2024年江苏省泰州市兴化市中考二模数学试题 （原卷版+解析版）

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1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上．
2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1. 的值是（ ）
A. -7B. ±7C. 7D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义进行化简即可．
【详解】解：＝-7．
故答案为A．
【点睛】本题考查算术平方根定义，明确算术平方根和平方根的区别和联系是解答本题的关键．
2. 赵爽弦图是证明勾股定理的重要图形，以下可近似看作轴对称图形的汉字是（ ）
A. 赵B. 爽C. 弦D. 图
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，直接选择即可．
【详解】赵爽弦图四个字可近似看作轴对称图形的汉字是爽．
故选：B
【点睛】此题考查轴对称图形的定义，解题关键是直接找出汉字的对称轴即可．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则解答即可．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意．
B、，原计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则是解本题的关键．
4. 下列函数中，函数值随的增大而增大的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数增减性判断即可．
【详解】A. ，比例系数小于0，随的增大而减小；
B. ，比例系数大于0，随的增大而增大；
C. ，不在同一象限，不能判断增减性；
D. ，不在同一象限，不能判断增减性；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的增减性，解题关键是熟悉函数的增减性，准确进行判断．
5. 如图，是的内接三角形，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理；根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可求出的度数；
【详解】解：，
，
，
,
，
故选：A．
6. 已知为半的直径，，点是半圆内任意一点，以为边在半圆下方作矩形，连接，记，，，的面积分别为，，，若要求的值，需要添加的条件是（ ）
A. 的长度B. 到的距离C. 到的距离D. 到的距离
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质，三角形面积等知识，求出到的距离，到的距离，则，求出到的距离（到的距离），求出到的距离，即可得到答案.
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵到的距离，到的距离，
∴
∵到的距离（到的距离）
∴（到的距离）
到的距离，
∴若要求的值，需要添加的条件是到的距离，
故选：C
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接写在答题纸相应位置上）
7. 若分式的值为0，则x的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．分式的值为0，则分子为0且分母不为0，根据此结论即可完成．
【详解】解：由题意，得：，即，
当时，，
故的值为1
故答案为：1．
8. 华为自主研发的麒麟9000L型芯片，要求晶体管栅极的宽度为0.000 000 005毫米，将数据0.000 000 005用科学记数法表示为___________．
【答案】5×10-9
【解析】
【分析】绝对值小于1正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 000 005=5×10-9．
故答案为：5×10-9．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9. 已知，则代数式__________．
【答案】4047
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先化简所求式子，然后将整体代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：4047．
10. 甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是__________．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．根据方差越小，成绩越稳定，反之，则最不稳定，即可求解．
【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，
∴甲的方差最大，
∴这三名同学跳远成绩最不稳定的是甲，
故答案为：甲．
11. 凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并用相似三角形的性质进行解答是解题的关链；先证出四边形为矩形，得到，再
根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几；
【详解】解：由题意知，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
物体被缩小到原来的，
故答案为：；
12. 如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长是__________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
连接，根据扇形圆心角为，得到B，O，C三点共线，为圆O的直径，首先求得扇形的弧长，再利用弧长公式求出圆锥的母线长即可．
【详解】解：如图，连接，
，
为圆O的直径，
B，O，C三点共线，
围成圆锥的底面半径为1，
，
，
，
故答案为：4．
13. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系．根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可．
【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
，即，
解得：，
故答案为：．
14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则b的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而增大，由于时，的值随值的增大而增大，于是得到．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
因为，
所以抛物线开口向下，
所以当时，的值随值的增大而增大，
而时，的值随值的增大而增大，
所以，
解得．
故答案为：．
15. 如图，点D是等边边上一点，，连接，将沿翻折得到，若以D为圆心，为半径的圆经过一边的中点，则的半径是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了圆的有关性质、图形的折叠、等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，解决本题的关键是运用分类讨论的方法解决问题，分为当过边的中点时及当过边的中点时，两种情况分类讨论来求解即可．
【详解】如图，第一种情况：当过边的中点时，设与的交点为点F，作于G，
设的半径为r，
则，
，
是等边三角形，
，
，，
，
由题意可得点F为中点，
，
在中，，
，
整理得：，
解得：（舍去），
的半径为；
如图，第二种情况：当过边的中点时，设与的交点为点H，连接，
设的半径为r，
则，
是等边三角形，
，，
由折叠而得，
，
中，，
是等边三角形，
，
的半径为；
综上所述的半径为或，
故答案为：或．
16. 如图，中，，点是的中点，过点作交延长线于点，若，则点到点的最大距离为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】连接，根据斜边上的中线得到，进而得到最大时，最大，延长至点，使，连接，易证，得到，进而得到，推出三点共圆，设圆心为，连接，，得到，垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵点是的中点，，
∴，，
∴当最大时，最大，
延长至点，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∵，，
∴三点共圆，
设圆心为，连接，，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为6，
∴点到点的最大距离为6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是构造全等三角形，确定点的运动轨迹．
三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算；
（2）解下列方程：．
【答案】（1）；（2）无解
【解析】
【分析】本题考查整式的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
（1）利用完全平方公式及平方差公式计算即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程无解．
18. 为传承中华优秀传统文化，弘扬民族正气、爱国情怀，引领诗词教育发展，某校举办诗词大赛．第一轮为经典诵读，参赛者从《满江红》，《将进酒》，《沁园春·雪》（分别用A、B、C表示）中随机抽取一首进行朗诵；第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》，《木兰辞》，《七律·长征》，《念奴娇·赤壁怀古》（分别用D、E、F、G表示）中随机抽取一首进行讲解．小明和小丽都参加了诗词大赛．
（1）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是__________；
（2）利用树状图或列表法，求小丽第一轮抽中《沁园春·雪》且第二轮抽中《蒹葭》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查树状图法求概率：
（1）直接利用概率公式进行求解即可；
（2）画出树状图，再利用概率公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：小明第一轮抽到《将进酒》的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
由题意，画出树状图如图：
共12种等可能的结果，其中小丽第一轮抽中《沁园春·雪》且第二轮抽中《蒹葭》的结果只有1种，
∴．
19. 近年来，我国新能源汽车销量及保有量快速提升，充电基础设施布局也日渐完善．截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆．如图是我国年公共充电桩数量情况统计图和2023年全国部分省公共充电桩数量统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2023年上海市公共充电桩数量约占该年全国公共充电桩数量的__________（精确到）；
（2）2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比约为__________；
A． B． C． D．
（3）小明说：2023年全国公共充电桩数量超过前4年的总和，所以2023年全国公共充电桩数量的增长率比2022年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由．
【答案】（1）2 （2）C
（3）不同意，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了折线统计图，条形统计图以及近似数等知识点，
（1）用2023年上海市公共充电桩数量除以全国公共充电桩数量可得答案；
（2）根据统计图数据可得2023年我国新能源汽车保有量与公共充电桩数量配比；
（3）分别求出2022和2023年的全国公共充电桩数量的增长率，再比较可得答案；
正确读懂统计图是解题的关键．
【小问1详解】
由折线图知，2023年全图公共充电桩数量为859.6万台，2023年上海市公共充电桩数量为171364台，
∴，
故答案为：2；
【小问2详解】
∵截至2023年底，我国新能源汽车保有量达2041万辆，2023年全图公共充电桩数量为859.6万台，
∴，
故选：C；
【小问3详解】
不同意
∵，，
∴2022年的增长率大于2023年的增长率，
∴小明的说法不对．
20. 制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热，经过的冷却，材料温度降为．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是．
（1）求材料加热时和停止加热后与的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？
【答案】（1）加热时与的函数关系式为，停止加热后与的函数关系式为
（2）当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工时间为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，读懂函数图象是解此题的关键．
（1）停止加热后，设，将代入，求出的值，即可反比例函数解析式，再求出当时，，从而得到，加热时，设，将，代入得，求出的值即可；
（2）在材料加热时，当时，解得：；在材料停止加热时，当时，，解得：，由此即可求解．
【小问1详解】
解：停止加热后，设，
将代入得：，
，
停止加热后与的函数关系式为，
当时，，
解得：，
，
加热时，设，
将，代入得，，
解得：，
加热时与的函数关系式为；
【小问2详解】
解：在材料加热时，函数解析式为，当时，，
解得：，
材料停止加热时，函数解析式为，当时，，
解得：，
，
当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为．
21. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到距离地面处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为，（单位：），科研人员收集了，随时间x （单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示．
（1）根据，随的变化规律，从 ① ；② （）；③中，选择适当的函数模型，分别求出，满足的函数关系式；
（2）当时，小钢球和无人机的高度差最大是 ．
【答案】（1）；；
（2）．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法即可求出解析式，
（）由题意得，再根据二次函数求最值即可；
本题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握函数图象及性质是解题的关键．
【小问1详解】
设关于的函数关系式为，
将点，的坐标代入得 ，
解得，
∴关于的函数关系式为
设关于的函数关系式为
将点，，坐标代入，得
解得 ，
∴关于的函数关系式为；
【小问2详解】
由（）得，，
∴，
∴当时，小钢球和无人机的高度差最大是，
故答案为：．
22. 如图，位于市区昭阳湖公园的“昭阳大将军”雕塑是水乡兴化的标志性文化名片，如图2，线段AD表示大将军雕塑的高度，雕塑下基座BD的高度为8米，点A，D，B在同一条直线上，且，，求大将军雕塑的高度．（计算结果保留整数，参考数据：，）
【答案】大将军雕塑的高度约为3米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活掌握相关性质是解题的关键．在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，根据即可得解．
【详解】由题意，中，，
中，，，
答：大将军雕塑的高度约为3米．
23. 如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________．
给出以下信息：①，②，③与相切．
（1）请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明．
条件：__________，__________，结论：__________
（2）如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶．
【答案】（1）选择①②作为条件，③作为结论或选择①③作为条件，②作为结论或选择②③作为条件，①作为结论，证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，切线的性质与判定，等边对等角等等：
（1）选择①②作为条件，③作为结论，根据圆周角定理和等边对等角得到，则可证明；选择①③作为条件，②作为结论，根据圆周角定理和切线的性质推出即可证明结论；选择②③作为条件，①作为结论，根据切线的和圆周角定理得到，则；
（2）根据弧与圆周角之间的关系求出，则，由垂径定理的推论即可得到．
小问1详解】
解：选择①②作为条件，③作为结论，证明如下：
如图所示，连接，
∵点O在的垂直平分线上，
∴，
∴点C在圆O上，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是圆O的半径，
∴是圆O的切线；
选择①③作为条件，②作为结论，证明如下：
∵是圆O的切线；
∴，
∵，
∴，
∴；
选择②③作为条件，①作为结论，证明如下：
∵是圆O的切线；
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．中，A，B，C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
（1）在图1上，利用网格图，过点C作的切线；
（2）在图2的圆上作到一点D，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）分别取格点，可得四边形是矩形，其对角线相交于点O，分别连接，，从而得出点O是圆心，作出格点，分别连接，得出，可得，得，而，所以，可得出，即是圆的切线，点P即为所作；
（2）作出格点M，连接交圆于点D，连接AD，由图可知为平行四边形，则，此时，所以，从而得出，即，即可得．
【小问1详解】
如图1中，直线即为所求；
【小问2详解】
如图2中，点即为所求．
25. 已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，连接，，若点在抛物线上，且的横坐标为，连接，与相等吗？请说明理由；
（3）如图2，点是线段上任意一点不与，重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，作的外接圆，延长交于点．试说明点在某条定直线上．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）把，两点代入，由待定系数法即可求解；
（2）由点、的坐标知，，的横坐标为，则点，过点作轴的平行线交于点，证明，即可求解；
（3）证明，即，设由题意，可得，得出，求得，即可求解．
【小问1详解】
把，两点代入得，
，解得，
；
【小问2详解】
，理由：
如图，由点、的坐标知，，
的横坐标为，则点，
过点作轴的平行线交于点，

将代入，得，
，
设直线的表达式为：，由点、的坐标得，
，解得，
直线的表达式为：，
当时，，
即，
，，
，
则；
【小问3详解】
连接，，由题意，，

，
．
设由题意
轴，
，
因为，，
，，
，
．整理得．
在轴上，且在轴上方，
点始终在直线上．
【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似和全等、圆的基本性质等，综合性强，难度适中．
26. 问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究”
（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形的顶点与点O重合．将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形面积的__________．
问题迁移：
（2）等边三角形的中线相交于点O，先将绕点O逆时针旋转，再沿线段方向平移，得到，点O、A、B的对应点分别为、、，且，在这个过程中，的边，所在射线分别交AB，BC于点M，N．
①如图2，当与重合时，求证：；
②如图3，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由；
问题拓展：
③如图4，连接MN，记周长为，在a、k的变化过程中，存在a、k的值，使得MN平分的周长，此时，的结果是否会发生变化？如不变，请求出其值；如变化，求出的最小值．
【答案】（1）；（2）①见解析；②；③变化，最小值为
【解析】
【分析】（1）由全等可以得出，就可以得出可得结论；
（2）①证明，即可得到；
②作，垂足为，则，证明，可得．中，，，可得，再求出，再求比值即可；
③延长至P，使得，连接，当时，MN最小，再求解即可．
【详解】（1）正方形的对角线、交于点
，，，
正方形的交于点，交于点．
．
在和中，
，
．
，
即，
故答案为：；
（2）①等边三角形的中线相交于点O，
，
，
，
，
；
②作，垂足为，则，
是等边角平分线的交点，
，
，
．
又，
，
，
，
，
．
中，，，
等边三角形的中线相交于点O，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
．
③如图，延长至P，使得，连接，
则
又，
当时，MN最小，此时，
所以为等边三角形，
当时，MN最小为，
最小为
【点睛】本题是旋转综合题，考查了正方形的性质、等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解答时证明三角形全等及相似是关键．