辽宁省2024届九年级下学期学业水平模拟考试（二）数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省2024届九年级下学期学业水平模拟考试（二）数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了15B，22-4=0，85-4=-0， 不等式组的解集是等内容，欢迎下载使用。
1. 在跳远测验中，合格标准是4米，张非跳出了4.22米，记为+0.22米，李敏跳出了3.85米，记作（ ）
A. +0.15B. ﹣0.15C. +3.85D. ﹣3.85
答案：B
解析：
详解：解：∵4.22-4=0.22，
∴以4米为标准，若张非跳出了4.22米，可记做+0.22米，
∵3.85-4=-0.15，
∴李敏跳出了3.85米，记作﹣0.15米，
故选：B．
2. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
3. 2023年5月1日，南京夫子庙、中山陵、玄武湖、雨花台四大景区共接待游客约人，这个数可用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：．
故选：D．
4. 下列各运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：A、，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项错误；
D、，该选项正确；
故选：D．
5. 关于一元二次方程有实根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：根据题意得：，
解得：，
故选：D．
6. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D. 无解
答案：C
解析：
详解：解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故选：C．
7. 已知甲车从A地出发前往B地，同时乙车从B地出发前往A地，两车离A地距离y(千米)和行驶时间x(小时)的关系如图，则两车相遇时，甲车行驶的时间是 ( )
A. 3．5小时B. 小时C. 2．5 小时D. 3 小时
答案：B
解析：
详解：解：设乙车的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴乙车的解析式为，
设甲车的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴甲车的解析式为，
解方程，
解得，
答：两车相遇时，甲车行驶的时间是小时．
故选B
8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：根据题意有
故选：A．
9. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：如图，
根据题意得：，，
∴，，
∵，
∴．
故选：B．
10. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交BC与点E，，则的面积为（ ）
A. 12B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：如图，过点A作AH⊥BC，垂足点H，
由作法得EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵，
∴△ABE是等边三角形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，
∴BE=AB=4，
∵AH⊥BC，
∴，
∴，
∵，
∴CE=2，
∴BC=6，
∴．
故选：C．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 计算： =_________．
答案：3
解析：
详解：解：原式=1+2=3
故答案为：3．
12. 如图是象棋盘的一部分，若“帅”位于点(2，－1)上，“相”位于点(4，－1)上，则“炮”所在的点可表示为__________．
答案：(-1，2)
解析：
详解：解：根据“帅”位于点（2，-1）上，“相”位于点（4，-1）上，可知棋盘中一个格代表一个单位，“炮”所在的点在帅左面3个单位，上面3个单位，故坐标是（-1，2）．
故答案为（-1，2）．
13. 在网络课程学习中，韩梅和李雷分别在《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》中随机选择一门，两人恰好选中同一门课程的概率为____．
答案：
解析：
详解：把《数学与天文》、《数学与绘画》、《数学与游戏》分别记为A、B，
画树状图如图：
共有9个等可能的结果，韩梅和李雷两人恰好选中同一门课程的结果有3个，
∴韩梅和李雷两人恰好选中同一门课程的概率为 ，
故答案为：．
14. 如图，反比例函数的图象过的顶点B，轴，与另一边OA交于点C，且，连接．若，则k的值为______．
答案：6
解析：
详解：解：过点C作轴于F，过点A作轴于点E，延长交x轴于点D，
∵轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点B、C在的图象上，
∴，
∴，即，
∵， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6．
15. 如图，等边中，，为的中点，点为射线上一动点，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，则__．
答案：3或5
解析：
详解：解：当点在线段上时，如图1，
，
，
为的中点，
∴，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图2，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
．
综合以上可得的长为3或5．
故答案为：3或5．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）；
（2）先化简，再求值：；其中
答案：（1） ；（2）；
解析：
详解：解：（1）
；
（2）
，
把代入得：原式．
17. 某印刷厂每月生产甲、乙两种练习本共40万本且所有练习本当月全部卖出，其中成本、售价如表所示．
（1）若该印刷厂五月份的利润为11万元，求生产甲、乙两种练习本分别是多少万本；
（2）某学校计划用7680元的经费到该印刷厂采购练习本，经商讨，该公司同意甲种练习本售价打九折，乙种练习本不能让利：若学校能采购到1万本，且不超支，问最多能购买甲种练习本多少本？
答案：（1）生产甲种练习本15万本，乙种练习本25万本
（2）甲种练习本最多能购买2000本
解析：
小问1详解：
解：设该印刷厂五月份生产甲种练习本万本，乙种练习本万本，由题意得，
解得：，
答：生产甲种练习本15万本，乙种练习本25万本；
小问2详解：
解：设购买甲种练习本本，
由题意得：，
解得：，
答：甲种练习本最多能购买2000本．
18. 第届亚运会将于今年月日在杭州开幕，中国将再次因体育盛会引来全球目光，同时也掀起了运动热潮．某校举办了一场游泳比赛，年级初选出名学生代表．将名学生代表米自由泳所用时间数据整理如下：
a．名学生代表米自由泳所用时间（单位：秒）：
，，，，，，，，，
b．名学生代表米自由泳所用时间的平均数、中位数、众数（单位：秒）；
（1）写出表中，的值；
（2）部分同学因客观原因没有参加选拔，学校决定，若次日常训练的平均用时低于名学生代表中的一半同学，且发挥稳定，就可以加入代表团．
①甲乙两位同学次日常训练的用时如下表，请你判断，两位同学更有可能加入代表团的是________（填“甲”或“乙”）；
②丙同学前次训练的用时为，，，，他也想加入代表团，若从日常训练平均用时的角度考虑，则第次训练的用时的要求为：________．
答案：（1），
（2）①乙，②
解析：
小问1详解：
解：，
；
小问2详解：
①甲同学次训练的用时平均值为：
，
方差为：，
乙同学次训练的用时平均值为：
，
方差：
，
，
乙发挥的更稳定，
故答案为：乙；
②根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
19. 如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额（元）与购买（千克）之间的函数图象如图所示，
（1）求时，与之间的函数关系；
（2）请你帮欣欣妈妈计算：一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省多少元？
答案：（1）；
（2）一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省元
解析：
小问1详解：
解：设与之间的函数关系式为：，
将，代入关系式中得：
，
由得：，
解得：，
将代入①中得：，则，
故当时，与之间的函数关系为：；
小问2详解：
解：由图象可知：当时，函数关系为：，
当时，，
故平均分次购买所需总费用为：（元），
将，代入中得：（元），
（元），
故一次性购买千克这种水果比平均分次购买可节省元．
20. 如图为淋浴喷头的简易示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长，与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角．

（1）求B点与墙壁的距离；
（2）住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在C处，使，，安装师傅应将支架A固定在离地面多高的位置？（参考数据：，，，，，）．
答案：（1）B点与墙壁的距离
（2）安装师傅应将支架A固定在离地面高的位置
解析：
小问1详解：
解：过点B作，
∵，，，
∴，
答：B点与墙壁的距离．
小问2详解：
解：∵，，，
∴，
过点B作于点H，过点A作于点F，过点C作于点G，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，又，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
答：安装师傅应将支架A固定在离地面高的位置．

21. 如图，以的边为直径作，分别交，于点，，点在上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的半径．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
小问2详解：
如图，连接，
∵，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
的半径为．
22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
（1）c的值为__________；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
答案：（1）66 （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由见解析．
解析：
小问1详解：
解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
小问2详解：
解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
小问3详解：
解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
23. 问题初探：
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在和中，，且为锐角，若，求证：．
①如图2，小锋同学从，这个条件出发，想到根据“”构造全等，给出如下解题思路：在上截取，连接，将与的数量关系转化为它们所在的三角形的关系．
②如图3，小慕同学从，这个条件出发，想到作双垂直，可构造出“”全等条件，给出如下解题思路：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，先证明垂线段相等，将垂线段作为中间过渡量证明与所在的三角形全等，从而证明．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
类比分析：
（2）赵老师发现上面两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段的数量关系转化为证明两条线段所在三角形的关系．为了帮助同学们更好地感悟和运用转化思想，赵老师将上面的例题和解题思路进行变换，提出了下面的问题，请你解答：
如图4，在中，点E，D分别在边，上，连接，，延长至点F，使，连接，延长交于点H，若，求证：．
学以致用：
（3）如图5，在（2）的条件下，若，，，求的长．
答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）
解析：
详解：（1）解：选小锋同学的解题思路，
证明：在上截取，连接．
∵，，
∴．
∴，．
∵，，
∴，∴．
选小慕同学的解题思路．
证明：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，
则，又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接．
∵，，，
∴
又∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∴，即．
（3）解：在中，，
在中，，
又∵，
∴．
由（2）知，，
∴，∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴，，
设，由得，
∴，．
∵，∴，
解得，∴．
∵，
∴，，
∴，即，
∴．品种
甲
乙
成本
1.2元/本
0.4元/本
售价
1.6元/本
0.6元/本
平均数
中位数
众数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲同学日常训练用时
乙同学日常训练用时