13，四川省成都市新津区外国语实验学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

这是一份13，四川省成都市新津区外国语实验学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）如果a＞b，那么下列各项中正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2B．﹣3a＜﹣3bC．D．﹣a＞﹣b
3．（4分）下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2
B．2a（b+c）＝2ab+2ac
C．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2
D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
4．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣3，x）在第二象限，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x＞0C．x＞3D．0＜x＜3
5．（4分）等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则其周长为（ ）
A．16B．20C．24D．20或16
6．（4分）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（ ）试卷源自 全站资源一元不到！
A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣1
7．（4分）小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（52﹣x）≥5700B．210x+90（52﹣x）≤5700
C．210x+90（52﹣x）≥5.7D．210x+90（52﹣x）≤5.7
8．（4分）如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰Rt△DBE沿BC方向平移一段距离，使顶点E恰好落在△ABC的AC边上，若DB＝7cm，AB＝13cm，则平移的距离为（ ）
A．5cmB．3cmC．2cmD．9cm
二、填空题（每题4分，本大题共5个小题，共20分）
9．（4分）多项式3x3y4+12xy的公因式是 ．
10．（4分）若x2+6x+m有一个因式（x+2），则m＝ ．
11．（4分）如图，∠BAC＝60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若，则PE＝ ．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝125°，∠A＝20°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转α度得到△A′BC′．若点C′刚好落在AC边上，则α＝ ．
13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．
若AC＝8，则BD＝ ．
三、解答题(本大题共5个题，共48分)
14．（14分）分解因数：
（1）x2﹣16；
（2）m2+3m﹣10；
（3）2mx2﹣4mxy+2my2．
15．（6分）解不等式组，并求出所有整数解的和．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）．
（1）△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，画出对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点（0，﹣1）为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为 ，旋转中心坐标为 ．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点C（m，6）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）求△OBC的面积；
（3）在x轴上是否存在点M，使得△ABM是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（10分）如图①，在△ABC中，延长AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一点，且∠A＝∠BCE＝∠D．
（1）求证：△BCE是等腰三角形；
（2）如图①，若∠ACB＝90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′和CE′，BE′与CE交于F，若BE′∥ED，求证：F是BE′的中点；
（3）在如图②，若∠ACB＝90°，AC＝BC，连接BE′交CE于F，交CD于G．若AC＝a（b＞a＞0），求线段CG的长度．
四、填空题(每小题4分，共20分)
19．（4分）已知关于x，y的方程组，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是 ．
20．（4分）如图，Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知AB＝14．图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则平移距离为 ．
21．（4分）若关于x的不等式组的整数解有且仅有6个，则m的取值范围是 ．
22．（4分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
23．（4分）如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为 ．
五、解答题
24．（8分）某市正式出台了住房限购政策：本市户箱居民家庭在主城区已拥有1套住房的，可以再购买第二套住房，暂停购买第三套住房．有业界人士据此分析认为，郊区房价将会上涨，特种开发公司立即计划在近郊建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如表：
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司如何建房获得利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）已知长为a、b、c、d的四条线段．a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，以a、b为边构造△ABC，其中AB＝a，AC＝b；以c、d为边构造△DEC，其中DC＝c，DE＝d．
（1）判断△ABC和△DEC的形状并证明；
（2）将△ABC和△DEC按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取BE的中点M，连接AM、DM．若AM⊥DM，请猜想∠BAC与∠EDC之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，当B、C、E不共线时，连接BE并取其中点M，连接AM、DM、若AM⊥DM，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
26．（12分）【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，本大题共8个小题，共32分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的，
故选：C．
2．（4分）如果a＞b，那么下列各项中正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2B．﹣3a＜﹣3bC．D．﹣a＞﹣b
【解答】解：A、∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，故不合题意；
B、∵a＞b，∴﹣3a＜﹣3b，故符合题意；
C、∵a＞b，∴，故不合题意；
D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故不合题意．
故选：B．
3．（4分）下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2
B．2a（b+c）＝2ab+2ac
C．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2
D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
【解答】解：A．根据因式分解的定义，2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2不是由多项式变形为整式乘积的形式，那么不是因式分解，故A不符合题意．
B．根据因式分解的定义，2a（b+c）＝2ab+2ac不是由多项式变形为整式乘积的形式，那么不是因式分解，故B不符合题意．
C．根据因式分解的定义，x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2是由多项式变形为整式的乘积的形式，那么是因式分解，故C符合题意．
D．根据因式分解的定义，（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1不是由多项式变形为整式乘积的形式，那么不是因式分解，故D不符合题意．
故选：C．
4．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣3，x）在第二象限，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x＞0C．x＞3D．0＜x＜3
【解答】解：∵点P（x﹣3，x）在第二象限，
∴x﹣3＜0，x＞0，
解得0＜x＜3．
故选：D．
5．（4分）等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则其周长为（ ）
A．16B．20C．24D．20或16
【解答】解：①当4为底时，其它两边都为8，
4、8、8可以构成三角形，
周长为20；
②当4为腰时，
其它两边为4和8，
∵4+4＝8，
∴不能构成三角形，故舍去，
故选：B．
6．（4分）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣1
【解答】解：∵函数y1＝﹣2x过点A（m，2），
∴﹣2m＝2，
解得：m＝﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．
故选：D．
7．（4分）小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（52﹣x）≥5700B．210x+90（52﹣x）≤5700
C．210x+90（52﹣x）≥5.7D．210x+90（52﹣x）≤5.7
【解答】解：设他跑步的时间为x分钟，则他步行时间为（52﹣x）分钟，
根据题意，得：210x+90（52﹣x）≥5700，
故选：A．
8．（4分）如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰Rt△DBE沿BC方向平移一段距离，使顶点E恰好落在△ABC的AC边上，若DB＝7cm，AB＝13cm，则平移的距离为（ ）
A．5cmB．3cmC．2cmD．9cm
【解答】解：过E作EF∥BC交AC于F，
∴∠AEF＝∠ABC＝90°，
由题意得，平移的距离为EF，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝AC，
∴AC＝2BC，
∵AB2+BC2＝AC2，AB＝15cm，
∵∠DBE＝90°，BD＝BE＝9cm，
∴AE＝AB﹣BE＝6cm，
∴EF＝＝2（cm），
∴平移的距离为2cm，
故选：C．
二、填空题（每题4分，本大题共5个小题，共20分）
9．（4分）多项式3x3y4+12xy的公因式是 3xy ．
【解答】解：3x3y4+12xy＝3xy（x2y3+4），则多项式3x3y4+12xy的公因式是3xy．
故答案为：3xy．
10．（4分）若x2+6x+m有一个因式（x+2），则m＝ 8 ．
【解答】解：∵x2+6x+m有一个因式（x+2），
∴设x2+6x+m＝（x+a）（x+2），
∴6＝2+a，2a＝m，
∴a＝4，
∴m＝2×4＝8．
故答案为：8．
11．（4分）如图，∠BAC＝60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若，则PE＝ 3 ．
【解答】解：∵AP平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠APB＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP＝90°，PD＝PE，
∴AP＝2PD，
∵PD2+AD2＝AP2，
∴PD2+AD2＝（2PD）2，
即PD2+＝4PD2，
∴PD＝3（负值舍去），
∴PE＝PD＝3，
故答案为：3．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝125°，∠A＝20°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转α度得到△A′BC′．若点C′刚好落在AC边上，则α＝ 110° ．
【解答】解：∴∠ABC＝125°，∠A＝20°，
∴∠C＝35°，
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转α度得到△AB′C′．若点C'刚好落在AC边上，
∴CB＝C'B，
∴∠CC'B＝∠C＝35°，
∴∠CBC'＝110°，
∴α＝110°，
故答案为：110°．
13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．
若AC＝8，则BD＝ 4 ．
【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠B＝∠A＝45°，
∴BC＝AC＝8，
∴AB＝＝8，
根据作图过程可知：MN是BC的垂直平分线，
连接CD，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠DCA＝∠A＝45°，
∴AD＝CD，
∴BD＝AD＝AB＝8＝4．
故答案为：4．
三、解答题(本大题共5个题，共48分)
14．（14分）分解因数：
（1）x2﹣16；
（2）m2+3m﹣10；
（3）2mx2﹣4mxy+2my2．
【解答】解：（1）x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）；
（2）m2+3m﹣10＝（x﹣2）（x+5）；
（3）2mx2﹣4mxy+2my2
＝2m（x2﹣2y+y2）
＝2m（x﹣y）2．
15．（6分）解不等式组，并求出所有整数解的和．
【解答】解：解不等式，得x≥3，
解不等式5x﹣1＜3（x+1），得x＜2，
所以不等式组的解集是：﹣3≤x＜2，
所以整数解是﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以所以整数的解是﹣3﹣2﹣1+0+1＝﹣5．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）．
（1）△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，画出对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC以点（0，﹣1）为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为 90° ，旋转中心坐标为 （1，0） ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求作；
（2）△A2B2C2即为所求作；
（3）若将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为90°，旋转中心P坐标为（1，0）．
故答案为：90°，（1，0）．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点C（m，6）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）求△OBC的面积；
（3）在x轴上是否存在点M，使得△ABM是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，
∴6＝m，
∴m＝4，
∴C（4，6），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+3；
（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∴S△BOC＝OB•|xC|＝×3×4＝6；
（3）在x轴上存在一点M，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝5，OA＝4，
当B为等腰三角形顶角顶点时，M点与A点关于y轴对称，
∴M（4，0）；
当A为等腰三角形顶角顶点时，AM＝AB＝5，
∴M（﹣9，0）或M（1，0）；
当M为等腰三角形顶角顶点时，设M（t，0），
∵MA＝MB，
∴（t+4）2＝t2+9，
解得t＝﹣，
∴P（﹣，0），
综上所述：M点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．
18．（10分）如图①，在△ABC中，延长AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一点，且∠A＝∠BCE＝∠D．
（1）求证：△BCE是等腰三角形；
（2）如图①，若∠ACB＝90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′和CE′，BE′与CE交于F，若BE′∥ED，求证：F是BE′的中点；
（3）在如图②，若∠ACB＝90°，AC＝BC，连接BE′交CE于F，交CD于G．若AC＝a（b＞a＞0），求线段CG的长度．
【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠A＝∠BCD，∠BCE+∠ECD＝∠BCD，∠A＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（ASA），
∴BC＝CE，
∴△BCE是等腰三角形；
（2）证明：由（1）可得△ABC≌△DCE（ASA），
∴BC＝CE，∠ACB＝∠DEC＝90°，
如图2，连接CE′，
∵将DE沿直线CD翻折得到DE′，
∴CE＝CE′＝CB，
∵BE′∥ED，
∴∠CFE′＝∠DEC＝90°，即CF⊥BE′．
由三线合一，得：F是BE′的中点；
（3）解：如图3，连接EG，并延长EG交BC于点M，
根据折叠的性质，则∠DGE＝∠DGE′，
∵∠DGE＝∠CGM，∠DGE′＝∠BGC，
∴∠BGC＝∠CGM，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BCG＝∠MCG＝90°，
在△BGC与△CGM中，
，
∴△BGC≌△MGC（ASA），
∴BC＝CM，
由（2）知，△ABC≌△DCE，
∴BC＝CE，∠ACB＝∠DEC＝90°，
∴CE＝CB＝CM，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CEM＝∠CME，
∴，
∴∠BEM＝∠CED，
∴∠BEM﹣∠CEM＝∠CED﹣∠CEM，
∴∠BEC＝∠GED，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠EDC＝∠A＝45°，
∴∠ECD＝∠EDC，CE＝DE，
在△BCE与△GDE中，
，
∴△BCE≌△GDE（ASA），
∴BC＝GD＝AC＝a，
∵CD＝AB＝b，
∴CG＝CD﹣GD＝b﹣a．
四、填空题(每小题4分，共20分)
19．（4分）已知关于x，y的方程组，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是 0 ．
【解答】解：，
②﹣①得：x﹣y＝﹣6k+3，
代入已知不等式得：﹣6k+3＞0，
解得：k＜，
则k的最大整数值为0．
故答案为：0．
20．（4分）如图，Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知AB＝14．图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则平移距离为 7 ．
【解答】解：根据平移可得DE＝AB＝14，DE∥AB，S△ABC＝S△DEF，
∴EH＝14﹣4＝10，S阴影DHCF＝S梯形ABEH＝84，
∴（EH+AB）•BE＝84，
∴×（14+10）•BE＝84，
∴BE＝7，
即平移的距离为7．
故答案为：7．
21．（4分）若关于x的不等式组的整数解有且仅有6个，则m的取值范围是 ﹣1≤m＜0 ．
【解答】解：由题知，
解不等式5x﹣2＜42+1得，
x＜9，
又因为x＞m+3，且不等式组的整数解有且仅有6个，
所以2≤m+3＜3，
解得﹣1≤m＜0．
故答案为：﹣1≤m＜0．
22．（4分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 15 ；第23个智慧优数是 57 ．
【解答】解：注意到m﹣n＞1，知m﹣n≥2，∴m≥n+2．当m＝n+2时，由 （n+2）2﹣n2＝4+4n产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，……当m＝n+3时，由 （n+3）2﹣n2＝9+6n产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，……当m＝n+4时，由（n+4）2﹣n2＝16+8n产产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，……当m＝n+5时，由（n+5）2﹣n2＝25+10n产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，……当m＝n+6时，由（n+6）2﹣n2＝36+12n产生的智慧优数为：48，60，72，84，……当m＝n+7时，由（n+7）2﹣n2＝49+14n．产生的智慧优数为：63，77，91，……当m＝n+8时，由（n+8）2﹣n2＝64+16n产生的智慧优数为：80，96，…………综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，……故第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57．故答案为：15，57．
23．（4分）如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为 2+2 ．
【解答】解：如图，
连接AM，作AG⊥BM于G，
由题意得，
∠AFC＝∠ABE＝45°，∠AFE＝∠ABC＝30°，
∴∠AFC﹣∠AFE＝∠ABE﹣∠ABC，
∵∠FEM＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∠BCM＝180°﹣∠ACF﹣∠ACB＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠FEM＝∠BCM，
∵EF＝BC，
∴△FEM≌△BCM（ASA），
∴FM＝BM，
∵AB＝AF，AM＝AM，
∴△AMF≌△ABM （SSS），
∴∠AMB＝∠AMF，
∵∠FME＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝180°﹣15°﹣105°＝60°，
∴∠AMB＝∠AMF＝30°，
在Rt△ABG中，AB＝2，∠ABE＝45°，
∴AG＝BG＝2•cs45°＝2，
在Rt△AGM中，AG＝2，∠MAG＝90°﹣∠AMB＝90°﹣30°＝60°，
∴GM＝2•tan60°＝2，
∴BM＝BG+GM＝2+2，
故答案为：2+2．
五、解答题
24．（8分）某市正式出台了住房限购政策：本市户箱居民家庭在主城区已拥有1套住房的，可以再购买第二套住房，暂停购买第三套住房．有业界人士据此分析认为，郊区房价将会上涨，特种开发公司立即计划在近郊建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如表：
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司如何建房获得利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设建造A型的住房x套，则建造B型住房（80﹣x）套，
，
解得：48≤x≤50，
∵x为整数，
∴x＝48，49，50，
∴共有三种建房方案，
方案一：建造A型的住房48套，建造B型住房32套，
方案二：建造A型的住房49套，建造B型住房31套，
方案三：建造A型的住房50套，建造B型住房30套；
（2）设利润为w元，
w＝（30﹣25）x+（34﹣28）（80﹣x）＝﹣x+480，
∵48≤x≤50，
∴当x＝48时，w取得最大值，此时w＝﹣48+480＝432，80﹣x＝32，
答：采用建房方案一：建造A型的住房48套，建造B型住房32套，可以获得利润最大，最大利润是432万元．
25．（10分）已知长为a、b、c、d的四条线段．a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，以a、b为边构造△ABC，其中AB＝a，AC＝b；以c、d为边构造△DEC，其中DC＝c，DE＝d．
（1）判断△ABC和△DEC的形状并证明；
（2）将△ABC和△DEC按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取BE的中点M，连接AM、DM．若AM⊥DM，请猜想∠BAC与∠EDC之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，当B、C、E不共线时，连接BE并取其中点M，连接AM、DM、若AM⊥DM，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
【解答】解：（1）结论：△ABC，△DEC都是等腰三角形；
理由：∵a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，
∴（a﹣b）2+（c﹣d）2＝0，
∴a＝b，c＝d，
∴△ABC，△DEC都是等腰三角形；
（2）猜想：∠BAC+∠EDC＝180°．
理由：延长AM到T，使得MT＝MA，连接AD，DT，ET，延长AC交ET的延长线于点K．
∵MA＝MT，∠AMB＝∠TME，MB＝ME，
∴△AMB≌△TME（SAS），
∴AB＝ET，∠B＝∠MET，
∴AB∥EK，
∴∠K＝∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AC＝ET，
∵DM⊥AT．MA＝MT，
∴DA＝DT，
∵DC＝DE，
∴△DAC≌△DTE（SSS），
∴∠ACD＝∠DET，
∵∠ACD+∠DCK＝180°，
∴∠DET+∠DCK＝180°，
∴∠EDC+∠K＝180°，
∴∠EDC+∠BAC＝180°．
（3）猜想仍然成立．
理由：延长AM到Q，使得MQ＝MA，连接AD，DQ，EQ，延长AC交EQ于点J．
∵MA＝MQ，∠AMB＝∠QME，MB＝ME，
∴△AMB≌△QME（SAS），
∴AB＝EQ，∠B＝∠MEQ，
∴AB∥EQ，
∴∠EJC＝∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AC＝EQ，
∵DM⊥AQ．MA＝MQ
∴DA＝DQ，
∵DC＝DE，
∴△DAC≌△DQE（SSS），
∴∠ACD＝∠DEQ，
∵∠ACD+∠DCJ＝180°，
∴∠DEQ+∠DCJ＝180°，
∴∠EDC+∠EJC＝180°，
∴∠EDC+∠BAC＝180°．
26．（12分）【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 y＝﹣5x﹣10 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 （2，0）或（﹣1，0） ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 （）或（4，﹣7）或（） ．
【解答】证明：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，
则△ABF是等腰直角三角形，
由（1）同理可证△OAB≌△HBF（AAS），
∴OA＝BH，OB＝FH，
∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
∴OH＝5，FH＝3，
∴F（﹣3，5），
设l2的函数解析式为y＝kx+b，
将点A，F的坐标代入得k＝﹣5，b＝﹣10，\
∴直线l2的函数解析式为y＝﹣5x﹣10，
故答案为：y＝﹣5x﹣10；
（3）由（1）得△BOC≌△CDA，
∴OC＝AD＝1，CD＝OB＝2，
∴A（3，1），
∵S△AOB＝＝3，
∴S△OAM＝1，
∴OM＝2，
∴M（2，0），
如图，当M在x轴负半轴时，
∵，
∴S，
∴OM＝1，
∴M（﹣1，0），
故答案为：（2，0）或（﹣1，0）；
（4）①若点P为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP与△HPD中，
，
∴△△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝PD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝﹣，
即点D的坐标为（）；
②若点C为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，k），则PB的长为（4+k），CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴D（），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝﹣，
解得：k＝﹣，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（），
综上所述，点D的坐标为（）或（4，﹣7）或（），
故答案为：（）或（4，﹣7）或（）．A
B
成本（万/套）
25
28
售价（万/套）
30
34
A
B
成本（万/套）
25
28
售价（万/套）
30
34