人教A版（2019）高中数学必修二讲义11统计初步

这是一份人教A版（2019）高中数学必修二讲义11统计初步，文件包含统计初步-讲义教师版docx、统计初步-讲义学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共60页， 欢迎下载使用。
统计初步一、 课堂目标1．理解统计中的相关概念．2．掌握两种抽样方法及其应用．3．掌握频率分布直方表和频率分布直方图及其应用．4．掌握数据的数字特征和直观表示并能求解相关量．【备注】1.本讲的重点是掌握统计中的两种抽样方法及数据的数字特征与直观表示并会求解相应题型；难点是在频率分布直方表和频率分布直方图求数据的数字特征，利用数字特征进行分析；重点题型是随机数法和分层抽样的应用，求相关数据的数字特征并利用数字特征进行分析.2.本讲的后置知识是概率.二、 知识讲解1. 全面调查（普查）与抽样调查知识精讲（1）全面调查对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查．在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体．为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体．（2）抽样调查根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查．我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量（样本容量）．调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据．（3）抽样的必要性在实际中要全面了解总体的情况，往往难以做到，一般也不可能或没有必要对每个个体逐一进行研究．这是因为：①一些总体中包含的个体数通常是大量的甚至是无限的．如不可能对所有的产品进行检验，记录每一件产品的合格情况；②一些个体具有破坏性．如不可能对所有的炮弹都进行试射，检验是否合格；③一些调查具有破坏性．如不可能把地里所有的种子都挖出来，检验是否发芽；④全面调查（普查）往往要浪费大量的人力、物力和财力．所以常通过从总体中抽取一部分个体，根据对这一部分个体的观察研究结果去推断和估计总体的情况，即用样本估计总体——这是统计学的一个基本思想．经典例题1. 为了了解 名学生的身高情况，从中抽取 名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）．A. 总体是 B. 个体是每一名学生C. 样本是 名学生 D. 样本容量是【备注】【教师指导】本题主要考查总体、个体、样本和样本容量，进一步加深对这四个概念的理解.【答案】D【解析】总体是 名学生的身高，故 错误；个体是每一名学生的身高，故 错误；样本是 名学生的身高，故 错误；很明显样本容量是 ，故 正确．【标注】【知识点】总体、样本、样本容量巩固练习2. 下列调查方式合适的是（ ）．A. B. C. D.为了了解炮弹的射程，采用普查的方式为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式为了了解全国中学生的课外阅读时间，采用普查的方式对“神舟十号”零部件的检查，采用抽样调查的方式【答案】B【解析】A 选项：要了解炮弹的射程，调查具有破坏性，不适合采用普查，故 错误；B 选项：要了解人们保护水资源的意识，需要调查的人很多，宜采用抽样调查的方式，故 正确；C 选项：全国中学生的数量庞大，要了解其某项内容宜采用抽样调查的方式，故 错误；D 选项：关系到卫星或飞船的发射，对每一个零部件都要进行仔细的检查，必须采用普查的方式，故 错误．故选 B .【标注】【知识点】获取数据的基本途径2. 简单随机抽样知识精讲（1）简单随机抽样的概念一般地，设一个总体含有 （ 为正整数）个个体，从中逐个抽取 （ ）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫作放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫作不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．注意：从总体中，逐个不放回地随机抽取 个个体作为样本，一次性批量随机抽取 个个体作为样本，两种方法是等价的．【备注】【教师指导】与放回简单随机抽样比较，不放回简单随机抽样的效率更高，因此实践中人们更多采用不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．（2）简单随机抽样的特点①总体的个体数有限．②从总体中逐个地进行抽取，这样便于在抽样实践中进行操作．③是一种不放回抽样．由于抽样实践中多采用不放回抽样，故其具有更广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，故不放回抽样便于进行有关的分析和计算．④是一种等可能抽样．在整个抽样过程中，每个个体被抽取到的可能性相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．注意：判断抽取样本的方式是否为简单随机抽样关键是看它是否满足以上四个特点．（3）常见的简单随机抽样方法抽签法①概念：先把总体中的 个个体编号，并把编号写在形状、大小相同的号签上（号签可以是纸条、卡片或小球等）．将这些号签放在同一个箱子里均匀搅拌，每次随机地从中抽取一个，如此下去，直至抽到预先设定的样本数．根据实际需要，如果每次抽取后再放回，就称为有放回抽取；如果每次抽取后不放回，就称为不放回抽取．②步骤：先给调查对象群体中的每个对象编号；然后准备“抽签”的工具，实施“抽签”；接着对样本中每一个个体进行测试或调查．【备注】【教师指导】对个体编号时，也可以利用已有的编号．例如从全班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等．利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：①编号时，如果已有编号（如学号、座位号等）可不必重新编号．②号签要求大小，形状完全相同．③号签要搅拌均匀．注意：一个抽样试验能否采用抽签法，关键看两个方面：一是制作号签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．当总体容量和样本容量都较少时，可采用抽签法．采用抽签法设计抽样方案时，要严格按照步骤进行，即编号、制签、搅匀、抽签、确定样本，这几个步骤不可缺少，其中搅匀是最容易被忽略的．随机数法①概念：把总体中的 个个体依次编上 ， ，…， 的号码，然后利用工具（转盘、摸球、随机数表、科学计算器或计算机等）产生 ， ，…， 中的随机数，产生的随机数是几，就选几号个体，直至抽到预先规定的样本数．②步骤：先对总体中的每个个体进行编号；然后在随机数表中任意选定一个数作为开始的数；再从选定的数开始按一定的方向（可以向右向左、向上、向下）读数，得到的号码若不在编号中则跳过，若在编号中则取出，如果得到的号码前面已取出，则跳过，如此继续下去，直至取满为止；最后把选定的号码所对应的 个个体作为样本．注意：需要注意随机数法对于超出标号范围的数字的处理，即一定要将其舍去，重复的数字也要舍去．【备注】【教师指导】（1）利用随机数法抽样时应注意以下问题：①编号要求位数相同．②第一个数字的抽取是随机的．③读数的方向是任意的，且是事先定好的．利用随机数法抽取个体的关键是在随机数表中任选哪个数作为起点以及读数的方向，方法：①可以利用两次抽签得到的两个数分别表示行号和列号，由这个行号和列号可以确定随机数表中的一个位置，该位置上的数作为选取的数；②也可以翻到随机数表的某一页，闭上眼睛把笔尖放到随机数表上，以笔尖点到的数作为选用的随机数表相对的页数（如果数字大于随机数表的总页数，可以用该数字除以总页数的余数作为相对的页数），将随机数表翻到选定的页数，再次闭上眼睛用笔尖点出一个数作为选取的数．（2）所给编号位数不一致的处理方法当题目中给的编号位数不一致时，需要对号码做适当的调整，用调整后的号码进行抽取以后，再对应找出原来的号码．可用如下方法调整：①在位数少的数前添加“ ”，凑齐位数．如： ， ，…， 可调整为 ， ，…， ．②把原来的号码加上 的倍数．如 ， ， ，…， 每个数加 可调整为 ， ，，…， ； ， ，…， ，…， 每个数加 可调整为 ， ，…， ，…，（4）简单随机抽样的估计功能①总体均值（总体平均数）一 般 地 ， 总 体 中 有 个 个 体 ， 它 们 的 变 量 值 分 别 为 ， ， … ， ， 则 称 ：为总体均值，又称总体平均数．②样本均值（样本平均数）如果从总体中抽取一个容量为 的样本，它们的变量值分别为 ， ，…， ，则称为样本均值，又称样本平均数．在简单随机抽样中，常用样本平均数 去估计总体平均数 ．【备注】【教师指导】加权平均数：如果总体的 个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为 ， ，…， ，其中出现的频数 ，则总体均值还可以写成加权平均数的形式．知识点睛（1）简单随机抽样的局限性简单随机抽样方法简单、直观，用样本平均数估计总体平均数也比较方便．简单随机抽样是一种基本抽样方法，是其他抽样方法的基础．但在实际应用中，简单随机抽样有一定的局限性．例如，①当总体很大时，简单随机抽样给所有个体编号等准备工作非常费事，甚至难以做到；②抽中的个体往往很分散，要找到样本中的个体并实施调查会遇到很多困难；③简单随机抽样没有利用其他辅助信息，估计效率不是很高，等等．因此，在规模较大的调查中，直接采用简单随机抽样的并不多，一般是把简单随机抽样和其他抽样方法组合使用．（2）两种简单随机抽样方法的比较①抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时费力，又不方便，如果编号后的号签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平．随机数法的优点与抽签法相同，缺点是当总体容量较大时，仍不是很方便，但比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较小的抽样类型．②采用随机数法的步骤较为简单，因为这省略了制作号签的步骤，而且不会因为号签的不相同造成抽样的不公平，这也是在简单随机抽样中大多采用随机数法的原因．经典例题3. 下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）．A. 从平面直角坐标系中抽取 个点作为样本B. 可口可乐公司从仓库的 瓶可乐中一次性抽取 瓶进行质量检查C.D.某连队从 名战士中，挑选出 名最优秀的战士参加抢险救灾从 个手机中不放回地随机抽取 个进行质量检验（假设 个手机已编好号，对编号随机抽取）【备注】【教师指导】判断简单随机抽样关键看是否符合以下特点：（1）总体个数有限；（2）逐个不放回地抽取；（3）每个个体被抽到的可能性相等．【答案】D【解析】 选项：平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体个数有限不相符，故 错误；选项：一次性抽取不符合逐个抽取的特点，故 错误；选项： 名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样中的等可能性，故 错误．故选 ．【标注】【知识点】简单随机抽样巩固练习4. 关于简单随机抽样，下列说法正确的是（ ）①它要求被抽取样本的总体的个数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能性抽样．A. ①②③④ B. ③④ C. ①②③ D. ①③④【答案】A【解析】①简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，正确；②简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，正确；③简单随机抽样是一种不放回抽样，正确；④简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，正确．故选 ．【标注】【知识点】简单随机抽样经典例题5. 下列抽样试验中，采用抽签法较为方便的是 （填序号）．①从某品牌手机生产厂家生产的 件手机中抽取 件进行质量检验；②从某厂生产的两箱(每箱 件)产品中抽取 件进行质量检验；③从甲乙两厂生产的两箱(每箱 件)产品中抽取 件进行质量检验；④从某品牌电脑生产厂家生产的 件产品中抽取 件进行质量检验．【备注】【教师指导】一个抽样试验是否能采用抽签法，关键看两个方面：一是制作号签是否方便；二是号签是否容易被搅匀.当总体容量和样本容量都较少时，可采用抽签法.【答案】②【解析】①中总体容量较大，样本容量也较大，不适宜采用抽签法；②中总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；③中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能采用抽签法；④中总体容量较大，不适宜采用抽签法．【标注】【知识点】简单随机抽样6. 假设要考察某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从 袋牛奶中抽取 袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将 袋牛奶按 ， ， ， 进行编号，如果从随机数表第 行第 列的数开始，按三位数连续向右读取．到达行末后，接着从下一行第一个数继续，则最先检验的 袋牛奶的号码是（ ）．(下面摘取了某随机数表第 行至第 行)A. B. C. D.【备注】【教师指导】求解随机数表读取问题的一般步骤第一步：认真理解题意和给出的随机数表；第二步：根据要求读取数据并写出来备用；第三步：选择满足条件的数据．【答案】D【解析】找到第 行第 列的数开始向右读，第一个符合条件的是 ，第二个数 ，第三个数 ，第四个数 大于 要舍去，第五个数 大于 要舍去，第六个数 符合条件，第七个数 ，第八个数 第九个数 ，第十个数 大于 要舍去，第十一个数 ，符合条件．故答案为： ， ， ， ， ．故选 ．【标注】【知识点】简单随机抽样巩固练习7. 为了合理调配电子资源，天津市欲了解全市 户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了 户进行调查，得到其日用电量的平均数为 ，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ）．A. 一定为 B. 高于C. 低于 D. 约为【答案】D【解析】由简单随机抽样的估计功能知，为样本的平均数，我们只能用它来估计总体的平均数，得到的数据不是准确值，总体的平均数应该为 左右．故选 ．【标注】【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数8. 某大学为了支持运动会，从报名的 名大三学生中选 人组成志愿小组，请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．【答案】抽签法：第一步：将 名大三学生编号，编号为 ， ， ， ， ；第二步：将 个号码分别写在 张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将 个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个不放回地抽取 个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的学生，就是志愿小组的成员．随机数表法：第一步：将 名大三学生编号，编号为 ， ， ， ， ；第二步：在随机数表中任选一数开始，任选一方向作为读数方向；第三步：凡不在 中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下 个得数；第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组．【解析】抽签法：第一步：将 名大三学生编号，编号为 ， ， ， ， ；第二步：将 个号码分别写在 张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将 个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个不放回地抽取 个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的学生，就是志愿小组的成员．随机数表法：第一步：将 名大三学生编号，编号为 ， ， ， ， ；第二步：在随机数表中任选一数开始，任选一方向作为读数方向；第三步：凡不在 中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下 个得数；第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组．【标注】【知识点】简单随机抽样3. 分层抽样知识精讲（1）分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．（2）分层随机抽样的步骤分层定抽样比根据已经掌握的信息，将总体分成互不交叉的层根据总体容量 和样本容量 计算抽样比定各层抽 确定第 层应该抽取的个体数 （ 为第 层所样的数目抽样个体包含的个体数），使得各层所抽取的个体数之和为按上述步骤中确定的数目在各层中随机地抽取个体，合在一起得到容量为 的样本（3）分层随机抽样的估计功能①在分层随机抽样中，如果层数分为 层，第 层和第 层包含的个体数分别为 和 ，抽取的样本量分别为 和 ．我们用 ， ，…， ，表示第 层各个个体的变量值，用 ， ，…， 表示第 层样本的各个个体的变量值；用 ， ，…， 表示第 层各个个体的变量值，用 ， ，…， 表示第层样本的各个个体的变量值，则第 层的总体平均数和样本平均数分别为：，．第 层的总体平均数和样本平均数分别为：，．总体平均数和样本平均数分别为：．由于用第 层的样本平均数 可以估计第 层的总体平均数 ，用第 层的样本平均数 可以估计第 层的总体平均数 ，因此可以用 来估计总体平均数 .②在比例分配的分层随机抽样中，，可得：．因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数 ．知识点睛分层随机抽样中有关抽样比的计算方法对于分层随机抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧解：①样体容量总体容量该层抽取的个体数该层的个体数，②总体中某两层的个体数之比 样本中这两层抽取的个体数之比．对于分层随机抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．经典例题9. 某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占 ，中年人占 ，老年人占 ．登山组的职工占参加活动总人数的 ，且该组中青年人占 ，中年人占 ，老年人占 ．为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为的样本．（ 1 ）试求游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例．（ 2 ）试求游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．（ 3 ）如果游泳组中抽取的样本经调查得知青年人的平均满意度为 ，中年人的平均满意度为，老年人的平均满意度为 ，试估计游泳组中的职工的平均满意度．【备注】【教师指导】本题考查分层抽样的实际应用.注意：求解分层随机抽样总体平均数估计问题的一般步骤第一步：根据总体数据的特点确定分层数；第二步：根据各层总体容量的大小确定抽取比例；第三步：利用简单随机抽样的方法分层抽取样本；第四步：根据公式求出样本的平均数；第五步：用样本的平均数估计总体的平均数．【答案】（ 1 ） ， ， ．（ 2 ）（ 3 ）， ， ．．【解析】（ 1 ）设登山组人数为 ，游泳组中，青年人、中年人、老年人占的比例分别为 ， ，，则有 ， ，解得 ， ．故 ．即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占的比例分别为（ 2 ）游泳组中，抽取的青年人人数为 ；抽取的中年人人数为 ；抽取的老年人人数为 ．，，．（ 3 ）游泳组中，样本的平均满意度为 ，由此可以估计游泳组中的职工对活动的平均满意度为 ．【标注】【知识点】分层随机抽样；众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题巩固练习10. 某学校为调查学生的身高情况，从高二年级的 名男生和 名女生中，根据性别采用按比例分配的分层抽样方法，随机抽取容量为 的样本．样本中男，女生的平均身高分别是 ，，该校高二年级学生的平均身高估计为 ．（精确到 ）【答案】【解析】高二年级男女比例为，∴平均身高为：．故该校高二学生平均身高为．【标注】【知识点】分层随机抽样；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数11. 《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱二百一十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了 钱，乙带了 钱，丙带了 钱，三人一起出关，共需要交关税 钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（所得结果四舍五入，保留整数）（ ）．A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱【答案】C【解析】根据分层抽样原理，抽样比例为：，所以乙应交关税为 （钱 ．故选： ．【标注】【知识点】分层随机抽样4. 获取数据的途径知识精讲获取数据的途径有：①通过调查获取数据；②通过试验获取数据；③通过观察获取数据；④通过查询获取数据.【备注】【教师指导】1.通过调查获取数据（1）一般通过抽样调查或普查的方法获取数据．（2）针对不同问题的特点，为了有效收集所需数据，专家发明了各种不同的抽样方法．除了我们已经学过的简单随机抽样和分层随机抽样，还有系统抽样、整群抽样、不等概率抽样、自适应抽样、两阶段抽样等很多其他的方法．在实际应用中，关键在于是否能充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误．2.通过试验获取数据（1）试验是获取样本观测数据的另一种重要途径．例如，要判断研制的新药是否有效、培育的小麦新品种是否具有更高的产量等情况，没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据．又如特种钢、轮胎的配方和产品质量等，也需要通过试验获取样本观测数据．（2）通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础．在统计学中，这种安排试验的学问叫作“试验设计”，感兴趣的同学可以查阅试验设计教科书．3.通过观察获取数据（1）在现实生活中，我们感兴趣的很多自然现象都不能被人类所控制，如地震、降水、大气污染、宇宙射线等．自然现象会随着时间的变化而变化，不能用我们已经学过的有限总体来刻画，也就不能用抽样的方法获取观测数据；另一方面，由于自然现象不能被人为控制，也不能通过试验获取观测数据．研究这类现象，只能通过长久的持续观察获取数据．（2）对于各个不同的行业，往往需要专业测量设备获取观测数据．随着科技水平的提高，专业测量设备的自动化程度越来越高，通过观测获取和存储数据的成本越来越低，这成为大数据产生的根源．一般地，通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂，其中蕴含着所观察现象的本质信息，这些信息十分宝贵，统计学理论和方法是挖掘这些信息的强有力的工具之一．4.通过查询获取数据（1）我们感兴趣的问题，可能有众多专家研究过，他们在研究中所收集的样本观测数据可能存储于学术论文、专著新闻稿公报或互联网上．这些数据是宝贵的财富，我们可以收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本．我们往往把这样获得的数据叫作二手数据．国家统计局是我国最主要的统计数据收集和发布的部门，调查统计的数据涉及经济、社会、民生的方方面面．国家统计局的统计数据通过多种形式进行公布，例如定期发布新闻稿、举办新闻发布会、发布统计公报、出版各类统计资料等．统计公报有年度统计公报、经济普查公报、人口普查公报农业普查公报等；统计资料出版物有《中国统计摘要》以《中国统计年鉴》为代表的统计年鉴系列等．（2）随着信息技术的发展，通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式．例如，可以从国家统计局的官方网站查询得到国家统计局公布的各种统计数据．在网络上，也有专门提供数据服务的公司，它们提供政府部门允许公开的各类数据．1,2,3属于直接获取数据的途径，4属于间接获取数据的途径.5. 总体取值规律的估计知识精讲（一）频率分布直方图（1）频数与频率将一批数据按要求分成若干组，各组内数据的个数，叫作该组的频数．每组频数除以全体数据个数的商叫作该组的频率，表示该组数据在样本中所占比例的大小．（2）样本的频率分布及频率分布表根据随机抽取的样本的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况），就叫作样本的频率分布．为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常将样本容量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，这张表叫作样本频率分布表．注意：频率分布表给出了各个区间的频数和频率，由此可以估计这组数据的分布情况，样本频率分布是总体分布的一种近似．（3）绘制频率分布表的基本步骤第一步，求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）．第二步，确定组距与组数．组距是指每个小组的两个端点之间的距离．极差、组距、组数有如下关系：①若②若极差组距极差组距极差为整数，则 组数；组距极差不为整数，则组距组数．（ 表示不大于 的最大整数）．第三步，分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间．第四步，统计各组数据的频数，计算频率，填入表格中，完成频率分布表．（4）频率分布直方图①为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来，常画出频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画出矩形，这样得到的直方图就是频率分布直方图．②绘制频率分布直方图的基本步骤第一步，根据频率分布表确定组距与组数．第二步，根据频率与组距确定矩形的高，高频率组距．第三步，依据频率分布表以及确定的矩形的大小绘制频率分布直方图．（二）其他常见统计图（1）条形统计图①条形统计图是用一个单位长度表示一定数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来．②条形统计图是用其高度来表示取各值的频数，如果改变纵轴的意义，它还可以表示取各值的频率（如图所示）．频数 频数条形统计图 频数 频率条形统计图O 正面向上 反面向上 试验结果 O 正面向上 反面向上 试验结果③条形统计图的特点优点：从条形统计图中能够很直观地看出各组中数据的多少，每一个条形都能体现该组中的具体数据，也易比较数据间的差别．缺点：不能显示出部分与整体的关系．【备注】【教师指导】在条形统计图中纵坐标表示频数，也可表示频率．频数是指对一组数据进行分组和整理后，每一组中数据的个数．频率是频数与样本容量的百分比．（2）扇形统计图①扇形统计图是用整个圆表示总数1，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分比的多少．通过扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系．②扇形统计图的特点：a.圆代表总体．b.扇形代表总体中的不同部分．c.扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小．d.各个扇形所占的百分比之和为1．但是，在不同的统计图中，不能简单地根据百分比的大小来比较部分量的大小．【备注】【教师指导】（1）扇形统计图与圆的半径及圆心角的关系：①扇形统计图与所取圆的半径无关．②画扇形统计图时，要算准关键量——圆心角的度数．（2）扇形统计图可以很清楚地表示各个部分数量同总体数量之间的关系，特别适合表示总体的各个部分所占比例的问题，但不适用于总体分成的部分较多的情况．（3）扇形统计图会出现一些原始数据丢失的情况．（3）折线统计图①折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化的情况．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况（如图所示）．百分比50%40%30%20%10%O玩游戏聊天看新闻学习上网项目②与条形统计图相比，折线统计图不仅可以表示数量的多少，而且可以反映同一事物在不同时间里的发展变化情况．折线统计图也有单式、复式两种．③折线统计图和条形统计图很相似，制图步骤与条形统计图也基本相同，只是不画直条，而是按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来．它不但可以表示出数量的多少，而且能够从折线的起伏中清楚直观地表示出数量增减变化的情况．经典例题12. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好．现用一种新配方做试验，生产了 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：质量指标值频数（ 1 ）将答题卡上列出的这些数据的频率分布表填写完整，并补齐频率分布直方图．质量指标值分组 频数 频率合计频率组距质量指标值（ 2 ）估计这种产品质量指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【备注】【教师指导】本题主要考查频率分布直方表和频率分布直方图的综合.【答案】（ 1 ） 质量指标值分组 频数 频率（ 2 ）合计画图见解析．．【解析】（ 1 ）频率分布表和直方图如下：质量指标值分组频数频率合计频率组距质量指标值（ 2 ）质量指标值的样本平均数为．所以此产品质量指标值的平均数的估计值为 ．【标注】【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数；频率分布直方图巩固练习13. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 分的学生人数为（ ）．频率组距分数A. B. C. D.【答案】B【解析】根据频率分布直方图，成绩不低于 （分）的频率为．由于该校高一年级共有学生 人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于 （分）的人数为：人．故选 ．【标注】【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题14. 某次有人参加数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定 分及以上为优秀．频率组距分数（ 1 ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数 ， 的值．区间人数（ 2 ）现在要用分层抽样的方法从这 人中抽取 人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数．【答案】（ 1 ） ； ．（ 2 ） 人．【解析】（ 1 ）由题意可得：，．（ 2 ）设其中成绩为优秀的学生人数为 ，则 ，解得 ．因此其中成绩为优秀的学生人数为 ．【标注】【知识点】频率与概率问题；分层随机抽样经典例题15. 根据给出所示的三幅统计图，判断正确的选项是（ ）．世界人口变化情况统计图年世界人口分布预测图人口 亿 欧洲亚洲非洲北美洲年份 南美洲及大洋洲人口 亿 年世界人口预测图A.欧洲 非洲 北美洲 南美洲及 亚洲大洋洲①从折线统计图能看出世界人口的变化情况B.C.②③年非洲人口将达到大约 亿年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D. ④从 年到 年各洲中北美洲人口增长速度最慢【备注】【教师指导】本题主要对条形统计图、折线统计图和扇形统计图的综合分析，注意本题为多选题.【答案】AC【解析】A 选项：从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故 正确；B 选项：从条形统计图中可得到： 年非洲人口大约将达到 亿，故 错误；C 选项：从扇形统计图表中能够明显的得到结论： 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故 正确；D 选项：由上述三幅统计图并不能得出从年到年中哪个洲人口增长速度最慢，故 错误；故选 A C .【标注】【知识点】扇形统计图；频率分布直方图；折线图、总体密度曲线巩固练习16. 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如图统计图，则采用“直播 录播”方式进行线上教学的学校占比约为（）．学校数 其他直播直播 录播录播录播 直播 直播 录播 其他 线上教学方式A. B. C. D.【答案】B【解析】由条形统计图和扇形统计图得调查学校总数为：，∴直播学校占比为： ，∴采用“直播 录播”方式进行线上教学的学校占比约为：．故选： ．【标注】【知识点】扇形统计图6. 总体百分数的估计知识精讲（1）第 百分位数的特点一般地，一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 %的数据小于或等于这个值，且至少有（ ）%的数据大于或等于这个值．（2）四分位数常用的分位数有第 百分位数，第 百分位数和第 百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第 百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．（3）计算一组 个数据的第 百分位数的一般步骤第1步：按照从小到大排列原始数据；第2步：计算 ；第3步：若 不是整数，而大于 的比邻整数为 ，则第 百分位数为第 项数据；若 是整数，则第 百分位数为第i项与第（ ）项数据的平均数．经典例题17. 样本容量为 的一组样本数据依次为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，该组数据的第 百分位数是 ，第 百分位数是 ．【备注】【教师指导】本题主要考查计算一组 个数据的第 百分位数的一般步骤：第1步：按照从小到大排列原始数据；第2步：计算 ；第3步：若 不是整数，而大于 的比邻整数为 ，则第 百分位数为第 项数据；若 是整数，则第 百分位数为第i项与第（ ）项数据的平均数．【答案】 ;【解析】将这 个数从小到大排列，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，由 ，则第 百分位数为第 个数和第 个数的平均数，即 ，由 ，则第 个数为这组数的 百分位数，即 百分位数为 ．故答案为： ； ．【标注】【知识点】百分位数巩固练习18.下列一组数据 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这组数据的第 百分位数是 ．【答案】【解析】将上述数据从小到大排列：， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 个数，，第 个数为 ．故答案为： ．【标注】【知识点】百分位数19. 以下数据为参加数学竞赛决赛的 人的成绩：（单位：分） 、 、 、 、 、 、 、 、、 、 、 、 、 、 ，则这 人成绩的第 百分位数是 ．【答案】【解析】将这 人的成绩从小到大排列：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，．【标注】【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；百分位数7. 总体集中趋势的估计知识精讲（1）众数、中位数、平均数的定义①众数：一组数据中出现次数最多的数据（即频率最大值所对应的样本数据）叫作这组数据的众数．②中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）叫作这组数据的中位数．③平均数：如果有 个数据用“ ”表示，即， ， ，．，那么就是这组数据的平均数，【备注】【教师指导】平均数、中位数和众数的异同①平均数、中位数和众数都是描述一组数据“集中趋势”的统计量，平均数是最重要的量．②平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系，任何一个数据的变化都会相应地引起平均数的变化．③中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．④众数考察各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题．⑤实际问题中，平均数的计算要比中位数和众数的计算难，而求得的平均数、中位数和众数都应带上单位．知识点睛三种数字特征的优缺点名称优点缺点众数①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体特征中位数①不受少数几个极端数据，即排序靠前或靠后的数据的影响；②容易计算，便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数反映出更多的关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大若样本的容量恰当，抽样方法又合理，则样本的数字特征与总体对应的值相差不会太大，可以用样本的特征反映总体的特征．经典例题20. 为了解观众对某综艺节目的评价情况，栏目组随机抽取了 名观众进行评分调查，并统计得到如图所示的频率分布直方图，以下说法错误的是（ ）．频率组距评分A. B. C. D.参与评分的观众评分在观众评分的众数约为 分观众评分的平均分约为 分观众评分的中位数约为 分的有 人【备注】【教师指导】本题主要考查众数、中位数和平均数，尤其需要注意D选项计算中位数的方法.【答案】C【解析】A 选项：观众评分在 的频率为 ，则在 的观众人数有 人．故 正确；B 选项：根据频率频率总数可知， 频数越大，频率越大，在频率分布直方图中，频数越大，则小长方形越高，所以众数在 组中，众数约为 ．故 正确；C 选项：根据题意可知， 平均数，所以平均分约为 ．故 错误；D 选项：观众评分的中位数为频率的，则 的频率为 ， ，则 组的频率为 时对应的分数约为 ，所以观众评分的中位数为 分． 做 正确．故选 C .【标注】【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数21.从某企业生产的某种产品中抽取 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．频率组距质量指标值（ 1 ）求这些产品质量指标值落在区间（ 2 ）估计这些产品质量指标值的中位数．（ 3 ）估计这些产品质量指标值的平均数．内的频率．【备注】【教师指导】本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征：用样本的中位数来估计总体的中位数，用样本的平均数来估计总体的平均数.【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．（ 3 ） ．【解析】（ 1 ）由频率分布直方图可知质量指标值落在区间，，，， ， 的频率分别为： ,0.12,0.19,0.30,0.20,0.05．∴这些产品质量指标值落在区间 的频率为：．（ 2 ）∵ ， ，∴ ，∴这些产品质量指标值的中位数为．（ 3 ）以每个区间的平均数作为计算依据，∴这些产品质量指标值的平均数为：．故这些产品质量指标值的平均数为 ．【标注】【知识点】频率与概率问题；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数巩固练习22. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取 名学生参加环保知识竞赛，得分（ 分制）的频数分布表如下：得分频数设得分的中位数 ，众数 ，平均数 ，下列关系正确的是（ ）．A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可知众数，中位数 ，平均数，∴比较大小：，故 ．故选 ．【标注】【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题8. 总体离散程度的估计知识精讲（1）平均距离假设一组数据是（2）标准差， ， ， ，，那么这组数据表示这组数据的平均数， 到 的距离分别是， ， ， 到 的“平均距离”是．，标准差是数据到平均数的一种平均距离，由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差：．显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小，所以标准差可以刻画数据的稳定程度．（3）方差从数学的角度来考虑，有时用 来衡量一组数据的波动大小，并把它叫作这组数据的方差．【备注】【教师指导】注意：①标准差，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．②标准差、方差的取值范围：据没有波动．，．标准差、方差为 时，样本数据全相等，表明数③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差．（4）分层随机抽样的方差①两层构成样本的方差设样本 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，权重为ω ，样本 ， ， ， 的平均数为，方差为 ，权重为ω ，则样本 ， ， ， ， ， ， ，样本的方差可以记为： ω② 层构成样本的方差的平均数为ω．，设样本中不同层的平均数分别为 ，方差分别为 ，相应的权重分别为ω ω ， ω ，则这个样本的方差为：ω ，其中 为样本平均数．注：权重指某一因素或指标相对于某一事物的重要程度．经典例题23. 若 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，则 ， ， ， 的平均数和方差分别为（ ）．A. ， B. ，C. ， D. ，【备注】【教师指导】本题根据如下性质计算平均数和方差，既简便计算又能提高答案的正确率.所以要求学生熟记以下三条性质：①若 ， ， ， ， 的平均数是 ，那么 ， ， ，的平均数是 ．②数据③若， ， ，， ， ，与数据 ，的方差为 ，那么，， ，， ，的方差相等．的方差为 ．【答案】D【解析】∵ ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，∴ ， ，∴ ， ， ， 的平均数为：，∴ ， ， ， 的方差为：，综上所述，，， ，的平均数和方差分别为， ．故选 ．【标注】【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数24. 某篮球教练对甲乙两位运动员在近五场比赛中的得分情况统计如下图所示：分数甲 ：乙 ：第一次第二次第三次第四次第五次次数根据图表给出如下结论：（ ）甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差小．（ ）甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差大．（ ）甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．（ ）甲的成绩较稳定，乙的成绩基本呈上升状态．以上结论正确的是（ ）．A. B. C. D.【备注】【教师指导】本题主要考查方差、标准差来衡量一组数据的波动大小.【答案】C【解析】由选项知甲乙的平均数相同（实际：甲得分分别为 ， ， ， ， ，乙得分分别为， ， ， ， ，经计算甲乙的平均数均为 ），图中明显实线波动较大，方差大．从折线图看甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．故选 ．【标注】【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数；折线图、总体密度曲线巩固练习25. 下列说法中正确的个数是（ ）．①数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定；②数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定；③数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定；④数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定．A. B. C. D.【答案】C【标注】【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数26. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 次，两人成绩的统计表如下表所示，则甲 乙环数频数环数频数有以下四种说法：①甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数；②甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数；③甲成绩的方差小于乙成绩的方差；④甲成绩的极差小于乙成绩的极差．其中正确命题的个数是（ ）．（注：，其中 为数据 ， ， ， 的平均数）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵甲，乙，故 甲 乙，①错．由表格可知，甲的中位数为 ，乙的中位数为 ，故②错．甲 ，乙 ，∴ 甲 乙，故③正确．由题可知，甲的极差为 ，乙的极差为 ，故④错误．故选 ．【标注】【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；极差、方差与标准差经典例题27. 一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：分数人数甲组乙组经计算，两组的平均分都是 分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由．【备注】【教师指导】运用数字特征进行评价时，应从平均数、众数、中位数、方差等多个角度对数据进行分析，全面考虑各数字的优缺点，从不同层面或两两综合进行评价，才能得到较为可靠的结论.【答案】从整体来看，甲组成绩比乙组好，证明见解析．【解析】从不同的角度分析如下：①甲组成绩的众数为 分，乙组成绩的众数为 分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些．② 甲．同理因为乙甲．乙，所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定．③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 分，其中甲组成绩在 分以上（含 分）的有 人，乙组成绩在 分以上（含 分）的有 人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于 分的有 人，乙组成绩大于或等于 分的有人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组满分比甲组多 人，从这一角度看，乙组成绩较好．【标注】【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数28. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 的频数分布表．的分组企业数（ 1 ）分别估计这类企业中产值增长率不低于 的企业比例、产值负增长的企业比例．（ 2 ）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．(精确到 )附 : ．【备注】【教师指导】第（1）问根据频数分布表计算即可；第（2）问主要考查用样本的数字特征来估计总体的数字特征：计算样本的平均数和标准差.【答案】（ 1 ） ， ．（ 2 ） ， ．【解析】（ 1 ）根据产值增长率频数分布表得，所调查的 个企业中产值增长率不低于 的企业频率为 ．产值负增长的企业频率为 ．用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于的企业比例为，产值负增长的企业比例为 ．（ 2 ） ，,．所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为，．【标注】【知识点】众数、中位数、平均数；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；极差、方差与标准差巩固练习29. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 ， ， ，分成 组，制成了如图所示的频率分布直方图．频率组距月均用水量 吨（ 1 ）求直方图中的 值．（ 2 ）设该市有 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 吨的人数．说明理由．（ 3 ）估计居民月均用水量的中位数．【答案】（ 1 ） ．（ 2 ）（ 3 ）．．【解析】（ 1 ）∵ ，整理可得： ，∴解得： ．（ 2 ）估计全市居民中月均用水量不低于 吨的人数为 万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于 吨的频率为，又样本容量为 万，则样本中月均用水量不低于 吨的户数为（ 3 ）根据频率分布直方图得：万．，，∴中位数应在 组内，设出未知数 ，令 ，解得 ，∴中位数是 ．【标注】【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数；频率分布直方图三、 思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！【备注】四、 出门测30. ①一次数学考试中，某班有 人的成绩在 分以上， 人的成绩在 分， 人的成绩低于分，现从中抽取 人了解有关情况；②运动会的工作人员为参加 接力赛的 支队伍安排跑道；针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（ ）．A. 分层随机抽样，简单随机抽样 B. 简单随机抽样，简单随机抽样C. 简单随机抽样，分层随机抽样 D. 分层随机抽样，分层随机抽样【答案】A【解析】①一次数学考试中，某班有 人的成绩在 分以上， 人的成绩在 分， 人的成绩低于 分，现从中抽取 人了解有关情况，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围；②运动会的工作人员为参加 接力赛的 支队伍安排跑道，此项抽查的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围，所以 选项正确．【标注】【知识点】分层随机抽样31. 为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从 台取暖器中取 台进行检验，用随机数表抽取样本，将 台取暖器编号为 ， ， ， ．下图提供了随机数表第 行至第 行的数据：若从表中第 行第 列开始向右依次读取 个数据，则抽出第 台取暖器的编号为（ ）．A. B. C. D.【答案】A【解析】找到第 行第 列开始向右读，第一个符合条件的数是 ，第二个符合条件的数是 ，第三个符合条件的数是 ，第四个符合条件的数是 ．【标注】【知识点】简单随机抽样32. 校学生会调查有关本学期学生活动计划的意见，打算在全校范围内抽取部分同学作为样本，该校有高一学生 人，高二学生 人，高三学生 人，若利用分层抽样，在高一学生中抽取 人，则应在高二学生中抽取（ ）．A. 人 B. 人 C. 人 D. 人【答案】B【解析】设在高二抽取 人，由，可知．【标注】【知识点】分层随机抽样33. 某班同学进行社会实践，对 岁的人群随机抽取 人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的 ， 的值分别为（ ）．组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率第一组第二组第三组第四组第五组第六组频率组距年龄 岁A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】∵由图可知，第一组人数为人，且第 组的频率为 ，∴总人数 ，又第二组的频率为 ，∴第二组共有 人，∴ ，又∵第四组的频率为，∴第四组有 人，∴ ，故 ， ，故选 项．【标注】【知识点】频率分布直方图；频率与概率问题34. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表：名称 甲 乙 丙 丁平均数方差则参加奥运会的最佳人选应为（ ）．A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】C【解析】由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．故选 ．【标注】【知识点】平均值、方差、标准差的大小比较39