高中数学6.4 平面向量的应用优秀学案及答案

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平面向量的综合应用
一、 课堂目标
1．熟练掌握用向量解决实际问题的两种方法：基底法和坐标法．
2．掌握向量在物理中的应用．
3．掌握三角形的“五心”及应用．
二、 知识讲解
1. 向量在平面几何中的应用
知识精讲
（1）两种方法
①基底法：根据图形之间的关系，选择一组基底，再用基底分别表示出目标向量，然后再根据平面向量
的加法、减法、数乘、数量积的运算法则进行计算求解．
②坐标法：若图形适合建立平面直角坐标系，则可建立坐标系，先求点的坐标，再表示向量的坐标，通
过坐标运算法则求解．
（2）用向量方法解决平面几何问题的基本步骤
①表示：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量
问题；
②运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③翻译：把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点睛
（1）平面向量坐标法的解题思路：
①首先需要考虑如何建立合适的坐标系以便更有利于问题的解决，一般遵循的原则是：让尽可能多的点的坐标形式简单．比如，尽量让更多的点落在坐标轴上，一般优先考虑将原点取在已知线段的中点处(或互相垂直的线段的交点处)等等．
②建立坐标系后，要标出坐标已知的点，对于坐标未知的点，要分析它们与已知点的关系，确实没有联系的未知点，要大胆地设出坐标，这样未知参数虽然比较多，看上去似乎有些凌乱，但一般不影响解答和最终结果．
③相关点的坐标设出之后，就可以将题目中的向量关系和运算用坐标来表示了，此时结合解析几何、代
数知识可使问题获解．
（2）常见应用形式
①证明线段相等：要证明，只要证明或或．
②证明直线或线段平行：要证明，只要证明存在实数λ，使得或
，即利用向量共线定理或向量共线的坐标表示证明．
③证明三点共线：要证明 ， ， 三点共线，只要证明存在实数λ，使得
或，即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可．
④证明线段垂直（证明四边形是矩形或正方形，证明三角形是直角三角形等）：
或
要证明，只要证明或．
⑤求与夹角有关的问题：
逆用向量的数量积公式
，或利用坐标表示为
．
⑥求线段的长度：
利用公式
或
．
经典例题
1. 在平行四边形中，，，，点 ， 分别在 ， 边上，且
，，则（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
2. 已知
中，
，
，
，
，
，则
（
）．
A.B.C.D.
3. 如图，正六边形的边长为 ，则（ ）．
A.B.
C.D.
经典例题
4. 如图，在中，，，． 是 边上的一点（不含端点），则
的取值范围是．
D
巩固练习
5. 如图，在梯形
中，
，
，
，
， 是线段 上一点，（可与
， 重合），若，则的取值范围是．
6. 如图，在三角形中，已知，，，点 为 的三等分点．则
的取值范围为（ ）．
A.B.
C.D.
经典例题
7. 在边长为 的正方形
中，
， 的中点为 ，
，则
．
巩固练习
8. 如图，在矩形
中，
，
，点 为 的中点，点 在边 上，若
，则的值是．
经典例题
9. 如图，四边形是正方形，延长 至 ，使得，若点 为 的中点，且
,则（ ）
A.B.C.D.
巩固练习
10. 在
中，
，若
，则
.
2. 向量在物理中的应用
知识精讲
（1）常见物理量的解题思路
①力向量：求作用于同一点的两个力的合力，可用向量求和的平行四边形法则求解．
（i）当受力物体被看成质点时，往往对作用力进行正交分解；
（ii）在同一平面上，作用于同一点的两个力 ， 或三个力 ， ， 处于平衡状态，可分别用等式
，来表示．
②速度向量：可用求向量和的平行四边形法则求两个速度的合速度．在具体问题中有时需要对速度进行
分解，这时可根据实际情况选择平行四边形法则或正交分解法．
③力做功：力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量
积，（ 为 和 的夹角）．
(2)用向量法解决物理问题的步骤
①抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；
②建立以向量为主体的数学模型；
③通过向量的线性运算或数量运算，求解数学模型；
④用数学模型中的数据解释物理问题．
知识点睛
（1）向量是既有大小又有方向的量，物理中有许多量，比如力，速度、加速度、位移等都是向量，本节就是用向量来研究物理问题，应注意两点：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．
（2）须明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识．①力，速度、加速度、位移都是向量；
②力，速度，加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；
③动量是数乘向量；
④功即是力 与所产生位移 的数量积．
经典例题
11. 如图，一质点在平面上的三个力 、 、 的作用下处于平衡状态，已知
，
， 与 的夹角为 ，求 的大小．
巩固练习
12. 两个大小相等的共点力 、 ，当它们的夹角为 时，合力大小为 ，当它们的夹角为
时，合力大小为（ ）．
A.B.
C.D.
13. 一质点受到平面上的三个力 、 、 （单位： ）的作用处于平衡状态．已知 、 成 角，且 ， 的大小分别为 和 ，则 的大小为（ ）．
A.B.
C.D.
经典例题
14.年巴西夏季奥运会帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆
船所受的风力方向为北偏东 ，速度为，此时水的流向是正东，流速为，若不考虑
其他因素，求帆船行驶的速度与方向．
巩固练习
15. 一条河宽为，一船从 出发垂直到达河正对岸的 处，船速为，水速为，则船
到达 处所需时间为．
经典例题
16. 质量
的物体，在平行于斜面向上的拉力
的作用下，沿斜面角
的光滑斜
面向上滑行的距离（如图所示）．
（ 1 ）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功．
（ 2 ）在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少？
巩固练习
17. 已知一物体在共点力，的作用下产生位移，则这两个共点力对
物体做的总功为．
3. 三角形的“五心”
知识精讲
（1）三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、内心、旁心①三角形三条中线的交点是重心；
②三角形三条高线的交点为垂心；
③与三角形三个顶点都相交的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心（是三边垂直平
分线的交点）；
④与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心（是三条内角平分线
的交点）；
⑤与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁
心（是其一内角的平分线所在直线和其他两角的外角平分线的交点）．
（2）“奔驰”定理
已知 为三角形内一点，则
其中 ， ， 分别是、、的面积．
由于这个定理和奔驰的 很相似，我们把它称为“奔驰”定理．根据这个定理，我们很容易得到三角形的五心的向量表达式.
知识点睛
（1）重心的向量表示式
表达式①： 是的重心
表达式②： 是的重心
（2）垂心的向量表达式
表达式①： 是的垂心
表达式②： 是的垂心
（3）外心的向量表达式
表达式①： 是的外心
表达式②： 是的外心
（4）内心的向量表达式
表达式①： 是的内心
表达式②： 是的内心
（5）旁心的向量表达式
一个三角形的旁心有三个，若 是
的位于 的平分线上的一个旁心，则有：
．反之也成立．
经典例题
18. 已知 为的重心， 为 的中点，则下列等式成立的是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
19. 已知等边三角形的边长为 ，其重心为 ，则（ ）．
A.B.C.D.
经典例题
20. 已知的垂心为 ，且，， 是 的中点，则（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
21. 已知 是
的垂心（三角形三条高所在的直线的交点），
，则
的值为．
经典例题
22. 在中，，，，且 是的外心，则（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
23. 已知
中
，
，若 为
的外心，则
．
经典例题
24. 在
中，
，
，
．若 是
的内心，且
，则
，．
巩固练习
25. 在中，，，设 为的内心，若，则 的值为（
）．
A.B.C.D.
三、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
四、 出门测
26. 已知正方形的边长为 ，点 是 边上的动点，则的值为；的取
值范围是．
27. 河水的流速为，若一艘小船沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船在静水中的速
度大小为（ ）．
A.B.C.D.
28. 已知 ， ， 在所在平面内，，，且
，则点 ， ， 依次是的（ ）．
A. B. C. D.
重心 外心 垂心重心 外心 内心外心 重心 垂心
外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心）
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