2024年甘肃省庆阳市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.本试卷共120分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.
1. 4的算术平方根是（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据算术平方根的定义解答即可．
【详解】4的算术平方根是2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是求一个数的算术平方根的问题，解题关键是明确算术平方根的定义．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是正确的；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项是错误的；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的；
故选：C
3. 已知是方程组的解，则a﹣b的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程组解的定义将代入方程组，得到关于a，b的方程组．两方程相减即可得出答案．
【详解】∵是方程组的解，
∴．
两个方程相减，得a﹣b=4．
故选：D．
4. 若3x=4，3y=6，则3x-2y的值是( )
A. B. 9C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用同底数幂的除法运算法则得出3x-2y=3x÷（3y）2，进而代入已知求出即可．
【详解】∵3x=4，3y=6，
∴3x-2y=3x÷（3y）2=4÷62=．
故选A．
5. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，
解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：

故选B．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
6. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5B. k<5，且k≠1C. k≤5，且k≠1D. k>5
【答案】B
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
7. 某公司10名职工3月份的工资如下表所示，则这10名职工3月份工资的中位数是（ ）
A. 5200元B. 5300元C. 5400元D. 5500元
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的概念求解．
【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：5000，5200，5200，5200，5400，5400，5400，5400，5600，5600，
则中位数为：．
故选：C．
8. 如图，2条宽为1带子以α角交叉重叠，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A. sinαB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题首先通过证明△ABE≌△DAF，继而求证阴影部分图形为菱形，最后利用三角函数求解BC，结合菱形面积公式求解本题．
【详解】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F，如下图所示：
由已知得：AB∥CD，AD∥BC，AE=DF=1，
∴∠DAF=∠ABE，四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠DFA=∠AEB，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AB=AD，即四边形ABCD为菱形．
直角△ABE中，，
∴，
∴重叠部分的面积即阴影部分的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质以及解直角三角形，菱形判定需掌握对应判定定理，菱形四边相等，对角线互相垂直性质应用较多，解直角三角形时对各三角函数概念要理解清楚．
9. 如图，为的直径，点C、D在上，且，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据为的直径，，可利用勾股定理求直径长，再根据，可得△OBD为等边三角形，可求的长．
【详解】解：∵为的直径，，
∴∠ACB=90°，，
连接OD，
∵，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形．
10. 如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为（4，3），则正方形ABCD的边（ ）
A. 6B. 3C. 4D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，则此时y取得最小值，即ED＝3，即可求解．
【详解】解：如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，则此时y取得最小值，
根据点的对称性，PB＝PD，则y＝PE+PB＝PD+PE＝DE为最小，
故ED＝3，
设正方形的边长为x，则AE＝x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2，
即x2+（x）2＝（3）2，解得：x＝6（负值已舍去），
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、一次函数的解析式、勾股定理和一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 分解因式：3a2﹣12=___．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
12. 已知一个正多边形的内角为，这个多边形的条数为________．
【答案】9
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
【详解】∵一个正多边形的内角为，
∴每个外角为：，
∴这个多边形的条数为，
故答案为：．
13. 某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”，现随机抽取四种口味的这种酸奶，它们的净含量如下表所示，其中，净含量不合格的是__________口味的酸奶．
【答案】香草味
【解析】
【分析】本题主要考查了正数和负数等知识点，根据正数和负数的实际意义求得合格酸奶的重量范围，据此进行判断即可，理解正数和负数的实际意义是解决此问题的关键．
【详解】由题意可得：合格酸奶净含量的最小值为:，合格酸奶净含量的最大值为:，
∴合格酸奶的重量范围为，
则净含量不合格的是香草味，
故答案为：香草味．
14. 某校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买3棵甲种树苗、2棵乙种树苗共需12元；购买1棵甲种树苗、3棵乙种树苗共需11元．那么每棵甲种树苗的价格为__________元．
【答案】2
【解析】
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，设每棵甲种树苗元，每棵乙种树苗元，根据题意列出方程组，求解即可．
【详解】解：设每棵甲种树苗元，每棵乙种树苗元
解得；
∴每棵甲种树苗2元，每棵乙种树苗3元，
故答案为：2．
15. 如图，在中，分别是和的中点，是延长线上一点，，交于点，且EG=CG，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】通过全等三角形△DEG和△FCG，可得出CF=DE=1；根据DE是△ABC的中位线，可求出DE：BC=1：2．
【详解】∵D、E分别是AB和AC的中点
∴DE∥BC,,

在△GED和△GCF中，

△GED≌△GCF
∴DE=CF=1
∴,
∴BC=2
故答案为:2.
【点睛】考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线定理是解题的关键.
16. 在某公园内，牡丹按正方形形状种植，芍药种植在它的周围，下图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为__________株．
【答案】800
【解析】
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当时的芍药的数量．
【详解】解：由图可得，
当时，芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
当时，芍药数量为：，
当时，芍药的数量为：，
……
故芍药的数量为：，
当时，芍药的数量为：，
故答案为：800．
三、解答题：本大题共6小题，共32分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数运算．先计算算术平方根、负指数、特殊角三角函数和0指数，再进行计算即可．
【详解】解：
．
18. 如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，，在弧上，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】先利用正方形的性质得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其中为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了正方形的性质．
【详解】解：四边形是边长为1的正方形，
，
图中阴影部分的面积
．
∴图中阴影部分的面积为．
19. 先化简，再从中选择一个合适的x的值代入求值
【答案】，当时，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再选择一个使分式有意义的值代入求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：
，
要使分式有意义，必须，且，
即不能为，0，2，
取，
当时，原式．
20. 如图，已知锐角三角形，．
（1）尺规作图：
①作的垂直平分线l；
②作的平分线，且交于点M．
（2）若l与交于点P，，求的度数．
【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析，（2）
【解析】
【分析】（1）①根据尺规作图作BC的垂直平分线l即可；②根据尺规作图作∠B的平分线BM即可；
（2）根据垂直平分线和角平分线的性质即可求解．
【详解】解：（1）①如图直线l为所求作的图形；②射线为所求作图形．
（2）∵BC的垂直平分线为l，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∵BM平分∠ABC，
∠ABP＝∠CBP＝32°，
∵∠A＝60°，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法和线段垂直平分线、角平分线的性质．
21. 小华利用假期的时间到甘肃旅游，众多的旅游景点让小华难以抉择，于是小华将扑克牌中“A”的四种花色分别记为莫高窟（红桃A），嘉峪关（梅花A），敦煌雅丹国家地质公园（方片A），崆峒山（黑桃A），随后将这四张扑克牌正面朝下，从中随机抽取一张，作为自己的第一站旅游地点．
（1）小华抽中敦煌雅丹国家地质公园的概率为________；
（2）小华发现他的朋友也正在甘肃旅游，且他的朋友明天将会从莫高窟、嘉峪关、敦煌雅丹国家地质公园这三个景点中任意选择一个游览．若他们按照各自的旅游线路进行游览，请用列表或画树状图的方法，求小华和他的朋友明天去同一个景点的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了概率计算
（1）根据概率公式计算即可；
（2）选择列表或画树状图法计算即可．
【小问1详解】
P（抽中敦煌雅丹国家地质公园）．
【小问2详解】
列表如下：
由列表可得，共有12种等可能的结果，其中抽到相同景点的结果有3种，
∴P（小华和他朋友明天去同一个景点）．
22. 如图，某校教学楼的前面有一建筑物，在距离正前方10米的观测点M处，以的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼顶端A，而在建筑物上距离地面4米高的E处，测得教学楼的顶端A的仰角为，求教学楼的高度．（参考数据：，）
【答案】教学楼的高度为18.1米．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用（仰角俯角问题），解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，过点E作于点F，根据等腰直角三角形的性质得到，同理，设，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，过点E作于点F，
，，，
，米，四边形是矩形
设米，则米，
米，
米，
，
，
，
（米），
答：教学楼的高度约为18.1米．
四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23. 学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢网课”进行问卷调查，并将调查结果进行统计后，绘制成如下的统计表和扇形统计图．

调查结果统计表
请你根据统计图、表提供的信息解答下列问题：
（1）该校随机抽取了________名同学参加问卷调查；
（2）确定统计表中a、b的值，a=________，b=________；
（3）在统计图中“喜欢”部分扇形所对应的圆心角是________度；
（4）若该校共有1000名学生，估计全校态度为“非常喜欢”的学生有多少人．
【答案】（1）200，（2）0.45,70，（3）126，（4）450人
【解析】
【分析】（1）利用“一般”和“不喜欢”的人数除以它们的频率可得抽查学生人数；
（2）利用非常喜欢的频数除以总人数可得a的值,用总人数×喜欢的频率可得b的值；
（3）利用360°乘以“喜欢”网课的人数所占比例即可；
（4）利用样本估计总体的方法计算即可．
【详解】解：（1）抽查的学生总数：（30+10）÷0.20＝200（名），
故答案为：200
（2）a＝＝0.45，b＝200×0.35＝70，
故答案为：0.45；70；
（3）“喜欢”网课所对应扇形的圆心角度数：360°×＝126°；
故答案为：126．
（4）1000×＝450（人），
答：该校“非常喜欢”网课的学生约有450人．
【点睛】本题考查扇形统计图及统计表的相关计算，解题关键是从图表中获取准确信息，利用相关知识准确进行计算．
24. 如图，反比例函数的图象与直线相交于点C，过直线上的点作轴于点B，交反比例函数的图象于点D，且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，求反比例函数解析式，数形结合是解题的关键．
（1）利用一次函数求出点A的坐标，再求出点D的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先联立函数解析式求出交点C的坐标，利用求出四边形的面积即可．
【小问1详解】
解：点在直线上，
∴，
，
∴
轴，，
，
.
点D在反比例函数的图象上，
.
反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
由，
解得或（舍去），
，
．
25. 如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．

（1）求的度数；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；
（2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．
【小问1详解】
如图，连接．

为的切线，
．
，
．
，
．
，
．
【小问2详解】
如图，连接，
，，
．
，
，且，
，
，即，
，
，即半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键．
26. 【问题情境】在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，如图，在矩形纸片中，点M，N分别是、的中点，点E，F分别在、上，且．
【动手操作】将沿折叠，点A的对应点为点P，将沿折叠，点C的对应点为点Q，点P，Q均落在矩形的内部，连接，．
【问题解决】
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，四边形为菱形，求的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）四边形是平行四边形．证明，即可．
（2）连接，交于点，延长交于，延长交于．解直角三角形求出，即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：如图1，延长交的延长线于．
图1
四边形是矩形，
，，
点M，N分别是，的中点，
，
．
又，
，
，，
．
，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）如图2，连接，交于点，延长交于，延长交于．
图2
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，，以A为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点P在对称轴上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P从A点出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作交于点D，过点D且平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接，当t为何值时，的面积最大？最大值是多少？
（3）抛物线上是否存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，的面积最大，最大值为1；
（3）存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）把点，代入，求出b，c值即可；
（2）求出，由题意可知，求出直线的解析式为，则可求出，，由得出二次函数关系式， 由二次函数的性质可得出结论；
（3）分为平行四边形的对角线，为平行四边形的对角线，为边三种情况依据平行四边形的判定方法求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，交y轴于点，
∴把点，代入，得：
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
∵
∴抛物线的顶点A的坐标为，
设直线的解析式为：
把，代入得：，
解得，，
∴直线的解析式为：
设点，
对于当时，，
∴，
对于，当时，，
∴，
∴，
∴
∵
∴有最大值，
当时，最大值为1；
【小问3详解】
①若为平行四边形的对角线时，设点，，
又，，
∴的中点坐标的横坐标为，也是中点坐标的横坐标，
∴
∴
把代入，得
∴；
②若为边时，将向下平移m个单位，再向左平移2个单位到点P，此时点M的坐标为，
若点在抛物线上时，则有：
∴；
③若为对角线时，点E向下平移n个单位，再向右平移1个单位，则点C也向下平移n个单位，向右平移1个单位，则有，
∴
∴．
综上所述，存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的判定、待定系数法求二次函数解析式，图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
工资/元
5000
5200
5400
5600
人数/人
1
3
4
2
种类
原味
草莓味
香草味
巧克力味
净含量/mL
175
180
190
185
红桃
梅花
方片
红桃
（红桃，红桃）
（红桃，梅花）
（红桃，方片）
梅花
（梅花，红桃）
（梅花，梅花）
（梅花，方片）
方片
（方片，红桃）
（方片，梅花）
（方片，方片）
黑桃
（黑桃，红桃）
（黑桃，梅花）
（黑桃，方片）
态度
非常喜欢
喜欢
一般
不喜欢
频数
90
b
30
10
频率
a
0.35
0.20