内蒙古呼和浩特市2024年中考数学模拟试卷（一）(含解析)

这是一份内蒙古呼和浩特市2024年中考数学模拟试卷（一）(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代数学名著《九章算术》中，首次引入负数．若收入200元，记作元，则元表示（ ）
A．收入100元B．支出100元C．收入300元D．支出300元
2．如图所示的几何体从正面看到的图形（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算中，错误的个数是（ ）．
①；②；③；④；⑤
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
5．有甲、乙、丙三个不透明的布袋，里面都装有相同数量的玻璃球，这些玻璃球除了颜色不同外其他都相同．已知甲布袋中黑色玻璃球的数量占甲布袋中玻璃球总数的，乙布袋中没有黑色玻璃球，丙布袋中黑色玻璃球的数量占丙布袋中玻璃球总数的．现将乙、丙布袋中的玻璃球全部倒入甲布袋中，再从甲布袋中任意取出一个，则取出的这个玻璃球是黑色的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．把图中的风车图案绕着中心O旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（ ）

A．B．C．D．
7．用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．化为B．化为
C．化为D．化为
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E在边AD上，，点F在边BC上，将四边形CDEF沿EF所在的直线翻折，点D恰好落在点O处，点C落在点处．下列结论中，正确的有（ ）
①；②过点O作于点P，是等腰直角三角形；③AB的长为
A．3个B．2个C．0个D．1个
9．七年级某生物课外兴趣小组观察一棵植物的生长，得到植物高度y（）与观察时间x（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．自变量为植物高度y（）B．刚开始观察时该植物的高度为10
C．观察第10天时，该植物的高度为40D．该植物从观察时起50天内平均每天长高4
10．在正方形ABCD中，E为BC上一点，作DF⊥AE于点F、BG⊥AE于点G连接BF，作GHBF交DF于点H，连接BH、AH，若AF=FG，则①∠BAG=30°；②△ABG≌△DAF；③BH=AD；④S△ABH=（+1）S△AFH．在上述结论中，正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．②③D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．把多项式分解因式的结果是 ．
12．小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，制作了测试成绩折线统计图．根据图中信息，小聪测试成绩的方差是 ．
13．如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则：

（1）图中阴影部分的面积为 ；
（2）直线与圆A的位置关系是 .
14．如图，是⊙O的切线，点B为切点，作交于点A，交⊙O于C，D两点，若，，则⊙O的半径长是 ．
15．小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．

（1）被污染的条件是 ；
（2）被污染的二元一次方程是 ；
（3）的值是 ．
16．已知函数与y轴交于点C，顶点为D．直线交x轴于点E，点F在直线上，且横坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段总有公共点．抛物线向上最多可以平移 个单位长度，向下最多可以平移 个单位长度．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
18．如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，测得点与观测点的距离为海里．

(1)如图填空： 度；
(2)求观测点与之间的距离；
(3)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间．
19．2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空授课．在这堂生动有趣、知识点满满的航天课中，带着好奇心的孩子们拓宽了眼界、增长了知识，增强了民族自豪感，同时在心中根植下一颗颗关于科学梦、航天梦的种子．为了调查学生对科技知识的了解程度，某实验中学组织各年级学生开展科技知识竞赛活动，学校随机抽取20名学生的答卷成绩（每题5分，满分100分），并将他们的成绩（单位：分）统计如下：
85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 80 80 90 95 75 80 60 80 95 85
根据数据绘制了如下的表格和统计图（如图）：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)______，______，并补全表格；
(2)求这20个数据的中位数和众数；
(3)若已知九年级有2名男生和2名女生共4名学生得到满分，学校打算从这4名学生中任选2人给全年级学生普及相关知识，求恰好选中“1男1女”的概率．
20．如图，四边形中，，两条对角线相交于点O，，且，分别平分和，点与点关于直线对称，连接，．

(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，求四边形的面积．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点，．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，直接写出x的取值范围；
(3)将直线沿着y轴向下平移5个单位长度，与x轴、y轴分别交于D、E两点，P是直线上的一动点，求的面积．
22．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．
(1)求A、B两种型号汽车的进货单价；
(2)销售中发现A型汽车的每周销量（台）与售价（万元/台）满足函数关系，B型汽车的每周销量（台）与售价（万元/台）满足函数关系，A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台．问A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
(3)疫情期间，该店店主为了保证每周的销售利润不低于24万元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定这两种汽车的销售价格？
23．如图，为的直径，点为延长线上一点，点为上一点，连接，，于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若抛物线，当时，有最大值，求的值．
(3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：根据题意，收入200元记作+200元，
则表示支出100元，
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．D
【分析】
根据从正面看到的形状即可得到答案．
【详解】
解：几何体从正面看到的图形是
．
故选：D．
【点睛】
此题考查了从不同方向看几何体，题目比较简单．
3．B
【分析】根据同底数幂的乘法和积的乘方的知识求解即可求得答案．
【详解】解：①（3x3）2=9x6，故①错误；
②（-5a5b5）2=-25a10b10，故②错误；
③，故③正确；
④；故④错误；
⑤；故⑤正确；
①②④错误．
故选择：B
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，积的乘法及幂的乘方等知识，熟记法则是解题的关键．
4．C
【分析】根据a、b、c在数轴上的位置得出，，从而得出，，再根据绝对值的意义和二次根式性质，进行化简即可．
【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知，，，
∴，，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，二次根式的性质，数轴上点的特点，解题的关键是根据点a、b、c在数轴上的位置确定，．
5．C
【分析】本题考查概率的计算，掌握概率公式是解题关键．
设三个布袋中分别有a个玻璃球，然后表示出黑色玻璃球的数量，从而根据概率公式分析计算．
【详解】解：三个布袋中分别有a个玻璃球，
则甲布袋中黑色玻璃球的数量为个，丙布袋中黑色玻璃球的数量为个，
∵甲、乙、丙三个不透明的布袋，里面都装有相同数量的玻璃球，且将乙、丙布袋中的玻璃球全部倒入甲布袋中，
∴此时甲布袋中共有个玻璃球，其中黑色玻璃球的数量为个，
∴从甲布袋中任意取出一个，则取出的这个玻璃球是黑色的概率为，
故选：C．
6．C
【分析】根据旋转的性质，用除以4计算即可．
【详解】解：∵，
∴旋转的角度是的整数倍，
∴旋转的角度至少是．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解答本题的关键．
7．D
【分析】根据配方法求解一元二次方程的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.
【详解】∵
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
∵
∴
∴，故选项B错误，不符合题意；
∵
∴
∴
∴，故选项C错误，不符合题意；
∵
∴
∴
∴，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的性质，从而完成求解．
8．D
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分，可知是等腰三角形，再由，求出进而求出，根据翻折的性质及三角形外角可得，再根据，可判断是等腰直角三角形．根据是等腰直角三角形，且，求出的长，再进一步求出的长．
【详解】解：①四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形沿所在的直线翻折，点恰好落在点处，
，
，
是的外角，
，
①错误，不符合题意；
②过点作于点，如图所示：
，
，
由①得，，
，
是等腰直角三角形．故②正确，符合题意；
③在中，设，则由②得，
是等腰直角三角形，
即，解得，
，
过点作，如图所示：
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，故③错误，不符合题意；
正确的结论只有②．即一个正确的结论，
故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质与翻折的性质，熟练运用矩形的性质与判定和翻折中不变的量是解题的关键．
9．C
【分析】根据函数的定义和图像逐项判断即可．
【详解】解： A．由题意可知，自变量为观察时间x（天），故本选项不合题意；
B．由题意可知，刚开始观察时该植物的高度为20cm，故本选项不合题意；
C．由题意可知，观察第10天时，该植物的高度为40cm，故本选项符合题意；
D．由题意可知，该植物从观察时起50天内平均每天长高为：（200-20）÷50=3.6（cm），故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的定义和图像，从函数图像准确获取信息是解答本题的关键．
10．C
【分析】先根据正方形有性质，利用AAS证∠ABG=∠DAF，判定②正确；再利用全等三角形的性质，证四边形BGHF是平行四边形，得OF=OG，OB=OH，FH=BG，设OF=x，则OF=OG=x，AF=FG=BG= FH =2x，AG=4x，在Rt△ABG中，tan∠BAG= ≠，则∠BAG≠30°，判定①错误；在Rt△OBG中，求得由勾股定理OB= x，从而得 BH= 2x，在Rt△ABG中，由勾股定理求得AB= = 2x，从而得到AB=BH，判定③正确；∵S△ABH=S△ABO+S△AHO= + =6x2，S△AfH==2x2，得到S△ABH=3S△AFH，判定④错误．
【详解】解：连接AH，
∵正方形ABCD中，
∴AB=AD，AB//AD，∠BAG+∠FAD=∠BAD=90°，
∵DF⊥AE、BG⊥AE，
∴∠AFD=∠BGA=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠ABG=∠DAF，
∴△ABG≌△DAF（AAS），
故②正确；
∴BG=AF，
∵AF=FG，
∴BG=AF=FG，
∵DF⊥AE、BG⊥AE，
∴FH//BG，
∵BF//GH，
∴四边形BGHF是平行四边形，
∴OF=OG，OB=OH，FH=BG，
设OF=x，则OF=OG=x，AF=FG=BG= FH =2x，AG=4x，
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，
∴tan∠BAG= ≠，
∴∠BAG≠30°，
故①错误；
在Rt△OBG中，∠BGO=90°，
∴OB= x，
∴BH= 2x，
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，
∴AB= = 2x，
∴AB=BH，
∴BH=AD，
故③正确；
∵S△ABH=S△ABO+S△AHO
= +
=
= ，
∵S△AFH=
=，
∴S△ABH=3S△AFH，
故④错误；
故选：C．
【点睛】本题是四边形综合题目，涉及知识有：正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，，勾股定理，解直角三角形等.熟练掌握这些相关知识，并能灵活运用这些知识是解题的关键.
11．
【分析】先提公因式，再根据平方差分解因式即可.
【详解】解：原式=
=，
故答案为：.
【点睛】本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键.
12．/
【分析】根据小聪6次测试成绩，先求出其平均值，然后根据方差公式进行计算即可．
【详解】解：小聪6次测试成绩的平均值为：
，
小聪测试成绩的方差为：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了方差的计算，熟练掌握方差的计算公式，是解题的关键．
13． 相切
【分析】（1）根据正多边形内角和公式求出，利用扇形面积公式求出阴影部分的面积即可；
（2）连接，由六边形是正六边形得到，，则 ，则，即，即可得到结论.
【详解】（1）解：∵六边形是正六边形，
∴，，
∴阴影部分的面积，
故答案为：
（2）连接，

∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵是圆A的半径，
∴是圆A的切线，
∴直线与圆A的位置关系是相切
故答案为：相切
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算、切线的判定定理等知识，掌握扇形面积公式和切线的判定定理是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了圆的切线性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．连接，过点作于，证明四边形为矩形，在中，应用勾股定理得，，即得解．
【详解】解：连接，过点作于，
是⊙O的切线，点B为切点，
，
，，
四边形为矩形，
设半径为，则，，，
在中，应用勾股定理得，，
，
解得：，
⊙O的半径为5．
故答案为：5．
15． 同样的空调每台优惠400元 500
【分析】（1）根据题目中的第二个方程中的可得结果；
（2）根据题意写出第一个方程即可；
（3）根据方程组求出的值即可；
【详解】解：（1）∵题目中第一个方程为：，
∴被污染的条件是：同样的空调每台优惠400元，
故答案为：同样的空调每台优惠400元；
（2）根据题意可得二元一次方程组是，
故答案为：；
（3）
解得：，
∴，
故答案为：500
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16． 36
【分析】求得直线CD的解析式，根据平移规律，设出平移后的解析式，利用解析式联立方程组，转化为一元二次方程的根的判别式问题，不等式的解集，求解即可
【详解】∵函数与y轴交于点C，顶点为D，
∴点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1，），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为，
当y=0时，，
解得x= -8，
∴点E（-8，0），
当x=4时，y=，
∴点F（4，6），
设最多上移n个单位，此时解析式为，
∴当x=-8时，，
∵抛物线与直线有公共点，
∴y≤0
∴≤0,
∴n≤36,
∴抛物线最多上移36个单位，
设向下最多可以平移m个单位，根据题意，得，
∴，
整理，得，
当△=0时，有一个公共点，
∴，
解得m=；
故答案为：36；
【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点，二次函数的平移，不等式的解法，根的判别式，熟练掌握二次函数的平移规律，活用根的判别式是解题的关键．
17．（1）20；（2），数轴表示见解析．
【分析】本题考查的是实数的运算、负整数指数幂和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先计算算术平方根、乘方、负整数指数幂和绝对值，再计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
．
（2）由得：，
由得：，
∴不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
18．(1)；
(2)观测点与点之间的距离为海里；
(3)救援船到达点需要的最少时间是小时．
【分析】
（）由点位于观测点的北偏西方向上，则有，再通过角度和差即可求解；
（）过作于，分别在和中，解直角三角形即可求解；
（）过作，交延长线于，求得四边形为矩形，在中，利用勾股定理即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）
∵点位于观测点的北偏西方向上，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
如图，过点作于点，

根据题意可知：，海里，
∴（海里），
∵，
∴（海里），
∴（海里）．
答：观测点与点之间的距离为海里；
（3）
如图，作于点，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴（海里），（海里），
∴（海里），
在中，根据勾股定理，得
（海里），
∴（小时），
答：救援船到达点需要的最少时间是小时．
19．(1)6；2；表格见解析
(2)中位数为85，众数为80
(3)
【分析】（1）整理统计数据即可得到的值，再分别计算各组频率，完善表格即可；
（2）先将这20个数据按照从小到大的顺序排列，求解位于第10位和第11位成绩的平均数可得中位数，根据出现的次数最多的数是众数可得众数答案；
（3）先列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，补全表格如下；
∴，，
（2）∵将这20个数据按照从小到大的顺序排列为60，65，75，75，80，80，80，80，80，85，85，85，85，90，90，95，95，95，95，100，
∴中位数为位于第10位和第11位成绩的平均数，
故这20个数据的中位数为．
这组数据中80出现了5次，出现的次数最多，
这20个数据的众数为80；
（3）分别记2名男生为名女生为，列表如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有8种，
恰好选中1男1女．
【点睛】本题考查的是整理数据，频数，频率的含义，众数，中位数的含义，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
20．(1)矩形，理由见解析
(2)
【分析】（1）由题意可证，可得，由轴对称可知，且，，进而可证四边形是平行四边形，，即可证得四边形是矩形；
（2）利用含的直角三角形求得，结合勾股定理得，再利用即可求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，分别平分和，
∴．同理．
在和中，∵
∴．
∴．
又∵点与点关于直线对称，
∴，且，．
∴，，
∴
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴．
又∵，，
∴．根据勾股定理可得，，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，含的直角三角形等知识，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
21．(1)；
(2)或
(3)5
【分析】（1）把点代入反比例函数中， 即可求得，进一步求出点B的坐标，用待定系数法即可求得一次函数的表达式；
（2）观察图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值范围即可；
（3）根据的面积即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
反比例函数的表达式为：；
点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
点
∵一次函数经过点，，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：根据图象可得，当时，的取值范围是或；
（3）解：将直线：沿着y轴向下平移5个单位长度，得到直线，
∴直线的表达式为：，
令 ， 则 ， 令 ，则，
∴，，
∴，
∵点P在直线上，
∴设点，
连接，

∴
．
【点睛】本题考查待定系数法，反比例函数与一次函数图象的交点问题，函数与不等式，函数图象的平移，三角形的面积．熟悉数形结合思想，方程思想是解题的关键．
22．(1)A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元
(2)A、B两种型号的汽车售价各为14万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是32万元
(3)当B型汽车售价定为时，每周的销售利润不低于24万元，且让消费者得到最大的实惠
【分析】（1）设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设B型号的汽车售价为x万元，则A型汽车的售价为万元/台，根据题意列出w关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）首先令求出，，然后根据题意求解即可．
【详解】（1）设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得：
，
解得，
经检验是原分式方程的根．
（万元），
答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元；
（2）设B型号的汽车售价为x万元，则A型汽车的售价为万元/台，根据题意，得：
，
∵，当时，w有最大值为32，
此时（万元）．
答：A、B两种型号的汽车售价各为14万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是32万元；
（3）由（2）知：，
令，
解得：，，
∵，
∴当时，，
为了使消费者得到更大实惠，
∴，
答：当B型汽车售价定为时，每周的销售利润不低于24万元，且让消费者得到最大的实惠．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、分式方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
23．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，切线的判定；
（1）连接，证明，即可得证；
（2）设，根据已知得出是的中位线，证明，根据相似三角形的性质，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，
．
．
，
．
，
，即．
是的半径，
是的切线．
（2）解：设，
，
，．
．
为的直径，
．
，
．
．
，．
，
是的中位线．
．
．
，
．
．
，
解得．
．
24．(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）把点坐标代入抛物线用待定系数法解答即可求解；
（）根据函数的性质，分三种情况：、和，利用二次函数的性质解答即可求解；
（）根据二次函数图象的平移画出图象，结合图象分两种情况：新抛物线与直线相交且有一个交点和抛物线与直线相切，利用数形结合求取值范围即可；
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，掌握数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线得，
，
解得，
抛物线表达式为；
（2）解：由（）知，抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵时，有最大值，
最大值只能在或时取得，
当时，即，
此时，有最大值，
即，
解得，符合题意；
当时，即，
此时，有最大值，
即，
解得，不合，舍去；
当，即，
当时，有最大值，
即，
解得，不合，舍去；
当，有最大值，
即，
解得，不合，舍去；
综上，的值为；
（3）解：由题意得，新抛物线为是把抛物线平移个单位得到的，如图所示：
当时，新抛物线与直线相交且有一个交点时，
则
解得；
当抛物线与直线相切时，
就是把抛物线，向上平移10个单位，即，
的取值范围为或．
成绩
频率
____
_____
成绩
频率