10，四川省雅安中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

这是一份10，四川省雅安中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷（满分100分）
一、选择题：（8个小题，每小题4分，共32分）
1. 已知实数，且，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等式符号不变，根据不等式两边同时乘上或者除去同一个正数，不等式符号不变；根据不等式两边同时乘上或者除去同一个负数，不等式符号改变；据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，∴，故该选项是错误的；
B、∵，∴，故该选项是正确的；
C、∵，∴，故该选项是错误的；
D、∵，∴，故该选项是错误的；
故选：B
2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的概念，对各选项逐一分析判断即可得解.
【详解】A. ，故该选项错误；
B. 是整式乘法，不是因式分解，故该选项错误；
C. ，不是因式分解，故该选项错误；
D. ，正确.
故选D.
【点睛】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这个过程是因式分解.
3. 如图，所给图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别与中心对称图形的识别，根据将一个图形沿一条直线折叠后完全重合的图形叫轴对称图形，将一个图形沿一点旋转后与原图形完全重合的图形叫中心对称图形逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A选项图形即不轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意，
B选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意，
C选项图形不是轴对称图形是中心对称图形，不符合题意，
D选项图形即是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
4. 某业主贷款9万元购进一台机器生产甲，乙两种产品．已知甲产品的销售净利润是每个5元，乙产品的销售净利润是每个6元，2个甲产品和1个乙产品组成一套销售，设销售x套能赚回这台机器的贷款，则x满足的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用甲产品利润+乙产品利润不低于列不等式即可．
【详解】解：设销售x套能赚回这台机器的贷款，
根据题意，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，理解题意，找到不等量关系是解答的关键．
5. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等B. 三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等
C. 有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形D. 每一个命题一定有逆命题，每一个定理一定有逆定理
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的外心、内心的概念、等边三角形的判定、逆命题的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【详解】解：A、三角形的三条内角平分线必定交于一点，且这一点到三边的距离相等，说法正确，不符合题意；
B、三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等，说法正确，不符合题意；
C、有一个角为的等腰三角形必定是等边三角形，说法正确，不符合题意；
D、每一个命题一定有逆命题，每一个定理不一定有逆定理，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
6. 如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为（ ）

A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据中垂线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵是的中垂线，
∴，
∵，，
∴的周长，
故选B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
7. 如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为，，，三点在同一直线上时，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解．
【分析】解：将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当旋转角为，，，三点在同一直线上，
，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
8. 如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中正确的结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴，从而得到a＞0，b＜0，故①②正确；再由直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．可得方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2，故③正确；然后观察图象可得当x＞﹣2时，直线y＝ax+2的图象位于直线y＝mx+b的图象得上方，可得不等式ax+2＞mx+b的解集为x＞﹣2，故④正确，即可求解．
【详解】解：根据图象得：直线y＝ax+2的图像自左向右逐渐上升，直线y＝mx+b交y轴于负半轴，
∴a＞0，b＜0，故①②正确；
∵直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．
∴当x＝﹣2时，ax+2＝mx+b，
∴方程ax+2＝mx+b的解是x＝﹣2，故③正确；
∵ax﹣b＞mx﹣2，
∴ax+2＞mx+b，
∵当x＞﹣2时，直线y＝ax+2的图象位于直线y＝mx+b的图象得上方，
∴不等式ax+2＞mx+b的解集为x＞﹣2，
即不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．故④正确
∴正确的结论为①②③④，共有4个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题：（5个小题，每小题4分，共20分）
9. 若有一个因式，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据有一个因式，设，再展开合并同类项，得出解出，即可作答．
【详解】解：∵有一个因式，
∴设，
∴
∴，
∴．
故答案为：8．
10. 如图，把沿方向平移1得到，，则________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可得，
∵，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．
11. 把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有_____本．
【答案】26
【解析】
【分析】设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书，根据“每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出x的值，再将其代入（3x+8）中即可求出结论．
【详解】解：设共有x名小朋友，则共有（3x+8）本书，
依题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴3x+8＝26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查了不等式组的问题，掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键．
12. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置．若，则_______°．
【答案】40
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形两底角相等列式求出，然后求出，从而得解．本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质并求出是解题的关键．
【详解】解：，
，
绕点逆时针旋转到，
，，
，
，
，
．
故答案为：40．
13. 若，，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将原式先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可．
【详解】解：
当，时
原式=
故答案为：-6．
【点睛】本题考查提公因式法、公式法进行因式分解，掌握公式结构正确计算是解题关键．
三、解答题（共48分）
14. 计算：
（1）因式分解：
①
②
（2）解不等式，并在数轴上表示出它的解集．
（3）解不等式组：，并求出它的整数解．
【答案】（1）①；②
（2），数轴表示见解析
（3），
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解不等式组以及求整数解、运用数轴表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）①先提公因式再运用平方差公式，即可作答．②根据平方差公式进行展开，再合并同类项，然后提公因式，即可作答．
（2）先去分母再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，即可作答．
（3）分别化简各个不等式，再取它们的公共部分解集，结合整数的定义，进行作答即可．
【小问1详解】
解：①；
②
；
【小问2详解】
解：
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化1，；
将解集表示在数轴上如下：
【小问3详解】
解：
由，得：，
由得： ，
则不等式组的解集为，
∴该不等式组的整数解为-1、0、1、2．
15. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（4，4 ）、B（1，2 ）、C（3，2 ），请解答下列问题．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3．并写出点A3的坐标.
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析，点A3的坐标为（-4，4）.
【解析】
【分析】（1）分别作出点A、B、C向下平移5个单位长度的点，然后顺次连接即可；
（2）分别作出点A1、B1、C1关于y轴对称的，然后顺次连接即可；
（3）分别作出点A、B、C绕点O逆时针旋转后得到的点，然后顺次连接，并写出点A3的坐标．
【详解】（1）（2）（3）所作图形如图所示：
，
点A3的坐标为（-4，4），
【点睛】
本题考查了根据平移变换、轴对称变换、旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构找出对应的位置．
16. 如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，求CM的长度．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据角平分线平分角，对顶角相等，以及等角的余角相等，推出，进而得到，即可得证；
（2）作于点F，角平分线性质得到，勾股定理求出的长，等积法求出的长，即可．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
作于点F，如图所示，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
由（1）知：，
∴，
即的长度为3．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，等积法求线段的长．掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
17. 如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接．
（1）直接根据图象写出关于x的不等式的解集；
（2）求出的值；
（3）求出的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标和函数的图象即可求出不等式的解集；
（2）把点的坐标代入两个一次函数的解析式，即可求出、的值；
（3）根据两个一次函数的解析式求出，的坐标，再由的面积的面积的面积即可求得结论．
本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与一元一次不等式，三角形的面积等知识点，能求出点的纵坐标是解此题的关键．
【小问1详解】
解：依题意， ，
；
【小问2详解】
解：直线经过，，
．
直线经过，，
，
；
【小问3详解】
解：由（2）得直线的解析式为，
令，则，
，
令，则，
，
，
的面积的面积的面积．
18. 成都教科院附属学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，已知学生人数的一半比带队老师人数的10倍还多35人．
（1）参加活动的八年级学生和带队老师各有多少人？
（2）某公司有两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如表所示；
学校计划租用两种型号的客车共16辆接送八年级师生，若每天租车的总费用不超过16200元．共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？
【答案】（1）参加活动的八年级学生有670人，老师有30人
（2）共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元
【解析】
【分析】（1）设带队老师有人，则学生有人，根据“八年级学生和带队老师共700人参加研学活动”，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据表格中的数据和题意，可以写出费用和租用种型号车辆数的函数关系，再根据题目中的数据，可以列出相应的不等式组，从而可以得到相应的租车方案，然后根据一次函数的性质，即可得到最少的租车费用．
【小问1详解】
解：设带队老师有人，则学生有人，
由题意可得：，
解得：，
，
答：参加活动的八年级学生有670人，老师有30人；
【小问2详解】
解：设租用种型号的客车辆，则租用种型号的客车辆，总费用为元，
由题意可得：，
，
随的增大而减小，
每天租车的总费用不超过16200元，学校组织八年级学生和带队老师共700人参加研学活动，
，
解得：，
为整数，
或11或12，即共有三种租车方案，
当时，取得最小值，此时，
答：共有三种不同的租车方案，最少的租车费用为15600元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程、不等式组，写出相应的函数，利用一次函数的性质求最值．
B卷（满分50分）
一、填空题：（每小题4分，共20分）
19. 如图，两个正方形的边长分别为m，n，若，，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，涉及三角形面积、正方形面积，熟练掌握提公因式分解因式是解题关键．先表示阴影部分的面积为，再进一步的运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
20. 若关于x的不等式有且仅有3个整数解，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】解一元一次不等式组得，由不等式组有且只有3个整数解，可得实数a的取值范围．
【详解】解：由，得，
即解得，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴，
即，
故答案为：
【点睛】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数．解题的关键在于正确的运算．
21. 若关于，的方程组的解是一对负数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】解方程组得出，根据方程组解是一对负数得出，解之得，据此可知，，继而去绝对值符号、合并同类项即可．
【详解】解：解方程组得，
关于，的方程组的解是一对负数，
，
解得，
则，，



，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22. 若，则代数式_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了提取公因式法的应用，利用因式分解的方法将代数式局部分解为已知代数整体是解题的关键．将移项得，然后将用提取公因式法局部化简为，再将代入计算，即得答案．
【详解】
23. 如图，在正方形中，是边上一点，连接，将沿直线翻折，得到，延长交于G，连接，对角线分别与交于，连接，下列结论：①；②；③；④若，则，其中，正确的有 ___（填序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】由“”可证，可得，，可得，故①正确；由“”可证，可得，由勾股定理可求；故②正确；由等腰三角形的性质可求；故③正确；由勾股定理可求，故④错误；即可求解．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
将沿直线翻折，得到，
，，，，
，，
又，
，
，，
，故①正确；
，
，
，
如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
，，，，
，，
，
又，
，
，
，
；故②正确；
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
；故③正确；
，则，
，
，
，故④错误；
故答案为：①②③．
二、解答题（共30分）
24. 阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）已知的三边a、b、c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）
（2）为等腰三角形，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键．
（1）先分组，再用公式分解．
（2）先因式分解，再求a,b,c的关系，判断三角形的形状
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：为等腰三角形．
理由：∵，
∴，
∴，
∴或，
三边都大于0，
∴．
∴，即，
∴为等腰三角形．
25. 阅读理解
定义：若一元一次不等式组解集（不含无解）都在一元一次不等式解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：的解集为，的解为，在的范围内，一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”．
问题解决
（1）不等式组：①，②，③中，是不等式的“子集”的是_________；（填序号）
（2）若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，求k的取值范围；
问题拓展
（3）若关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，直接写出m的取值范围是___________．
【答案】【小问1】③
【小问2】
【小问3】或
【解析】
【分析】（1）分别求出每一个不等式组的解集，再根据新定义，逐项判断即可求解；
（2）先求出不等式组和不等式的解集，再根据不等式组是关于x的不等式的“子集”，得到关于k的不等式，即可求解；
（3）分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：不等式的解集为，
①的解集为，
∵不在的范围内，
一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”．
②的解集为，
∵不在范围内，
∴一元一次不等式组不是一元一次不等式的“子集”．
③的解集为，
∵在的范围内，
∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”．
故答案为：③
（2）解：的解集为，
的解集为，
∵一元一次不等式组是关于x的不等式的“子集”，
∴，
解得：；
（3）解：的解集为，
当，即时，
的解集为，
∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，
∴，解得：，
∴此时；
当，即时，
的解集为，
∵关于x的不等式组的解集不是关于x的不等式的“子集”，
∴，解得：，
∴此时；
综上所述，m的取值范围是或．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键．
26. 如图，在中，，将绕着C点顺时针旋转α角度（这里）得到，连接，延长交于F．
（1）如图1，当E在上时，求证：；
（2）在旋转过程中，线段与有什么样的数量关系？利用图2证明你的结论；
（3）如图3，当时，若，求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等：
（1）根据等边对等角得到，再由，即可证明结论；
（2）作于N，交的延长线于M．证明，得到，再证明，得到，据此可得结论；
（3）如图3，作于N，交的延长线于M．先利用勾股定理得到，，则，接着证明，得到，在中， ，则．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，证明如下：
如图2，作于N，交的延长线于M．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，作于N，交的延长线于M．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
∴，
在中， ，
∴．型号客车
型号客车
载客量（人辆）
40
55
租金（元/辆）
900
1200
分组
组内分解因式
整体思想提公因式