2024年山东省日照市日照经济技术开发区中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非造选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．
2．答卷时，务必将第I卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上．
第I卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 和1B. 和2C. 2和D. 和2024
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的概念，
根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可解答．
【详解】解：和1互为相反数，
故选A．
2. 某物体如图所示，其俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据俯视图的意义判断即可．
【详解】 的俯视图是
．
故选B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键．
3. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：数0.000000007用科学记数法表示为．
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，二次根式的性质以及二次根式的减法运算；根据以上知识逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
5. 如图，是平行光正对凸透镜的光线折射图，，光线经过焦点C，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
【详解】解：如图所示，过点作，
由题意可知，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
6. 函数y=中，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解，然后在数轴上表示即可．
【详解】解：由题意得，1-x≥0，
解得x≤1．
在数轴上表示如下：
故选B．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7. 如图，是半圆O的直径，D是的中点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆内接四边形的性质．根据D是的中点，得到，得到，进而得到，推出，再根据圆内接四边形的对角互补，求解即可．
【详解】解：∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
8. 小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是（ ）
A. 6，7B. 7，7C. 5，8D. 7，8
【答案】B
【解析】
【分析】根据折线统计图及结合中位数、众数可直接进行求解．
【详解】解：由折线统计图可得：投篮成绩为3的有2人，投篮成绩为5的有4人，投篮成绩为6的有3人，投篮成绩为7的有6人，投篮成绩为8的有3人，投篮成绩为9的有2人；
∴这次比赛成绩的中位数为第10和第11位同学的平均成绩，即为（7+7）÷2=7；
众数为出现次数最多的，即为7；
故选B．
【点睛】本题主要考查折线统计图、中位数及众数，解题的关键在于由折线统计图得出数据，然后进行求解即可．
9. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点O；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接，和相交于点N，连接．若，，则的长为（ ）
A. 2.5B. 3C. 3.5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查作图基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，，
，，
，
，，
，
．
故选：A．
10. 如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断；当， 四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：作轴于，轴于，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，故正确；
∵，，
∴，故正确；
当， 四边形是矩形，
∴不能确定与相等，
而，
∴不能判断，
∴不能判断，
∴不能确定，故错误；
若四边形是菱形，则，而，
∴，
∴，
∴，
又由图象可得，，，
∴，
∴，故正确；
∴结论正确是，
故选：．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 计算： _________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知零指数幂与负指数幂的运算．
【详解】解：原式
故答案为：．
12. 计算 的结果为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了异分母分式的相加减，熟练运用通分、约分法则是解本题的关键．
将原式通分，相加后再约分即可得出结果．
【详解】
．
故答案为：．
13. 已知抛物线 与x轴有且只有一个交点，则____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，把二次函数转化为关于的一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系得出结论是本题的关键．
【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 如图所示的正方形网格中，是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点，则弧与弧的长度之比为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是弧长的计算，根据勾股定理分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，，
则，
∴，
∴弧与弧的长度之比为，
故答案为：．
15. 如图， 边长为正方形的对角线与交于点， 将正方形沿直线折叠， 点C落在对角线的点处，折痕交于点，交于点，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD=,,求得,得到，根据折叠的性质得到，求得根据全等三角形的性质即可得到结论。
【详解】过点M作MP⊥CD垂足为P，过点O作OQ⊥CD垂足为Q，
∵ 正方形的边长为，
∴OD＝1, OC＝1, OQ＝DQ＝,由折叠可知，∠EDF＝∠CDF.
又∵AC⊥BD,
∴OM＝PM,
设OM＝PM＝x
∵OQ⊥CD，MP⊥CD
∴∠OQC＝∠MPC＝90°， ∠PCM＝∠QCO,
∴△CMP∽△COQ
∴ ＝ ,即 ，解得x＝ －1
∴OM＝PM＝ －1.
【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，添加合适的辅助线，构造相似三角形和等腰直角三角形，是解题的关键．
16. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线 上存在两个点是点“倍增点”．其中，正确结论有__________个．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解．
依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意得“倍增点”为，从而可以求得，进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为，从而建立方程求得解，可以判断③．
【详解】解：①依据题意，由“倍增点”的意义，
∵，，
∴点，都是点的“倍增点”．故①正确．
②由题意，可设满足题意得“倍增点”A为，
∴．
∴．
∴．故②错误．
③可设抛物线上的“倍增点”为，
∴．
∴或2．
∴此时满足题意的“倍增点”有两个．故③正确．
故答案为：2．
三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的求解，方程两边同时乘以将分式方程化为整式方程即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以得：
，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为：
18. 某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
【答案】（1）购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元
（2）当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠
【解析】
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球拍需元，根据“购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元，分，及三种情况，即可求出的取值范围或的值，此题得解．
【小问1详解】
解：设购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元．．
【小问2详解】
设购买（且为整数）副羽毛球拍，则：
选择方案所需总费用为：（元），
选项方案所需总费用：（元），
当时，
解得：，
∵，
∴；
当时，
解得：；
当时，
解得：，
∵，
∴．
答：当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选项各方案所需总费用．
19. 数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，同学们设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下《数学活动报告》中的一部分．
请你在方案一、二中任选一种方案，根据方案提供的示意图及相关数据求出旗杆的高度．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形——仰角，由 中，和中，，再根据线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】方案一：
解：在中，，
在中，，
∵，
∴，即 ，
解得：‘’
∵，
∴；
答：旗杆的高度为；
方案二：
解：在中，，
在中，，
∵，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
答：旗杆的高度为．
20. 电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．下表是它们的部分对应值：
（1）在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长与频率的变化规律？并求出与的函数解析式；
（2）当电磁波的频率不超过时，波长至少是多少米？
【答案】（1）；
（2）波长至少是米．
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值，反比例函数的性质等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．
（）根据可判断反比例函数能反映波长与频率的变化规律，设解析式为，用待定系数法求解即可；
（）解方程，由反比例函数的性质即可得解．
【小问1详解】
解：∵，
∴反比例函数能反映波长与频率的变化规律，
设波长关于频率的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵当电磁波的频率为时，
∴，
解得：，
由反比例函数的性质知，当电磁波的频率不超过时，，
答：波长至少是米．
21. 某校信息实践小组为了解全校1800名学生信息技术操作的情况，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：
81 90 82 89 99 95 91 83 92 93
87 92 94 88 92 87 100 86 85 96
（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；
频数分布表：
（2）①这组数据的众数在 组；
②分析数据分布的情况（写出一条即可） ；
（3）若95分以上（不包含95分）的学生有两名女生一名男生，随机抽取2名同学参加市级信息技术技能竞赛，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学恰是一男一女的概率．
【答案】（1）见解析 （2）①；②成绩在的人数最多（答案不唯一）；
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查频数分布直方图、频数分布表、众数和利用列表法求概率，
（1）根据组距确定分点后，列频数分布表进行统计即可；再将频数分布表中的数据用频数分布直方图表示出来；
（2）①根据众数的定义求解即可；②根据频数分布直方图写出一条即可；
（3）根据列表法求得满足条件的结果，利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（1）频数分布表
频数分布直方图如下：
【小问2详解】
①由频数分布直方图可知中人数最多，则这组数据的众数在组．
②从频数分布直方图可知：成绩在的人数最多．
故答案为：①，②成绩在的人数最多．
【小问3详解】
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中一男一女的结果有4种，
∴．
22. 如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线．
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：证明：(1)连接OD，
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线CD是⊙O的切线；
(2)连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，，点B的坐标为．抛物线 经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使
①求点 P的坐标；
②在直线上是否存在点M，使为等腰三角形?若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②存在，点 M的坐标为：或或或或
【解析】
【分析】（1）根据条件求出,，根据待定系数法求解即可；
（2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解；分情况讨论，分别求出，根据等腰三角形的定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，即
∴，
∴，
把代入． 得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
【小问2详解】
①设的解析式为：，
∵,，所以解得，
所以的解析式为：，
设， 则，
∵
∴
解得：（舍） 或，
∴；
②∵M在直线上， 且， 设，
∴
分三种情况：
i） 当时，
∴
解得：
∴
ii） 当时，
∴
解得：或
∴，
iii） 当时，
∴
解得：或
∴或
综上，点 M的坐标为：
或或或或
【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．
24. 综合与实践
问题情境
在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片，其中，．
实践探究
（1）如图2，将矩形纸片沿对角线剪开，得到纸片与.将纸片沿方向平移，连接（与交于点），，，得到图3所示的图形.若，解答下列问题：
①请你猜想四边形的形状，并证明．
②请求出平移的距离．
拓展延伸
（2）如图4，先将纸片沿方向进行平移，然后将纸片绕点顺时针旋转，使得，恰好经过点，求平移的距离．
【答案】（1）①四边形是菱形，理由见解析；②；（2）
【解析】
【分析】（1）①由四边形是矩形，可得，，由平移性质可得，，推出四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是菱形；②根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，推出，结合，可得，根据四边形是菱形，可推出，最后根据线段的和差即可求解；
（2），，可得，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：（1）①四边形是菱形，
理由如下：
四边形是矩形，
，，
又由平移知对应线段平行且相等，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
②由题意可得：，，
在中，，，
，
，
，
在中，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质，解题的关键是综合运用这些知识．
课题
测量校内旗杆高度
目的
运用所学数学知识及数学方法解决实际问题- - -测量旗杆高度
方案
方案一
方案二
示意图
测量工具
皮尺、测角仪
皮尺、测角仪
测量数据
， ，，
， ，， ．
计算过程
（结果保留根号）


频率f（MHz）
10
15
20
25
波长（m）
30
20
15
12
成绩分组


频数




成绩分组
频数
4
6
7
3
女1
女2
男
女1
（女2， 女1）
（男， 女1）
女2
（女1， 女2）
（男， 女2）
男
（女1， 男）
（女2， 男）