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人教A版（2019）高中数学必修二讲义04复数及其运算
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复数及其运算 一、 课堂目标1．熟练掌握复数的相关概念及其几何意义并能熟练运用在解题中．2．熟练掌握复数代数形式的四则运算并会运用在解题中．3．掌握实系数一元二次方程两根的关系并会应用在解题中．4．理解复数的三角形式并能进行相关运算．二、 知识讲解1. 复数的概念知识精讲（1）复数的概念 形如 的数叫复数.其中 叫做虚数单位.（ ） 规定：①复数 中，把 称为实部， 称为虚部.②全体复数所形成的集合叫做复数集.一般用字母 表示.即. ③复数通常可以用字母 表示，记作 ，这一表示形式称为复数的代数形式. （2）复数的分类已知复数 ①当 时，则 ，为实数；特别地，当 ，且 时， 为实数. ②当 时， 为虚数；特别地，当 ，且 时， 为纯虚数. （3）复数的相等规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 若 . . 知识点睛 （1）复数的分类归纳：复数（2） 且实数虚数纯虚数非纯虚数 （3）一般地，两个复数只能判断是否相等，不能比较大小（只有两复数均为实数时才比较大小）经典例题 1. 的实部是 ，虚部是 ． 2. 复数 与复数 相等，则实数 的值为（ ） A. B. 或 C. D. 巩固练习3. 已知，则，． 经典例题 4. 已知复数（ 1 ） 为实数．（ 2 ） 为虚数．（ 3 ） 为纯虚数．，当实数 为何值时， 5. 若复数 ，则实数 的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 巩固练习6. 设（），当时， 为实数；当 时， 为纯虚数．2. 复数的几何意义知识精讲（1）几何意义（一）——复平面 内容：复数 复平面内的点 对几何意义（一）的解释，如下图： 一方面，根据复数相等的定义，复数 被它的实部与虚部唯一确定，即复数 被有序 实数对 唯一确定；另一方面，有序实数对 在平面直角坐标系中对应着唯一的点 .因此， 可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即： 复数 复平面内的点 . 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴．（2）共轭复数①概念：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数 的共轭复数记为 ，因此，当 时，有 . ②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.知识点睛要注意的地方：（1）“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外；（2）复平面内各象限内的点均表示虚数； （3）复平面内点 的坐标是 ，而不是 . 经典例题 7. 已知复数 ，则复平面内对应的点 的坐标为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 巩固练习 9. 复数 ，则 在复平面内对应的点所在象限为（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 经典例题 11. 若复数 的共轭复数是（ ）． A. B. C. D. 12. 在复平面内，复数 对应的点是 ，则复数 的共轭复数 （ ）． A. B. C. D. 巩固练习 13. 设 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 经典例题14. 满足下列条件的复数 对应的点 的集合分别是什么图形？．巩固练习15. 满足下列条件的复数 对应的点 的集合分别是什么图形？．知识精讲（2）几何意义（二）——复数的向量表示 内容：复数 平面向量 对几何意义（二）的解释，如下图： 因为平面直角坐标系中的点 能唯一确定一个以原点 为始点、 为终点的向量 ，所以复数也可 用向量 来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中，以 为始点的向量组成的集合之间 建立一一对应关系，即：复数 平面向量 . 知识精讲（3）复数的模一般地，向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数 的模长用 表示，因此 . 特别地：①当时， ②一般地，两个互为共轭复数的模相等，即经典例题 16. 已知 为虚数单位，则 （ ）． A. B. C. D. 巩固练习 17. 设 为虚数单位，则复数 的模 （ ）． A. B. C. D. 经典例题18. 若复数 满足，则的最大值是． 巩固练习19. 设复数 满足条件，那么的最大值是． 3. 复数的运算——加减法知识精讲（1）复数的加法运算法则 设，是任意两个复数，则有：． （2）复数的减法运算法则①复数的相反数：一般地复数记作 ，并规定 ②设 ， 是任意两个复数，则有： 知识点睛（1）加法的运算规律：交换律：结合律：（2）关于复数的模的结论经典例题20. 若（， 是虚数单位），则的值为． 21. 设 为虚数单位，复数 ， ，则 ． 巩固练习22. 复数，其中 是虚数单位，则复数 的虚部是． 23. 已知复数 ，满足： ，则 的值为 ． 4. 复数的运算——乘除法知识精讲复数的乘法运算法则 ①乘法运算法则：设 ， 是任意两个复数，则有： ② 的 次方： 个相同的复数 相乘时，称为 的 次方（或 的 次幂），并记作 .知识点睛（1）复数的乘法运算律 对于任意的 ，有 = =（2）复数的乘方运算律 即对于任何复数 、 、 及正整数 、 ，有 经典例题24. 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 的值为． 25. 若 ， ，其中 为虚数单位，且 ，则 ． 巩固练习26. 设复数 满足行，且是纯虚数，则． 经典例题 27. 复数 等于（ ）． A. B. C. D. 巩固练习28. 复数． 知识精讲复数的除法运算法则①除法运算法则：设，是任意两个复数 ②复数的倒数：一般地，给定复数 ，称 为 的倒数. 除以 的商 也可以看成 与 的倒数之积.知识点睛同实数类似，可以定义非零复数的 次幂与负整数次幂，即当 为非零复数且 是正整数时，规定： 经典例题 29. 若 (其中 为虚数单位)，则复数 的虚部是（ ）． A. B. C. D. 30. 已知复数 （ 为虚数单位），则 ． 巩固练习31. 设复数 满足（ 是虚数单位），则复数 的虚部为． 5. 实数系一元二次方程在复数范围内的解集知识精讲 设一元二次方程为当当、 、时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个相等的实数根且. 引入复数后，当 时，方程有两个不相等的虚数根 可以发现这两个虚数根是一对共轭复数.知识点睛一元二次方程的两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即 引入复数后，在复数集中，实系数的二次三项式 总可以分解成两个一次因式的乘积，即 经典例题 32. 若关于 的实系数一元二次方程的一个根为 ，则这个一元二次方程可以是（ ）． A. B. C. D. 巩固练习 33. 若 是实系数一元二次方程 的一个根，则 ． 6. 复数三角形式知识精讲（1）复数的三角形式 复数 可表示为 ，称为复数的三角形式． 是复数 的模． 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线为终边的角，称作复数 的辐角. 显然，任何一个非零复数 的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差 的整数倍，并且在 范围内的辐角 的值称为复数 的辐角主值，记作 ． 经典例题 34. 已知 ，则复数 的三角形式为（ ）． A.B. C. D.巩固练习35. 将下列复数表示为三角形式：（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）知识精讲（2）复数乘法运算的三角表示及其几何意义①乘法运算的三角表示 设 ， ， ．即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．②几何意义 两个复数 相乘时，如下图，先分别画出 对应的向量 ，然后把向量 绕点 按逆 时针方向旋转角 ，再把它的模变为原来的 倍，得到向量 ， 表示的复数就是积 ，这就是 复数乘法的几何意义. 知识点睛（1）复数乘法的几何意义可归纳为：模相乘，辐角相加（2）根据上述两个复数三角形式的乘法几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘，特别的， 如果，则知识精讲 （3）复数除法运算的三角表示及其几何意义①除法运算的三角表示 设 ， ， ．即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．②几何意义与乘法类似，还能得到两个复数相除的几何意义，例如，任意一个复数除以 ，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转 .经典例题 36. 设 ， ，则 ． 巩固练习 37. 计算 ． 三、 思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、 出门测 38. 在复平面内，若 所对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 （ ）． A. B. C. D. 39. 已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）． A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限内 40. 已知复 满足 （其中 为虚数单位），则 ． 11
