四川省凉山州2024届高三下学期第三次诊断性检测数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省凉山州2024届高三下学期第三次诊断性检测数学（理）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.
C.D.
2．在二项式的展开式中,x的系数是( )
A.10B.20C.40D.80
3．若x,y满足约束条件,则最大值为( )
A.8B.1C.D.0
4．工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y（单位：mg/L）与过滤时间t小时的关系为（，a均为正的常数）.已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过( )（最终结果精确到1h，参考数据：，）
A.43hB.38hC.33hD.28h
5．调查某校高三学生的身高x和体重y得到如图所示散点图，其中身高x和体重y相关系数，则下列说法正确的是( )
A.学生身高和体重没有相关性
B.学生身高和体重呈正相关
C.学生身高和体重呈负相关
D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8255
6．凉山地区学生中有50%的同学爱好羽毛球,60%的同学爱好乒乓球,70%的同学爱好羽毛球或乒乓球.在凉山地区的学生中随机调查一位同学,若该同学爱好羽毛球,则该同学也爱好乒乓球的概率为( )
A.0.4B.0.5C.0.8D.0.9
7．已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则( )
A.B.C.D.
8．已知直线与圆交于M，N两点，记的面积为S，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min.某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为( ).
D.m
10．已知正六棱锥S－ABCDEF底面边长为2，体积为，则S－ABCDEF外接球的体积为( )
A.B.C.D.
11．椭圆的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点；双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的延长线会经过另一个焦点.如图示椭圆光学装置1，光线经过椭圆焦点射出经椭圆两次反射后又回到焦点，经历时长为.在装置1中放入与椭圆具有公共焦点双曲线构成如图示装置2，光线从焦点射出依次经双曲线及椭圆反射后回到经历时长.若，则该装置中椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为( )
A.B.C.D.
12．已知为定义在R上且不恒为零的函数,若对,都有成立,则下列说法中正确的有( )个.
①；②若当时,,则函数在单调递增；
③对,；④若,则
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
13．已知，若z为纯虚数，则______.
14．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则线段AB的中点到y轴距离为______.
15．在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,.若,则的取值范围是______.
16．已知函数的零点为t,则______.
三、解答题
17．某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生,物化政,物化地及政史地四个模块供高一学生选择(物化生,物化政,物化地统称为物理类,政史地称为历史类),下图是该校高一1000名学生选择各个模块扇形统计图.已知该校学生选择物理类男女比例为8:7,选择历史类男女比例为2:3.
(1)完成列联表,并判断能否有99%把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？
(2)从该校选择物理类学生中按照分层抽样从物化生、物化政、物化地模块中抽取15人,再从这15人中随机抽取2人参加物理知识趣味问答比赛,用X表示被抽到选择物化地模块的学生人数,求X的分布列及数学期望.
附：.
18．如图,在正四棱柱中,,,点E,F,G,H分别在棱,,,上,,,.
(1)证明：点H在平面中；
(2)点P为线段的中点,求锐二面角的余弦值.
19．如图,点均在x轴的正半轴上,,,…,分别是以为边长的等边三角形,且顶点均在函数的图象上.
(1)求第n个等边三角形的边长；
(2)求数列的前n项和.
20．已知平面内动点P与两定点,连线的斜率之积为3.
(1)求动点P的轨迹E的方程：
(2)过点的直线与轨迹E交于A,B两点,点A,B均在y轴右侧,且点A在第一象限,直线与交于点M,证明：点M横坐标为定值.
21．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个零点,求实数m的取值范围,
22．在平面直角坐标系中,伯努利双纽线C(如图)的普通方程为,直线l的参数方程为(其中为直线l倾斜角,t为参数).
(1)以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求C和l的极坐标方程；
(2)设M,N是曲线C与x轴异于原点的两个交点,l与C在第一象限的交点为P.当时,求的面积.
23．已知函数的最小值为a.
(1)求实数a的值；
(2)求的最小值.
参考答案
1．答案：B
2．答案：D
3．答案：A
4．答案：D
解析：废气中污染物含量v与过滤时间t小时的关系为，令，得废气中初始污染物含量为，
又前5小时过滤掉了污染物，
，则，
当污染物过滤掉时，，
则，
当污染物过滤掉还需要经过.
故选：D.
5．答案：B
解析：由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，
所以学生身高和体重具有相关性，A不正确;
又身高和体重y的相关系数为，相关系数，
所以学生身高和体重呈正相关，B正确，C不正确；
从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是0.8255，D不正确.
故选：B.
6．答案：C
7．答案：C
解析：易知，
由二次函数的单调性可知时上式取得最小值，
即
所以.
故选：C
8．答案：A
解析：由得，.
由题意可知，到直线的距离，解得.
，
.
当时，，故充分性成立;
当时，即，整理得，
即或.解得或，故必要性不成立.综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9．答案：A
解析：设座抢距离地面的最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设函数表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要，周期，，，所以，，，即，
当时，游客在点，其中以为终边的角为，
所以，
当时，可得
所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为.
故选：A.
10．答案：C
解析：由正六棱雉得，底面为正六边形，设底面的中心为O，连接，，
则，底面，为正六棱雉的高，所以，
因为正六棱雉的体积为，所以，即，故点O为外接球的球心，半径为2，
故外接球的体积，
故选：C.
11．答案：C
解析：不妨设光的传播速度为单位1，椭圆的长轴长为，焦距为，双曲线的实轴长为，焦距为
，则由装置1知，
由装置2知：，，，可得：
又由题知：，所以，
故椭圆离心率与双曲线离心率之比为，
故选：C.
12．答案：C
解析：令,,①对；
,,②对；当时由①和③成立,当时,由②③正确.
由①得由③得
得④错.
13．答案：1
解析：，
因为z为纯虚数，所以，，即，所以，则，故答案为：1.
14．答案：3
解析：由题意得：，设，，
则，解得：，则线段的中点横坐标为，故线段的中点到y轴的距离为3.
故答案为：3
15．答案：
16．答案：
解析：为函数零点
.
令,在递减,递增即.令,在递增,.
17．答案：(1)没有99%把握认为“该校学生选择物理类与性别有关
(2)分布列见解析,
解析：根据扇形统计图易得选择物理类学生为人,
其中男生人,女生,选择历史类100人,其中男生人,女生人
所以没有99%把握认为“该校学生选择物理类与性别有关”.
(2)按照分层抽样选择物化生、物化政及物化地人数分别为8人,4人,3人,.,,
所以X分布列如下：
.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取中点Q,中点M,连接,,.
,四边形为平行四边形①
又,,四边形为平行四边形
②由①②得,F,G,H四点共面,即点H在平面中.
(2)以D为坐标原点,,,为x,y,z轴建系如图,
易得,,,,设平面与平面法向量分别为,,,,
设二面角平面角为则
二面角的余弦值为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)记数列前n项和为,则顶点坐标为(,)
在函数上
(,)①②
②-①得(,)
(,)
第一个等边三角形顶点代入得,代入.故是以为首项为公差等差数列,
(2)由(1)得
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)设动点,
(2)易知直线斜率不为0.设方程为,且.
设,.
,,
由题意易得直线方程为①
直线方程为②
由①÷②得
点M横坐标为定值.
21．答案：(1)见解析
(2)
解析：
当时,函数在单调递减,在单调递增；
当时,或
若即时,或
函数在单调递增,单调递减,单调递增；
若时,函数在单调递增
若即时,或.
函数在单调递增,单调递减,单调递增；
综上：当时,在单调递减,在单调递增；
当时,函数在单调递增,单调递减,单调递增；
当时,函数在单调递增；
当时,函数在单调递增,单调递减,单调递增；
(2)由(1)知当时函数至多两个零点,不满足条件.
当时,函数至多一个零点,不满足条件；
当时函数在单调递增,单调递减,单调递增,,函数至多一个零点,不满足
当时,函数在单调递增,单调递减,单调递增.
,令,
在区间单调递减,单调递增,
即
或
综上：m的取值范围是.
22．答案：(1),
(2)
解析：(1)由,,,则C为,极坐标方程为,
由题意易得直线l的极坐标方程为,
(2)由题意得时即,
直线l过原点,
联立C,l方程,且,
则,
又,且
所以.
23．答案：(1)1
(2)
解析：(1)当时取“＝”
(2)法一：由(1)可知,原式,当时取“＝”.
法二：由柯西不等式得
原式
当且仅当时取“＝”.
法三：由权方和不等式得
原式,当时取“＝”.
男生
女生
合计
物理类
历史类
合计
1000
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
男生
女生
合计
物理类
480
420
900
历史类
40
60
100
合计
520
480
1000
X
0
1
2
P