人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积导学案及答案

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简单几何体的表面积与体积
一、 课堂目标
1．熟练掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式与体积公式．
2．熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积公式与体积公式．
3．熟练掌握球的表面积公式与体积公式．
4．熟练求解组合体的表面积与体积．
二、 知识讲解
1. 三视图
知识精讲
还原三视图应遵循的原则
①务必做到“长对正（正视图与俯视图一样长）、高平齐（正视图与侧视图一样高），宽相等（侧视图与俯视图一样宽）”；
②在三视图中，看不见的用虚线，看得见的用实线；
③确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画三视图就可能不同.
2. 棱柱、棱锥、棱台的表面积
知识精讲
多面体的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和．因此，我们
可以把它们展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．
特殊多面体的侧面积公式
（1）直棱柱的侧面积
等于它的底面周长和高的乘积．，其中 为底面的周长， 为直棱柱的高，也即侧棱长．
（2）正棱锥的侧面积
等于它的底面周长和斜高乘积的一半．，其中 为底面边长， 为斜高．
（3）正棱台的侧面积
等于它的上下底面周长之和与斜高乘积的一半．
，其中 ， 分别是正
棱台上下底面的边长， 为斜高．
经典例题
1. 一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位 ），则该三棱
柱的表面积为（ ）．
主视图侧视图
俯视图
A.B.
C.D.
巩固练习
2. 已知正四棱柱的底面边长是
，侧面的对角线长是
，则这个正四棱柱的侧面积为
．
3. 底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图，网格中的每个小正方形的边长为 ，则该棱柱的表面积
是
．
正视图 左视图
俯视图
经典例题
4. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（ ）．
正 主 视图
俯视图
侧 左 视图
A.B.C.D.
巩固练习
5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．
正 主 视图侧 左 视图
俯视图
A.B.C.D.
6. 已知正四棱锥的底面的面积为，侧棱长为，求它的侧面积．
经典例题
7. 如图为正四棱台
，它的上底面是边长为 的正方形，下底面是边长为 的正方
形，侧棱长为 ，求正四棱台的表面积．
巩固练习
8. 如图所示正六棱台（上、下底面均为正六边形，六个侧面是全等的等腰梯形）的两个底面边长分别为 和 ，侧棱长为 ，求它的表面积．
3. 棱柱、棱锥、棱台的体积
知识精讲
（1）棱柱的体积
棱柱的体积等于它的底面积 和高 的乘积，即
注意：
棱柱
．
①棱柱的体积公式不仅适用于直棱柱，也适用于一般棱柱，包括斜棱柱．
②棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与
底面的交点）之间的距离．
（2）棱锥的体积
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
所以棱锥的体积公式是．其中 为棱锥的底面面积， 为棱锥的高．
注意：
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．
（3）棱台的体积
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到棱台的体积公式
，
其中 ， 分别为棱台上、下底面面积， 为棱台的高．
经典例题
9. 若正六棱柱的底面边长为 ，侧面积为 ，则这个棱柱的体积为．
巩固练习
10. 正三棱柱的侧棱长为 ，底面边长为 ，则此三棱柱的体积为
．
经典例题
11. 已知正四棱锥
的所有棱长都为 ，则此四棱锥体积为
．
巩固练习
12. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
．
正 （ 主 ） 视图 侧 （ 左 ） 视图
俯视图
经典例题
13. 刘徽注《九章商功》曰：“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三．王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫．以徽术计之，于今解为容九斗七升四合有奇．”其中的“斛，斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（ ）．
正视图侧视图
俯视图
A.B.C.D.
巩固练习
14. 某三棱台的三视图如图所示，则该几何体的体积是
．
正视图侧视图
俯视图
4. 圆柱、圆锥、圆台的表面积
知识精讲
（1）圆柱的表面积
圆柱的侧面展开图是一个矩形．
如果圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，那么圆柱的底面积（上底面或下底面）为 ，侧面积为
．
因此，圆柱的表面积为二者之和，即．
（2）圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形．
如果圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，那么它的底面积为 ，侧面积为 ，表面积
．
（3）圆台的表面积
圆台的侧面展开图是一个扇环．
它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即
．
知识点睛
圆柱、圆锥、圆台各面积公式如下：
几何体
侧面展开图
圆柱（底面半径为 ，母
线长为 ）
O'
r O
圆锥（底面半径为 ，母
线长为 ）
rO
圆台（上、下底面半径
分别为 ， ，母线长为 ）
r'O'
O
r
底面面积
侧面面积
底π
侧
底π
侧
上底π
下底π
侧
，
表面积表π表π表π
经典例题
15. 若一个圆柱的轴截面是面积为 的正方形，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A.B.C.D.
巩固练习
16. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和表面积的比是（ ）．
A.B.
C.D.
经典例题
17. 圆锥的母线长为 ，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
18. 已知圆锥的底面半径为 ，侧面展开图的圆心角为 ，则此圆锥的表面积为（ ）．
A.B.C.D.
19. 圆锥的轴截面是边长为 的正三角形，则该圆锥的表面积为（ ）．
A.B.
C.D.
经典例题
20. 圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为 ，则圆台的表面积为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
21. 已知圆台上、下底半径分别为 和 ，高为 ．
求它的表面积．
5. 圆柱、圆锥、圆台的体积
知识精讲
（1）圆柱的体积
圆柱的体积公式为：．其中 为圆柱底面面积， 为圆柱的高．
所以，柱体（包括棱柱和圆柱）的体积是：．其中 为柱体的底面面积， 为柱体的高．
（2）圆锥的体积
圆锥的体积公式为：
．其中 为圆锥底面面积， 为圆锥的高．
所以，锥体（包括棱锥与圆锥）的体积公式是：．其中 为锥体的底面面积， 为锥体的高．
（3）圆台的体积
由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，
得到圆台（棱台）的体积公式：．其中 ， 分别为上、下底面面积， 为圆
台（棱台）高．
经典例题
22. 已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的 ，且其轴截面的周长为 ，则该圆柱的体积为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
23. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 ，那么圆柱的体积等于（ ）．
A.B.C.D.
经典例题
24. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
25. 若圆锥的底面积为 ，侧面积为 ，则该圆锥的体积为．
26. 已知圆锥的母线长为 ，侧面展开图的中心角为 ，那么它的体积为
．
经典例题
27. 一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于（ ）．2
2
4
A.B.
C.D.
巩固练习
28. 已知圆台 的上、下底面半径为 和 ，高为 ，则圆台 的体积是（ ）．
A.B.C.D.
6. 球的表面积与体积
知识精讲
（1）球的截面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．
（2）球的截面的性质
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
②（其中 为截面圆的半径， 为球的半径， 为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆
心的距离）．
（3）球的表面积
如果球的半径为 ，那么它的表面积
．
（4）球的体积
如果球的半径为 ，那么它的体积
．
知识点睛
（1）几何体的外接球问题
球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，明确接点的位置，确定元素间的数量关系，并作出合适的截面.若几何体为正方体或长方体，则其体对角线长等于球的直径长.
（2）几何体的内切球问题
解决几何体的内切球问题，应先作出示意图（一般作出轴截面或对角面所在截面），再根据题中的数量关系转化为平面问题，如转化成三角形问题、圆的有关问题等.另外，若球内切于正方体，则切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于内切球的直径长.
（3）几类特殊几何体与球的切接
①正方体的内切球
位置关系：正方体的六个面都与一个球相切，正方体的中心与球心重合；
数量关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有．
②正方体的外接球
位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上，正方体的中心与球心重合；
数量关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有．
③正方体的棱切球
位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体的中心与球心重合；
数量关系：设正方体的棱长为 ，球的半径为 ，这时有．
④正四面体的外接球
位置关系：正四面体的四个顶点在同一个球面上，正四面体的中心与球心重合。
数量关系：设正四面体的棱长为 ，高为 ，球的半径为 ，这时有
．
经典例题
29. 用与球心距离为 的平面去截球，所得截面圆的面积为 ，则球的表面积为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
30. 一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是 ，则该球的体积是（ ）．
A.B.
C.D.
经典例题
31. 已知圆锥的母线长为 ，高为 ，则该圆锥的外接球的表面积是
．
巩固练习
32. 已知底面边长为 ，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()
A.B.
C.D.
经典例题
33. 已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
34. 球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为 ，则球的表面积为．
7. 组合体的表面积与体积
知识精讲
组合体是由简单的多面体与旋转体切割或拼接而成的，求组合体的表面积与体积，首先将组合体分解成
简单的几何体，然后再求其表面积与体积.
知识点睛
求组合体表面积和体积的一般步骤
第一步：弄清组合体是由哪几种简单几何体组合而成，是接拼，还是挖去，还是截取；
第二步：分别求出各简单几何体的表面积和体积；
第三步：计算结果．组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积，其体积
是各简单几何体的体积之和（若是“挖去”，则是体积之差）．
经典例题
35. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．
巩固练习
36. 一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则此几何体的表面积是
．
主视图左视图
俯视图
8. 体积计算的割补法
知识精讲
几何体的体积的求法有以下几种方法：
①公式法：直接代人公式求解．
②等体积转化法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面，为了求解的方便，我们经常需要换底面。此法
在求点到平面的距离时也常用到，即．
③分割法：把几何体分割成若干个常规的几何体的体积问题．
④补形法：把不规则的几何体补成柱、锥、台体，再用柱、锥、台体的体积公式求解．
知识点睛
体积计算的方法——割补法
当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或补形的方法，将它变为一个或几个规则的、体积易求的几
何体，然后再计算．
当一个几何体的体积很难计算时，也可考虑通过割补法求解，经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方
体、将三棱柱还原为平行六面体、将台体还原为锥体等，以下是几种常见的还原方法：
①将正四面体补为正方体，如图所示．
A
PB
ACP
C
B
②将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图所示．
PP
AB
C
CAA
③将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图8-3-25所示
．
BB
CC
PAPA
④将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图8-3-26所示．
PP
ACAC
BB
PP
C
AC
BA
B
⑤将三棱柱补成平行六面体，如图所示．
C1C1
A1B1A1B1
CC
ABAB
⑥将台体还原成锥体，如图所示．
S
A1C1A1C1
B1B1
ACAC
BB
经典例题
37. 如图是一个以为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为，已知
，
（ 1 ）该几何体的体积．
（ 2 ）截面的面积．
，
，
，
，求：
38. 已知高为 的棱柱的底面是边长为 的正三角形（如图），则三棱锥的体
积为（ ）．
A.B.
C.D.
巩固练习
39. 如图，一个底面半径为 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 和 ，则
该几何体的体积为．
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
40. 圆柱的侧面展开图是一个边长为 的正方形，那么这个圆柱的体积是（ ）．
A.B.
C.D.
41. 若正六棱柱的底面边长为 ，侧面积为 ，则这个棱柱的体积为．
42. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则该圆锥的表面积为，体积为．
43. 棱长为 的正方体的顶点都在一个球的表面上，则这个球的表面积为．
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