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人教A版（2019）高中数学必修二讲义09用几何法证明立体几何综合问题
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用几何法证明立体几何综合问题一、 课堂目标1．掌握空间中直线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理并会熟练运用．2．掌握利用定义法和点面距法求线面角的大小、利用定义法求二面角的大小．3．掌握异面直线的夹角与距离的求法．4．掌握空间几何体体积的求法．二、 知识讲解1. 空间中的平行与垂直知识精讲（1）空间中平行的相关定理 定理 文字语言 符号语言 线面平行判定定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行 线面平行），， 线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行（线面平行 线线平行），， 面面平行判定定理面面平行性质定理一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行 面面平行）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行① （2）空间中垂直的相关定理定理文字语言符号语言 线面垂直判定定理线面垂直性质定理面面垂直判定定理面面垂直性质定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直①，则该直线与此平面垂直如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直垂直于同一个平面的两条直线平行一个平面过另一个平面的垂线②，则这两个平面垂直两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 知识点睛其他常用性质和结论①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行与另一个平面. ②夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.③垂直于同一条直线的两个平面平行.④一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. ⑤如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直.经典例题1. 对于不重合的两个平面 与 ，给定下列条件：①存在平面 ，使得 ， 都垂直于 ；②存在平面 ，使得 ， 都平行于 ；③ 内有不共线的三点到 的距离相等； ④存在异面直线 ， ，使得 ， ， ， ． 其中，可以判定 与 平行的条件有 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 巩固练习 2. 设 ， 为两条不同直线， ， 为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若 ， ， ， ，则 ；②若 ， ，则 ；③若 ， ，则 ；④若 ， ，则 ．其中正确命题的个数为（ ）． A. B. C. D. 经典例题 3. 如图 ，在 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点， ， ．将 沿 折起到 的位置，使得平面 平面 ， 为 的中点，如图 ． 图 图 （ 1 ）求证： 平面 ． （ 2 ）求证：平面 平面 ． （ 3 ）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由． 巩固练习 4. 如图，在五面体 中，四边形 是边长为 的正方形，平面 平面 ， ， ． （ 1 ）求证： 平面 ． （ 2 ）求证：平面 平面 ． （ 3 ）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由． 2. 空间中的角度问题知识精讲（1）求异面直线的夹角平移法求异面直线所成角：①恰当选点，作两条异面直线的平行线，构成平面角 ，则 （或其补角）就是异面直线所成角；②然后利用锐角三角函数或解三角形中的余弦定理，求出所构造角 的度数，异面直线所成角的范围．特别地，若能判断这两条异面直线互相垂直，则无需平移即可知道它们所成角为 ．经典例题 5. 如图所示，在长方体 中， 和 与底面所成的角分别为 和 ，则异面 直线 和 所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 巩固练习 6. 如图，在正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值 为（ ）． A. B. C. D. 知识精讲 （2）求线面角利用定义法求线面角，求斜线和平面所成的角，一般步骤是：①在斜线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足得到直线在平面上的射影，则直线和射影的夹角（取锐角）就是所求角.②由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形中求解.经典例题 7. 如图四棱锥 ， ， ， 平面 ，且 ， .（ 1 ）求证:（ 2 ）求 与面面.所成角的正弦值. 巩固练习 8. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ，（ 1 ）求证：．平面． （ 2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 知识精讲（3）求二面角用定义法求二面角定义法求二面角大小的一般步骤是：①找出或作出平面角；②证明它符合二面角的平面角的定义；③通过解三角形(斜三角形或直角三角形)计算求解． 经典例题 9. 已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， 底面 ，且 （ 1 ）求证：平面平面， 是 的中点，如图所示．． （ 2 ）求面 与面 所成的二面角的余弦值． 巩固练习 10. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 是正三角形，且 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点． （ 1 ）求证：平面（ 2 ）求平面平面与平面．所成锐二面角的大小． 3. 空间中的距离问题知识精讲（1）求点面距离利用等体积法求点面距离①如果点到平面的垂线段容易作出，我们可以直接求出点面距离．②当垂线段不易作出，我们可以通过等体积法来求出点面距离． 例如，求下图中点 到面 的距离 ： 先分别求出 的面积、面 上的高 的长度及 的面积； 然后利用等体积法 ，得 ，求得 ． （2）求异面直线的距离 ①直接找公垂线段如果方便找出（作出）公垂线，则直接计算公垂线段的长度即可． ②转化为线线距离若两条异面直线在某一平面上的射影互相平行（或为一点和一直线），则可以求平行线的距离（或点到直线的距离），该距离 异面直线距离的求法就是异面直线的距离． ③转化为线面距离过其中一条直线 上的任一点作另一条直线 的平行线 ， 和所决定的平面 与 之间的距离就是异面直线 ， 间的距离． ④转化为面面距离过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离． 经典例题 11. 如图，在正三棱锥 中，侧棱长为 ，底面边长为 ， 为 的中点， 于 ． （ 1 ）求证： 为异面直线 与 的公垂线．（ 2 ）求异面直线 与 的距离． 12. 如图，四边形 为矩形，四边形 为梯形，平面 平面 ， ， ， ，若 为 的中点， 与 交 于点 ．（ 1 ）求证：面． （ 2 ）求证： ． （ 3 ）求点 到平面 的距离． 巩固练习 13. 如图， 中， ， ，四边形 是正方形，平面 底面 ， 是 的中点．（ 1 ）求证：（ 2 ）若平面 ．，求点 到平面的距离． 4. 空间中的表面积与体积问题知识精讲空间几何体的表面积与体积 空间几何体 表面积 体积 棱柱 表 侧 底 底 多面体 棱锥 表 侧 底 底 棱台圆柱圆锥表侧上底下底上底底上 下 下 旋转体 圆台球上上 下 下 知识点睛常见求体积的方法：①直接法：运用体积公式进行求解．②割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则几何体的体积用公式不易求出时，再将其分割，转化成比较好求体积的几何体；或把不规则几何体补成规则几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．常见的补形有：将正四面体补成正方体；将等腰四面体（对棱相等）补成长方体；将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；将台体补成锥体等等．③转化底面法：选择合适的底面来求多面体的体积．经典例题 14. 如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， ， ， 是 的中点． （ 1 ）证明：直线 平面 ． （ 2 ）若 的面积为 ，求四棱锥 的体积 ． 巩固练习 15. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 为等边三角形， 是 线段 上的一点，且 平面 ． （ 1 ）求证： 为 的中点．（ 2 ）若 为 的中点，连接 ， ， ， ，平面平面，，求三棱锥 的体积．三、 思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、 出门测 16. 如图所示，在长方体 ，若 ， ， 分别是 ， 的中点，则下 列结论中不成立的是（ ）． A. B. C.与平面与垂直所成的角为 D. 平面 17. 已知六棱锥 的底面是正六边形， 平面 ， ，则下列命题中正确 的有（ ）．A. B. 平面 平面 C.D.平面直线 与平面所成的角为 11
