2024福州外国语学校高二下学期4月期中考试数学含解析

这是一份2024福州外国语学校高二下学期4月期中考试数学含解析，共25页。试卷主要包含了考试结束，考生请将答题卡交回，384B， 下列选项错误的有等内容，欢迎下载使用。

命题人：施佳林 审题人：陈念研
(全卷共6页；四大题；19小题；满分150分； 时间：120分钟)
学校:___________姓名：___________考号：___________
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填涂自己的准考证号，姓名.
考生要认真核对答题卡上的准考证号，姓名与考生本人准考证号，姓名是否一致.
2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.非选择题，用0.5毫米照射签字笔，在答题卡上规定的范围内书写作答.请不要错位，越界答题.
3.考试结束，考生请将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 已知函数的图象与直线相切于点，则（ ）
A 4B. 8C. 0D. -8
2. 电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（ ）
A. 0.384B. C. 0.128D. 0.104
3. 已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 将8个大小形状完全相同小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 15
5. 若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
6. 2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，将这7幅作品排成一排挂在同一面墙上，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A. 0.0027B. 0.5C. 0.8414D. 0.9773
二、多选题
9. 下列选项错误的有（ ）
A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为6
B. 在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差
C. 决定系数，说明回归模型较好的刻画了两个变量间的相关关系，而且响应变量可以解释97.62%的解释变量的变化
D. 经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最小值为
D 若方程有两个实根，则
11. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：
试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ）
A. 若计算机5次生成的数字之和为，则
B. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则
C. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品概率为
D. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题
12. 已知随机变量服从正态分布，，则______.
13. 的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为__________．
14. 已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是________.
四、解答题
15. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．
（1）求的离心率；
（2）射线与交于点，且，求的周长．
16. 设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：
①，； ②；
③．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和 ．
17. 已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
18. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
表中

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
19. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
生产线
次品率
产量（件/天）
甲
500
乙
700
丙
800
360
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
福州外国语学校2023—2024学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷
命题人：施佳林 审题人：陈念研
(全卷共6页；四大题；19小题；满分150分； 时间：120分钟)
学校:___________姓名：___________考号：___________
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填涂自己的准考证号，姓名.
考生要认真核对答题卡上的准考证号，姓名与考生本人准考证号，姓名是否一致.
2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.非选择题，用0.5毫米照射签字笔，在答题卡上规定的范围内书写作答.请不要错位，越界答题.
3.考试结束，考生请将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 已知函数的图象与直线相切于点，则（ ）
A. 4B. 8C. 0D. -8
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果.
【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，
又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，
．
则．
故选：B．
2. 电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为（ ）
A. 0.384B. C. 0.128D. 0.104
【答案】A
【解析】
【分析】分析知这二项分布，3重伯努利试验.
【详解】电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，1个灯泡在使用1000小时内坏了的概率为，则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为
.
故选：A
3. 已知函数图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的符号得出原函数的单调性，结合选项可得答案.
【详解】由图可得，当时，时，，为减函数，
时，，为增函数；
当时，时，，为减函数，
时，，为增函数；
结合选项可知C符合题意.
故选：C
4. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
5. 若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式定理展开式的通项进行计算即可.
【详解】的展开式中含项的系数为
，
解得或（舍），
故选：B.
6. 2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，将这7幅作品排成一排挂在同一面墙上，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用排列知识求出7幅作品所有的不同挂法，结合捆绑法，插空法求出美术作品不能挂两端且摄影作品相邻时不同的挂法，利用间接法求出美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的挂法，根据古典概型概率公式求结论.
【详解】由题意知这7幅作品所有的不同挂法有种，
美术作品不能挂两端且摄影作品相邻时不同的挂法有种，
美术作品不能挂两端时不同的挂法有种，
则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的不同的挂法有种，
所以事件美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为，
故选：B
7. 盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意运用全概率公式进行求解即可.
【详解】设事件A表示第一次抽取的是黑球，则，，
事件表示第二次抽取的是黑球，可知，
所以
故选：A.
8. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A. 0.0027B. 0.5C. 0.8414D. 0.9773
【答案】D
【解析】
【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解.
【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故，
显然，其中，，
故，
则，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
故选：D
二、多选题
9. 下列选项错误的有（ ）
A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为6
B. 在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差
C. 决定系数，说明回归模型较好的刻画了两个变量间的相关关系，而且响应变量可以解释97.62%的解释变量的变化
D. 经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点
【答案】AB
【解析】
【分析】根据样本数据的方差公式，残差图，以及决定系数的定义，以及回归方程的相关知识点，判断选项.
【详解】A.由条件可知，数据的方差为，故A错误；
B.由残差图的描述可知，宽度越窄表示回归效果越好，故B错误；
C.决定系数反映了因变量的变异中可以被自变量解释的比例，故C正确.
D. 经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点，故D正确.
故选：AB
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最小值为
D. 若方程有两个实根，则
【答案】BD
【解析】
【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，，，，
在区间和内各存在一个零点；
当时，，，恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：BD.
11. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：
试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ）
A. 若计算机5次生成的数字之和为，则
B. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则
C. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为
D. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意可知，由二项分布计算，即可判断A选项；由条件概率公式计算，由此判断B选项；设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，由全概率公式计算，由此判断C选项；由贝叶斯公式计算，由此判断D选项.
【详解】对于A：因为，，
所以，故A错误；
对于B：由
故B正确；
对于C：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，
这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件，
则由
，故C错误；
对于D：由C选项的解析可知，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得服从二项分布，从而求得，进而利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题
12. 已知随机变量服从正态分布，，则______.
【答案】0.2 ##
【解析】
【分析】由正态分布曲线的对称性即可列式求解．
【详解】因为，则，
∴.
故答案为：0.2
13. 的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为__________．
【答案】84
【解析】
【分析】令结合已知列出方程求出的值，进而根据二项式定理展开式的通项公式，化简得出答案.
【详解】令结合已知，可得的二项展开式中各项系数之和为，解得，
所以，二项式即为，
其展开式的第七项为.
故答案为：84.
14. 已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由函数，可得，
当或时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
即为函数的极小值点；
要使得函数在区间上有最小值，
则满足，即，
因为，可得，即，解得，
所以，即实数的取值为.
故答案为：
四、解答题
15. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．
（1）求的离心率；
（2）射线与交于点，且，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率；
（2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长．
【小问1详解】
依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，，
所以，，
又，
所以，即，即，
所以，所以离心率；
【小问2详解】
由（1）可得，，则椭圆方程为，
射线的方程为，
联立，整理可得，
解得或，则，即，
所以，解得，则，
所以的周长．

16. 设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：
①，； ②；
③．
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和 ．
【答案】（1）所选条件见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；
（2）用错位相减求和.
【小问1详解】
选①：由得：
， 所以，
又因为，因此数列为等比数列，
设数列的公比为，则，由，
解得或（舍去），
所以；
选②：因为，
当时，，又，
所以，即，所以，
所以当时，，
两式相减得，
即，
所以数列是，公比为2的等比数列，
所以；
选③：因为，
当时，，
所以，即，
当时，，
两式相减，得，
即，
当时，满足上式．
所以；
【小问2详解】
设数列的前项和，
故，
两式相减得：，
化简得，．
故数列的前项和.
17. 已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求出函数的导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间；
（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答；
（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.
【小问1详解】
当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
【小问2详解】
由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问3详解】
因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为
18. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
表中

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数分布列及数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【答案】（1）适宜，
（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型；令，转化线性回归方程求解，进而得关于回归方程；
（2）由题意，的取值为，由全概率公式求得对应的概率，从而可求分布列及数学期望.
【小问1详解】
根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
所以适宜作为与之间的回归方程模型；
令，则，
，
关于的回归方程为.
【小问2详解】
由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的取值为，
设“所取两个鱼卵来自第批”，所以，
设“所取两个鱼卵有个”“死卵”，
由全概率公式
，
，
，
所以取出“死卵”个数的分布列为：
.
所以取出“死卵”个数的数学期望.
19. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
【答案】（1）填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
（2），
（3）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【小问1详解】
根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
小问2详解】
因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得，
故，．
【小问3详解】
易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值为；
且服从超几何分布：
故所求分布列为
可得
生产线
次品率
产量（件/天）
甲
500
乙
700
丙
800
360
0
1
2
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
0
1
2
3