备战2024新高考数学易错题专题05三角函数Word版附解析

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易错点一：三角函数值正负判断不清导致错误（任意角、弧度制及任意角的三角函数）
1．角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2．弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
易错提醒：（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角．
（2）确定的终边位置的方法
先写出或的范围，然后根据的可能取值确定或的终边所在位置．
（3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置．
（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
例 如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，设两质点运动时这两质点间的距离为．

(1)求的解析式；
(2)求这两质点从点P出发后第n次相遇的时间（单位：s）．
变式1．如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，.
(1)求的值；
(2)射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，点与关于轴对称，求的值.
变式2．角α的终边与单位圆交于点，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角，，，的正弦函数值、余弦函数值．
变式3．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，设.

(1)若，求线段的长；
(2)已知当时，矩形的面积最大.求圆心角的大小，并求此时矩形面积的最大值是多少？
1．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．2B．C．或2D．
2．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系xOy中，若角以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边，且终边过点，则取最小值时x的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是第三象限角，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
6．已知角，终边上有一点，则（ ）
A．2B．C．D．
7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两个点，，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
8．已知角的终边落在直线上，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
9．已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与是终边相同的角
B．若角的终边过点，则
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若，则角的终边在第一象限或第三象限
11．如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
易错点二：诱导公式认识不清导致变形错误（同角三角函数的基本关系与诱导公式求值问题）
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：．
（2）商数关系：；
2．三角函数诱导公式
题型1．同角三角函数关系齐次化
（1）利用方程思想，对于，由公式，可以“知一求二”．对于，由下面三个关系式，可以“知一求二”．
（2）的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”求解．
题型2．利用诱导公式化简及其计算
（1）诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．
（2）学会诱导公式的逆用，如等，再如，能将中的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．
（3）学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍．
技巧：1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
易错提醒：奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可。
例 ．已知．
(1)求的值． (2)求的值．
变式1．已知均为锐角，且．
(1)求的值； (2)求的值．
变式2．．已知，且，化简并求的值.
变式3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
(1)求的值；(2)若锐角满足，求的值.
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，则 .
10．已知是第四象限角，且满足，则 ．
11．若，且，则 ．
易错点三：忽视三角函数图象变换研究对象选取（三角函数的图象和性质）
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
3．与的图像与性质
（1）最小正周期：．
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设．
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心．
假设．
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．
（5）单调性．
假设．
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：．先相位变换，后周期变换．
方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
结论：关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
题型1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）或，常见方法有：
（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；
（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；
（3）用两角和、差公式或辅助角公式将已给函数化成同函．
题型2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述或的形式，有时会化简为二次函数型：或，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意的取值范围．
若将已给函数化简为更高次的函数，如，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有和，令，由关系式得到关于的函数表达式．
题型3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：
（1），令，则；
（2），引入辅助角，化为；
（3），令，则；
（4），令，
则，所以；
（5），根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．
易错提醒：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
例 ．定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．图象的一个对称中心为
D．在区间上单调递增
变式1．已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
变式2．已知函数的初相为，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．函数的一个单调递减区间为
C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数
D．若函数在区间上的值域为
变式3．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
1．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
2．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
3．函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（ ）
A．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
B．函数在上单调递减
C．若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D．若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
4．已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减D．函数在上有3个零点
5．已知函数，且对，都有，且把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象右移，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在上有两个零点
6．将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有且仅有两个不同实数满足，则的取值可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．已知函数，，其中，则（ ）
A．与的图像关于直线对称
B．与的图像关于点对称
C．当与在区间上单调性相反时，的最大值为1
D．当与在区间上单调性相同时，的最大值为
8．已知函数，以下说法中，正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数在上单调递增
C．当时，的取值范围为
D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式为
9．已知，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
C．若在区间上的最大值是，则的最小值为
D．若，则
10．已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A．若，则是的整数倍
B．函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移单位得到
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
11．已知是的导函数（ ）
A．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到的
B．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到的
C．的对称中心坐标是
D．是的一条切线方程.
易错点四： 求φ时忽略升降零点的区别（函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用）
函数的物理意义
简谐运动的图象所对应的函数解析式，其中．在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；称为相位；时的相位称为初相．
题型1．已知的部分图象求的方法：
（1）利用极值点的纵坐标求；（2）把某点的坐标代入求．
题型2．已知的部分图象求的方法：
由，即可求出．常用结论：（1）相邻两个极大（小）值点之间的距离为；（2）相邻两个零点之间的距离为（3）极值点到相邻的零点，自变量取值区间长度为．
题型3．已知的部分图象求的方法：
求的值时最好选用最值点求．
峰点：；谷点：．
也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点．
升零点（图象上升时与轴的交点）：；
降零点（图象下降时与轴的交点）：（以上）．
易错提醒：求的值时若用零点求时一定要明确该零点是升零点，还是降零点.
例 ．已知函数满足．
(1)求函数的解析式及最小正周期；
(2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值．
变式1．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值，并写出的对称轴方程；
(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围．
变式2．已知函数的部分图象如图所示.
(1)
求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的值.
变式3．如图为函数的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
1．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．
B．函数的图象关于对称
C．函数在的值域为
D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
3．函数的部分图像如图所示，在上的极小值和极大值分别为..，，下列说法正确的是（ ）

A．的最小正周期为
B．
C．的图像关于点对称
D．在上单调递减
4．已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
5．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数B．当时，的值域是
C．的图象关于点对称D．在上单调递增
6．已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图像的一个对称中心
C．在的值域为
D．函数在上单调递增
7．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．的图象在区间上存在对称轴
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象
8．已知函数在轴上的截距为，若函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是 ．
9．已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
①的值可能是3； ②的最小正周期可能是；
③在区间上单调递减； ④图象的对称轴可能是.
其中所有正确结论的序号是 .
10．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的单调递减区间．
11．已知函数（且）的两个相邻的对称中心的距离为．
(1)求在R上的单调递增区间；
(2)将图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，若，，求的值．
12．已知函数的最小值周期为.
(1)求的值与的单调递增区间；
(2)若且，求的值.
易错点五： 遗忘非特殊角其实也是一种特殊角（三角恒等变换）
1．两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
2．二倍角公式
①；
②；
③；
3．降次（幂）公式
4．半角公式
5．辅助角公式
（其中）．
结论：1．两角和与差正切公式变形
；
．
2．降幂公式与升幂公式
；
．
3．其他常用变式
．
3．拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意特殊的角也看成已知角，如．
易错提醒：1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．
2．给值求值：已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．
4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间．
例 ．下列各式计算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
变式1．已知，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．下列各式的值是方程的根的为（ ）．
A．B．
C．D．
变式3．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
1．已知，则（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，，则的最大值为
2．已知，且，，，则（ ）
A．的取值范围为B．存在，，使得
C．当时，D．t的取值范围为
3．下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，，下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．
7．下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
9．下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．＝2B．若，则
C．若，则＝1D．
10．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
三角函数线

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无