2024年甘肃省定西市临洮县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 下列各数中，是负整数的是（ ）
A. 0B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据负整数的意义：正整数前加“-”即为负整数，从而可完成解答．
【详解】解：所给四个选项中，负数为与，其中是负分数，是负整数
故选：D．
【点睛】本题考查了负整数的意义，掌握负整数的意义是关键．
2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示．
【详解】解：由题意，得：“卯”的俯视图为：．
故选A．
3. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
4. 计算 的结果等于（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
5. 用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键．
【详解】解：
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6. 一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，b0，则这个函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0．
∵b0，
∴此函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
7. 2023年2月28日，国家统计局发布了《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2018-2022年快递业务量及其增长速度”统计图．下列说法中不正确的是（ ）

A. 2022年全国快递业务量是亿件
B. 2022年的快递业务量比2018年增加了亿件
C. 2022年的快递业务量比2021年增加了
D. 2020-2022年增长速度的折线呈下降趋势，说明2020-2022年快递业务量逐年减少
【答案】D
【解析】
【分析】①观察统计图直接可得答案；
②2022年的快递业务量减去2018年快递业务量即可判断；
③根据统计图可得2022年的快递业务量比2011年增加的百分数即可判断；
④2020—2022年增长速度的折线呈下降趋势，说明2020—2022年增长速度逐步减小可判断．
【详解】解：A. 2022年全国快递业务量是亿件，故该选项正确，不符合题意；
B. 2022年的快递业务量比2018年增加了亿件，故该选项正确，不符合题意；
C. 2022年的快递业务量比2021年增加了，故该选项正确，不符合题意；
D. 2020-2022年增长速度的折线呈下降趋势，说明2020-2022年快递业务量增长速度逐步减小，但快递业务量逐年增加，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查折线统计图于条形统计图综合，解题的关键是从统计图中获取有用的信息．
8. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形．
．
，
，
，
．
，
，
，
．
，
故选：D
9. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知 的初始长为，如果要使的长达到， 那么的长需要缩短（ ）
A. 6 cmB. 8 cm
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，设与相交于点O，与相交于点，由菱形的性质得出，，，，利用勾股定理求出和，进而求出和，然后详解，即可求出答案．
【详解】解，设与相交于点O，与相交于点．
∵四边形和四边形是菱形，
∴，，，，
，
∴，，
∴，，
∴，
∴的长需要缩短．
故选：D．
10. 如图1，中，点P从点A出发，沿匀速运动，过点作，垂足为，设点到点的距离为，的面积为，则关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，勾股定理，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
当点运动到点处时，求出，再利用，求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，当点运动到点处时，
由图2得，，的面积，
，
，
，，
，
得，
，
，
．
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式：___．
【答案】．
【解析】
【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解即可求得答案．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用提公因式法与平方差公式法分解因式．题目比较简单，注意分解要彻底．
12. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则________°．
【答案】28
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到．
由邻补角的性质得到，由圆周角定理求出．
【详解】解：∵，
，
．
故答案为：28．
13. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形．根据矩形的性质，推出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
详解】解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
14. 小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度的最小值为________．

【答案】##60度
【解析】
【分析】根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得与点连线的夹角即可求得旋转角度．
【详解】解：如下图，当经过一次循环后点旋转至点的位置上，

∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案的知识，解题关键是能够找到一对对应点确定旋转角度．
15. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________．
【答案】
【解析】
【分析】设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a的值，再令x=0，求得y的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，
由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0），
∴0=a（6-2）2+5，解得：，
∴抛物线解析式为：
当x=0时，
∴水管的长度OA是m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．
16. “春雨惊春清谷天”截取自二十四节气邮票第一组，示意图如图②所示，它是以O为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇形，若，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
利用扇形面积公式，根据即可求解．
【详解】解：，
，
故答案：．
三、解答题：本大题共6小题，共33分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】先化简各二次根式，然后合并括号内的同类二次根式，最后计算乘法即可．
【详解】解：原式

=4．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算及因式分解的应用，熟知乘法公式、整式的四则运算法则和因式分解的方法是正确解决本题的关键．
按整式运算法则或先运用因式分解化简再代入计算即可．
【详解】解：
化简方法一：
化简方法二：
当，时，
原式．
19. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：．
20. 用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径．
步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D．
步骤二：以为半径，在上依次截取．
步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形．
（1）动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹．
（2）推理计算：若的半径为1，则的长度为 ．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图图应用与设计，垂直平分线的定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据题干中的步骤作图即可；
（2）连接，由垂直平分，求得，由勾股定理求得，再解直角三角形求得，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，利用弧长公式即可求得的长．
【小问1详解】
解：如图所示，七边形为所要作的正七边形；
【小问2详解】
连接，
∵垂直平分的半径为1，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
的长．
故答案为：．
21. 如图是太阳光照射鼓楼形成的示意图，分别是不同时刻太阳光照射鼓楼的影长，测得．（点D，B，C在同一水平线上，且点A，D，B，C在同一平面内，）
（1）设鼓楼高为，则的长为 （用含x的代数式表示）．
（2）求鼓楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）鼓楼的高度为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
（1）在中，根据三角函数即可作答；
（2）在中，，再根据，进而作答即可．
【小问1详解】
解：∵，
中，，
故答案为：；
【小问2详解】
在中，，
，
即：，
，
∴鼓楼的高度为．
22. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．慕梓睿在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“明”的概率为_______．
（2）慕梓睿从中随机抽取一张卡片，不放回，格格再从剩余的三张中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取卡片上的文字是“明”的结果有1种，
∴抽取卡片上的文字是“明”的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的结果有：，，共2种，
∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为．
四、解答题：本大题共5小题，共39分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 某校七、八年级各有400名学生，为了解他们每学期参加社会实践活动的时间情况，现从七、八年级各随机抽取20名学生进行调查，下面给出部分信息．
a．七年级20名学生参加社会实践活动时间的数据如下：
3，4，8，9，6，8，10，11，5，7，9，11，9，6，7，9，10，5，10，5
b．八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的频数分布直方图如下：（数据分为5组：）
c．八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据在这一组的是：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全b中频数分布直方图；
（2）七年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的众数是 ；八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的中位数是 ；
（3）为鼓励学生积极参加社会实践活动，对七、八年级在本学期参加社会实践活动时间不小于8小时的同学进行表彰，估计这两个年级共有多少同学受表彰？
【答案】（1）见详解 （2）
（3）估计这两个年级大约共有500名同学受表彰
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的计算方法是正确求解的前提．
（1）用20减去其它各组的频数，可得的频数，进而补全中的频数分布直方图；
（2）根据众数和中位数的定义解答即可；
（3）用400乘样本中参加社会实践活动时间不小于8小时的同学所占比例解答即可．
【小问1详解】
解：(人)；
频数分布直方图如图所示：
【小问2详解】
在七年级20名学生参加社会实践活动时间的数据中，9出现的次数最多，故众数是9；
八年级20名学生参加社会实践活动时间的数据的中位数是．
故答案为：；
【小问3详解】
(名)，
答：估计这两个年级大约共有500名同学受表彰．
24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为时，求点坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，三角形的面积公式，即可．
（1）把点代入，即可；
（2）把点代入，得：，再根据的面积为，即可．
【小问1详解】
∵反比例函数的图象经过点
∴
解得：
∴反比例函数的解析式为：．
【小问2详解】
∵点反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点．
25. 如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，．．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）见详解 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接，则，由于点，得，由，，得，则，即可证明是的切线；
（2）由垂径定理得，而，所以，由，则，根据勾股定理得，即可求得，则半径的长是5．
【小问1详解】
证明：连接，则，
，
于点，
，
交的延长线于点，点是延长线上一点，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
【小问2详解】
解：，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得，
半径的长是5．
【点睛】此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFG≌ ，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】解：（1）SAS；△AFE．
（2）∠B+∠D=180°．
（3）BD2+EC2=DE2．理由见解析
【解析】
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
【详解】解：（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
AI
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AEF（SAS）．
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；
故答案为：SAS；△AFG；
（2）类比引申
∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：

∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC=180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：

则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，
∴∠FAB=∠CAE．BF=CE，∠ABF=∠C，
∴∠FAE=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△ADF和△ADE中，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠C=∠ABF=45°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+EC2=DE2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．
27. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标；
（3）如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值．
【答案】（1）
（2）1，
（3）
【解析】
【分析】（1）先确定点A的坐标为，再结合等腰直角三角形的性质可得，然后运用待定系数法即可解答；
（2）先用待定系数法可得的函数解析式为，设、，则，然后化成顶点式求最值即可；
（3）先确定点，过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短时，最后运用勾股定理即可解答．
【小问1详解】
解：∵为等腰直角底边上的高，的顶点为点A，
∴A的坐标为，
∴，
∵为等腰直角底边上的高，
∴，
∴．
把代入，解得：，
∴抛物线的解析式为即．
【小问2详解】
解：设直线的函数解析式为，
∵，
∴的函数解析式为．
设，，

，
∴当时，最大为1，
∴．
【小问3详解】
解：∵在抛物线上，
∴．
∵是此抛物线的对称轴，
∴过点E作的对称点，连接交于点P，此时最短，;
∴最短．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、求函数解析、求函数最值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．时间/h
8
9
人数
4
2