江西省宜春市第一中学2024届高三下学期模拟考试（二）数学试卷(含答案)

这是一份江西省宜春市第一中学2024届高三下学期模拟考试（二）数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，，则( )
A.B.C.D.
2．若为纯虚数，则( )
A.2B.4C.-2D.-4
3．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标.现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示：
根据表中数据可得色度y关于色差x的经验回归方程为，则( )
A.14B.15C.16D.17
4．圆与圆的公共弦长为( )
A.B.C.D.
5．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数，例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则该数列前5项的和为( )
A.124B.155C.186D.217
6．从由数字0，1，2，3，4组成的五位数中任取一个，则取到数字2和3相邻的五位数的概率为( )
A.B.C.D.
7．若，，，则( )
A.B.C.D.
8．在正六棱柱中，，为棱的中点，则以O为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，，则( )
A.B.
C.a与b的夹角为D.a在b上的投影向量为
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P，Q是C上的两个动点，则( )
A.存在点P，使得
B.若，则的面积为
C.记C的上顶点为A，若轴，则直线AP与AQ的斜率之积为
D.若P是C的上顶点，则的最大值为
11．已知函数，，则( )
A.若有2个不同的零点，则
B.当时，有5个不同的零点
C.若有4个不同的零点，，，，则的取值范围是
D.若有4个不同的零点，，，，则的取值范围是
三、填空题
12．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前n项和，若，，则_________.
13．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________.
14．已知抛物线是直线上的一点（点P不在y轴上），过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，圆与直线切于点D，且，则四边形的面积为_________.
四、解答题
15．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求a的值；
（2）若外接圆的半径为，且A为锐角，求面积的最大值.
16．如图1，在平面四边形中，是边长为4的等边三角形，，，A为SD的中点，将沿AB折起，使二面角的大小为，得到如图2所示的四棱锥，点M满足，且.
（1）证明：当时，平面；
（2）求点D到平面的距离；
（3）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
17．为了解并普及人工智能相关知识、发展青少年科技创新能力，某中学开展了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类有若干道题），各类试题的分值及小明答对的概率如表所示，每道题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮，每轮回答一道题，依次进行，每轮得分之和即为参赛选手的总得分.
小明参加竞赛，有两种方案可以选择：
方案一：回答三道乙类题；
方案二：第一轮在甲类题中选择一道作答，若正确，则进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，进入第二轮答题，否则退出比赛；第二轮在丙类题中选择一道作答，若正确，则进入第三轮答题，否则退出比赛；第三轮在乙类题中选择一道作答.
（1）方案一中，在小明至少答对2道乙类题的条件下，求小明恰好答对2道乙类题的概率；
（2）为使总得分的数学期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由.
18．已知双曲线的焦距为，过点的直线l与C交于A，B两点，且当l与x轴平行时，.
（1）求C的方程；
（2）记C的右顶点为T，若点A，B均在C的左支上，直线AT，BT分别与y轴交于点M，N，且，，求的取值范围.
19．定义：设和均为定义在I上的函数，其导函数分别为，，若不等式对任意恒成立，则称和为区间I上的“友好函数”.
（1）若和是“友好函数”，求a的取值范围；
（2）给出两组函数：①，；②，，分别判断这两组函数是否为上的“友好函数”.
参考答案
1．答案：D
解析：由题得，所以，又，所以.
故选：D.
2．答案：A
解析：由题得，
因为为纯虚数.所以且，
解得.
故选：A.
3．答案：B
解析：由题可得，，因经验回归直线必过样本中心点，所以，解得.
故选：B.
4．答案：D
解析：由，作差.得两圆的公共弦所在直线的方程为.由，得.所以圆心，半径，则圆心到公共弦的距离.所以两圆的公共弦长为.
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意得，，当时，d不是正整数；当时，；当时.，d不是正整数；所以，，所以该数列前5项的和为.
故选：B.
6．答案：C
解析：由数字0，1，2，3，4组成的五位数共有个，其中数字2和3相邻的五位数有个.所以取到数字2和3相邻的五位数的概率为.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为.所以
，，令，，则,所以当时，，单调递减：当时,，单调递增.令，.则.所以在上单调递增.所以,即,所以,即..所以,所以.
故选A.
8．答案：D
解析：因为球O的半径为2，所以球O不与侧面及侧面相交，连接，，，.由题得，.所以，所以球O与侧面交于点，C，与侧面交于点，E.由题易得，因为平面，平面.
所以，又，平面，
所以平面，即平面，且，又，.
所以球O与侧面的交线为以为直径的半圆，同理可得球O与侧面的交线为以为直径的半圆.由题易得，则球O与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆.所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：因为，.所以.则.所以.故A正确；
因为.所以.故B正确；
因为.且.
所以.故C错误；
a在b上的投影向量为.故D正确.
故选：ABD.
10．答案：ACD
解析：由椭圆方程，得，，所以，，.
对于A，，所以存在点P，使得.故A正确；
对于B，设，，则，因为，
所以由余弦定理得.所以.所以.故B错误；
对于C，由题得，设，，则.
所以，又.所以.所以.故C正确；
对于D..设.则.
所以
.
因为.所以当时，取得最大值18.
所以的最大值为，故D正确
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：由题得，可得，作出的图象，如图所示.
对于A，由，得，若有2个不同的零点，结合图象可知或，故A错误；
对于B，当时，由，可得，令，则有，得，，，结合图像可知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根，所以有5个不同的零点，故B正确；
若有4个不同的零点，，，，
则，且，则，
由二次函数的对称性得，对于C，，
由B可知，所以，所以的取值范围为，故C正确；
对于D，，，则由对勾函数的性质可得，所以的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：370
解析：设等差数列的公差为d.由，得，，，解得，，所以.
则，
所以
.
13．答案：
解析：因为在区间上单调递减，所以，
则，即，所以，
因为，，所以，
因为，所以，，
因为在区间上单调递减，所以，解得，
所以的取值范围为.
14．答案：
解析：设，，由，得，则，
所以切线的斜率为，其方程为，即，设，.则，同理可得切线PB的方程为，所以直线AB的方程为，
联立，得，则，，，所以，设，分别为点P，Q到直线AB的距离，
则，，则四边形的面积，因为.所以D为线段AB的中点，则.
由题可知，则，解得，则，即四边形的面积为，
15．答案：（1）4；
（2）8
解析：（1）由题得.
所以.
所以，
又，
所以，
由正弦定理得，
因为，所以.
（2）由正弦定理得，
所以，
又A为锐角.所以，
由余弦定理得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积.
故面积的最大值为8.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）当时，M为棱SC的中点.
取CD的中点N，连接MN，BN，则，
因为平面，平面.
所以平面.
由题可得，，，
所以，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
又，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面.
（2）由题意得，，
所以为二面角的平面角，即，
又，所以为等边三角形.
因为，，，平面.
所以平面，又平面，所以平面平面，
取AD中点O，连接，则.
因为平面平面，所以平面.
所以AD，AB，OS两两垂直.
则以O为原点，OA，OS所在直线分别为x，z轴，以过点O且平行于AB的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以.
所以点D到平面的距离.
（3）由（2）可得，
则由，得.
所以.
设平面的法向量为.
则，
取，则，，
所以.
由（2）可知为平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为.
则
，
解得或（舍）.所以的值为.
17．答案：（1）；
（2）小明应该选择方案一，理由见解析；
解析：（1）记事件A为“小明至少答对2道乙类题”，事件B为“小明恰好答对2道乙类题”，
则，，
所以.
（3）设方案一中小明答对乙类题的题数为X，总得分为，
由题意知，则，
所以.
设方案二中小明的总得分为，由题意可知的可能取值为0，10，50，70，
则，
，
，，
所以，
所以.
所以小明应该选择方案一.
18．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由题可知双曲线C过点，
则.解得，，
所以双曲线C方程为.
（2）根据题意设直线，，，，
联立，得.
则，且，
由，，可得，所以.
由（1）可知.
则直线的方程为，
令，得，所以，同理可得.
所以，，.
由，.
得，，
所以，，
所以
，
因为，所以.
所以，所以.
所以的取值范围为.
19．答案：（1）；
（2）答案见解析.
解析：（1）因为和是“友好函数”.
所以，在R上恒成立.
即在R上恒成立.
因为指数函数的取值范围为，
所以，即a的取值范围为.
（2）①由题得，
令，，
则，所以上单调递增.
所以，又时，，
所以.
所以与是上的“友好函数”.
②令，
则，.
则.
当时，，
令，.则.
所以在上单调递增.
又，.
所以存在唯一的，使得，即，
则，，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以
.
令，，
则，
令，.
则，所以在上单调递增，
所以.则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
所以即在上不恒成立，
所以与不是上的“友好函数”.
色差x
21
23
25
27
色度y
m
18
19
20
甲类题
乙类题
丙类题
每题分值
10
20
40
每题答对概率