 QUOTE （AG+HG）的最小值，即 QUOTE AL，
∵HL＝2HP＝9，QH＝AD＝8，
∴QL＝QH+HL＝17，
∴AL QUOTE 5 QUOTE ，
∴ QUOTE AL QUOTE ，
∴ QUOTE AG+AE的最小值为 QUOTE ．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y QUOTE 的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y QUOTE （k≠0）的图象的两个分支分别位于一、三象限，
没有符合条件的选项，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y QUOTE （k≠0）的图象的两个分支分别二、四象限，
故C选项的图象符合要求．
故选：C．
【点评】此题考查反比例函数的图象问题，用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数y QUOTE （x＜0）和y QUOTE （x＞0）的图象上，则k﹣2的值为（ ）
A．﹣6B．6C．﹣4D．4
【分析】连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AC垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△OCE，所以S△OAC QUOTE k+1，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABOC的面积＝2S△OAC＝6，即可求出k﹣2的值．
【解答】解：连接OA，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC垂直y轴，
∴S△OAE QUOTE |k| QUOTE k，S△OCE QUOTE 1，
∴S△OAC QUOTE k+1，
∵▱ABOC的面积＝2S△OAC＝6．
∴﹣k+2＝6，
∵k﹣2＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y QUOTE 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 QUOTE |k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
3．如图，直线y＝﹣x+b与直线y＝2x交于点A的横坐标为﹣1，则不等式﹣x+b＞2x的解集为（ ）
A．x＜﹣2B．x＜﹣1C．﹣2＜x＜﹣1D．﹣1＜x＜2
【分析】不等式﹣x+b＞2x的解集，就是指直线y＝﹣x+b在直线y＝2x的上方的自变量的取值范围．
【解答】解：观察图象可知，
∵当x＜﹣1时，直线y＝﹣x+b在直线y＝2x的上方，
∴不等式﹣x+b＞2x的解集为x＜﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为 1 ．
【分析】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），将点B的坐标代入直线表达式，即可求解．
【解答】解：点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），
将点B的坐标代入直线表达式得：﹣m＝﹣2+1，
解得：m＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，通常把点坐标代入函数表达式即可求解．
5．如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y QUOTE （k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC QUOTE ，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y QUOTE （k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 1 ．
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及S△BOC QUOTE 即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后令﹣2x+5﹣n QUOTE ，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，由题意Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，解方程即可求得n＝1．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
令直线y＝﹣2x+5中y＝0，则0＝﹣2x+5，解得：x QUOTE ，
即OC QUOTE ．
∵S△BOC QUOTE ，
∴ QUOTE OC•BE QUOTE •BE QUOTE ，
解得：BE＝1．
∴点B的纵坐标为1，
当y＝1时，有1＝﹣2x+5，
解得：x＝2，
∴点B的坐标为（2，1），
∴k＝2×1＝2，
即双曲线解析式为y QUOTE ．
将直线y＝﹣2x+5向下平移n个单位得到的直线的解析式为y＝﹣2x+5﹣n，
令﹣2x+5﹣n QUOTE ，整理得2x2﹣（5﹣n）x+2＝0，
∵有且只有一个交点，
∴Δ＝0，即（5﹣n）2﹣4×2×2＝0，
解得n＝1或n＝9（舍去），
∴n的值为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键．
6．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．
（1）当△ABD是等腰直角三角形时，点D的坐标为 （1，﹣2） ；
（2）当△ABC是直角三角形时，a的值为 QUOTE ．
【分析】（1）设函数的对称轴与x轴的交点为E，根据题意可得DE＝AE＝BE＝2，由此求D点坐标即可；
（2）先证明△OAC∽△OCB，可得OC2＝OA×OB＝3，求出c的值，再用待定系数法求函数的解析式即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝4，
设函数的对称轴与x轴的交点为E，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝BE＝2，
∴D点坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）；
（2）∵CO⊥AB，AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠COB＝90°，
∴∠ACO+∠OAC＝∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ACO＝∠ABC，
∴△OAC∽△OCB，
∴OC2＝OA×OB＝3，
∵C点在y轴的负半轴上，
∴c QUOTE ，
将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，
∴ QUOTE ，
解得 QUOTE ，
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线CD：y＝﹣x﹣2与y轴交于点D，与反比例函数y QUOTE 在第二象限内的图象相交于点C（﹣4，a）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当﹣6≤x≤﹣1时，求y QUOTE 的函数值的取值范围；
（3）将直线CD向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且△ACD的面积为18，求平移后直线的关系式．
【分析】（1）把点C（﹣4，a）代入y＝﹣x﹣2求得点C坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）首先求出x＝﹣6和x＝﹣1时的函数值，然后判断出在第二象限内，y随x的增大而减小，进而求解即可；
（3）设平移后的直线y＝﹣x+b交y轴于点M，设点M坐标为M（0，b），连接BM，由△ACD的面积为18，求得DM＝9，再根据一次函数平移的性质即可求解．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为 QUOTE ，
∵直线y＝﹣x﹣2图象经过点C（﹣4，a），
∴a＝﹣（﹣4）﹣2＝2，
∴C（﹣4，2），
又∵反比例函数图象经过点C（﹣4，2），
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数解析式为 QUOTE ；
（2）当x＝﹣6时， QUOTE ，
当x＝﹣1时， QUOTE ，
∵﹣8＜0
∴在第二象限内，y随x的增大而减小
∴当﹣6≤x≤﹣1时， QUOTE ；
（3）设平移后的直线y＝﹣x+b交y轴于点M，设点M坐标为M（0，b），连接BM，如图，
则 QUOTE ，即 QUOTE
∴DM＝9，
∴b﹣（﹣2）＝9，
∴b＝7，
∴平移后直线解析式为y＝﹣x+7．
【点评】本题考查待定系数法反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点、一次函数平移问题、一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，EP∥y轴，当线段PE的长度最大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．
【分析】（1）由OB，OC，OA，OD的长度可得出点A，B，C，D的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接BC，交抛物线对称轴于点N，此时AN+CN和最小，即△ANC的周长最小，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标；
（3）由点A，D的坐标可得出直线AD的解析式，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点M的坐标，过点PP作PE⊥x轴，交直线AD于点E，设点P的坐标为（m，m2+2m﹣3）（﹣4＜m＜1），则点E的坐标为（m，﹣m+1），进而可得出PE的长，由三角形的面积结合S△APM＝S△APE+S△MPE可得出S△APM关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
∴点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣3），点A的坐标为（1，0），点D的坐标为 （0，1），
将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：
QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴这条抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在抛物线对称轴上存在一点N，使得△ANC的周长最小；理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
连接BC，交抛物线对称轴点N，如图1所示，
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴AN＝BN，
∴AN+CN＝BN+CN，
∴当点B，C，N三点共线时，BN+CN取得最小值，即△ANC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将B（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d得：
QUOTE ，
解得： QUOTE ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点N（﹣1，﹣2）时△ANC的周长最小；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，
∵A（1，0），D（0，1），
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+1，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，得：
QUOTE ，
解得： QUOTE ， QUOTE ，
∴点M的坐标为（﹣4，5），
过点P作PE⊥x轴，交直线AD于点E，如图2所示，
设点P的坐标为（m，m2+2m﹣3）（﹣4＜m＜1），则点E的坐标为（m，﹣m+1），
∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△APM＝S△APE+S△MPE，
QUOTE ，
QUOTE ，
∴S△APM QUOTE ，
∵ QUOTE ，
∴当 QUOTE 时，△AMP的面积取最大值，最大值为 QUOTE ，
∴当△AMD面积最大时，点P的坐标为 QUOTE ，面积最大值为 QUOTE ．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、轴对称（最短路径问题）、三角形的面积、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．点M（x，y）所处的位置
坐标特征
象限内的点
点M在第一象限
M（正，正）
点M在第二象限
M（负，正）
点M在第三象限
M（负，负）
点M在第四象限
M（正，负）
坐标轴上的点
点M在x轴上
在x轴正半轴上
M（正，0）
在x轴负半轴上
M（负，0）
点M在y轴上
在y轴正半轴上
M（0，正）
在y轴负半轴上
M（0，负）
原点
M（0，）
象限角平分线上的点
点M在第一、三象限角平分线上
M（x，y）且x＝y
点M在第二、四象限角平分线上
M（x，y）且x＝－y
两点连线与坐标轴平行
MN∥x轴/MN⊥y轴
M、N两点纵坐标相等
MN∥y轴/MN⊥x轴
M、N两点横坐标相等
图形变化
对应图形
点A变化后的对应坐标
变化后点的坐标特征
平移变换（k＞0）
向上平移k个单位长度
A1（a，b＋k）
横坐标不变，纵坐标加k
向上平移k个单位长度
A2（a，b＋k）
横坐标不变，纵坐标减k
向上平移k个单位长度
A3（a，b＋k）
纵坐标不变，横坐标加k
向上平移k个单位长度
A4（a，b＋k）
纵坐标不变，横坐标减k
对称变换
关于x轴对称
A5（a，b＋k）
横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数
关于y轴对称
A6（a，b＋k）
纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数
表示法
定义
优点
缺点
列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法
一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值
列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
解析法
两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法
能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系
求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来
图像法
用图像来表示函数关系的方法叫做图像法
能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势
由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值
输入x
…
2
5
7
9
11
…
输出y
…
5
4
10
16
22
…
输入x
…
2
5
7
9
11
…
输出y
…
5
4
10
16
22
…
一次函数
y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）
k、b的符号
k＞0
k＜0
b＞0
b＝0
b＜0
b＞0
b＝0
b＜0
图像
趋势
从左向右上升
从左向右下降
性质
函数值y随自变量x增大而增大
函数值y随自变量x增大而减小
与y轴交点的位置
正半轴
原点
负半轴
正半轴
原点
负半轴
经过的象限
第一、二、三象限
第一、三象限
第一、三、四象限
第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
k1，k2，b1，b2的关系
l1与l2的关系
k1≠k2
l1与l2相交
k1≠k2，b1＝b2
l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2）
k1＝k2，b1≠b2
l1与l2平行
k1＝k2，b1＝b2
l1与l2重合
反比例函数
（k为常数，）
x、y的取值范围
k的符号
图像
图像的位置
图像在第一、三象限
图像在第二、四象限
图像的特征
（1）图像是关于直线和对称的双曲线；
（2）图像是关于原点对称的双曲线；
（3）图像各分支的延伸部分无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.
性质
在每一个象限内，y随x的增大而减小
在每一个象限内，y随x的增大而增大
函数
y＝ax2
a的符号
a＞0
a＜0
图像
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0，0）
函数的增减性
x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小
x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大
最值
当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0
当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0
函数
y=ax2+c(a≠0)
a的符号
a＞0
a＜0
图像
c＞0
c＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0，c）
（0，c）
函数的增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
最值
当x＝0时，y有最小值c
当x＝0时，y有最大值c
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
判别式
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
（或）
无解
△＜0
全体实数
无解
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
6
3
0
﹣1
0
……
x
……
﹣1
0
1
2
3
……
y
……
6
3
0
﹣1
0
……
m
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
n
﹣2
﹣3
﹣6
6
3
2
m
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
n
﹣2
﹣3
﹣6
6
3
2
m
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
n
﹣2
﹣3
﹣6
6
3
2